《普通高中数学课程标准（2017年版）》对培养学生直观想象素养的要求体现在多个方面.比如，在必修课程与选择性必修课程中，突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解.必修课程如图4-11所示，选择性必修课程如图4-12所示.图4-12在必修课程中，从函数观点看一元二次方程和一元一次不等式的教学，让学生逐渐养成借助直观理解概念的习惯.在三角函数......
2025-09-29
高中数学学习中直观想象核心素养的渗透
【摘要】：同学们通过积极的讨论，提出各种问题及想法大致为如下几个方面.在长方体中，展开方式的不同将影响最小路径的求解，值得注意.几何体表面路径问题与两点间的距离的关系.“蜘蛛路径问题”的方法，是否可以推广.几何体表面路径最值问题求解的思想方法.几何体是否都能够把表面展开？
课堂是学生学习知识的主阵地，教学的任何一个环节都要步步推进，层层深入，看似平常的40分钟，却暗藏玄机、奥妙无穷.如何使教学目的明确，任务具体？如何创设有趣的数学情景，令学生感受数学魅力？如何设置有效问题，在问题解决中提升数学素养？如何引导学生做好课后反思，使学习的效率更上一层楼？都需要教师精心设计，及时调整和把握.
【案例4-9】几何体表面最小路径求解
问题：如图4-14所示，有一个透明玻璃做成的长方体密封盒，其中AB=5，BC=4，CC1=3.在A处的蜘蛛欲捕捉位于C1处的苍蝇，请各组讨论一下，怎样为蜘蛛制定行走方案，并画图说明.
图4-14
课堂实录
生1：连接AC1，用长方体对角线公式
师：在你提出方案之前，你考虑了哪些问题？
生1：路程最短.
师：想法很好，点A、C1之间，确实线段AC1最短.但想想看，这“航空”方案蜘蛛能执行吗？（学生摇头示意明白）
生2：长方体是封闭的，不能进入内部，而且蜘蛛也不能从A飞到C1.所以，蜘蛛的行走路线只能是在长方体表面.
师：有道理，我赞同.表面上两点间的最短路程怎么实现？还将考虑哪些问题？
生3：因为A、C1不在长方体的同一表面上，直接寻找最短路径不方便，所以，展开表面使点A、C1落在同一平面，从而，问题转化为平面内两点间的距离问题解决.
师：听起来是一个可行的思路，请把你的思路转化路径方案，我们斟酌一下，是否有借鉴意义.
生4：经过检验，真正的最佳方案只有一个，就是AC2.因为由勾股定理可知，
故AC2＜AC3
所以，在长方体表面上连AM、MC1所得的折线，为所寻求的最佳路径（见图4-15）.
图4-15
师：这位同学补充得很精彩，完整周密，有理有据，这是一个可行的方案.还有同学要补充吗？
师：在刚才的蜘蛛路径问题的讨论中，涉及到一个几何体表面最小路径问题.请回顾，你都想到或用到了哪些知识和方法，还有什么疑惑要和同学们探讨？或有哪些结果值得总结？
同学们通过积极的讨论，提出各种问题及想法大致为如下几个方面.
（1）在长方体中，展开方式的不同将影响最小路径的求解，值得注意.
（2）几何体表面路径问题与两点间的距离的关系.(https://www.chuimin.cn)
（3）“蜘蛛路径问题”的方法，是否可以推广.
（4）几何体表面路径最值问题求解的思想方法.
（5）几何体是否都能够把表面展开？哪些能展开？
（6）球面不能展开，球面上两点间的距离怎么求解？
师：刚才同学们在讨论中提出的问题，有很多值得我们大家思考，并且相信大家凭借彼此协作，就能解决其中不少疑问.
习题1：有一个圆锥如图4-16所示，它的底面半径为r，母线长为l，且l＞2r.在母线SB上有一点B，AB=a.求由A绕圆锥侧面一周到B的最短路程.
生5：（立刻回答）利用侧面展开图（见图4-17），将空间问题平面化，将所求问题转化为平面上两点间的距离去解决.
图4-16
图4-17
师：思路很好，请将完整求解过程交上来.
（约5分钟，解答陆续交上来了，虽然有些解答因为疏忽显得不够完善，但总体思路都较为合理）
如图4-17所示，其数量关系多数表达如下：
设∠A1SA=θ，则
·360°，又SA=l，SB=l-a，故
师：同学们都做得不错，思路也很清晰，即通过侧面展开，实现了空间问题平面化.进而利用平面三角形中余弦定理实现了问题的解决.同学们有异议吗？
生6：题目中给出的条件l＞2r有什么意义吗？为什么前面的解答中都没有利用到它？
师：如果将条件改为l≤2r的话，对刚才的展开图及求解有什么影响？
生7：我们的结论是，如果l≤2r，圆锥侧面展开图的中心角θ=
，则圆锥侧面展开图如图4-18所示.
图4-18
师：对，图形确实变了，我们的求解有没有相应方案呢？请观察图形.
生8：那么，原先解答过程中的三角形即余弦定理都不适用了，所求距离就不是两点间的距离，而是AS+SB1=2l-a.
生9：我认为生7的说法有问题.如果是这样的话，就是从A到S，又从S到B.这都是在同一母线上来回，并没有绕侧面走.
师：说得都有道理，事实上，因为顶点是所有母线的公共点，如果我们广义地把“从A到S，又从S到B”理解为从侧面走过，则学生7的答案正确，否则，这时不存在最小值，但可以确定最短路程无限接近于2l-a.
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