直观想象从思维角度看，就是通过建构数学问题的直观模型，在观察、分析直观模型的基础上，对事物的空间形式，特别是图形进行进一步的想象，把握其位置关系、形态变化与运动规律.【案例4-13】利用几何直观形成论证思路问题1：设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x（x-1）.若对任意x∈（-∞，m]，都有，则m的取值范围是__________.图4-29分......
2023-08-17
高中数学核心素养：培养思维，直观想象价值
【摘要】：问题6：怎样用棱数E和面数F表示多面体所有多边形的内角和？在假设多面体的F个面分别是n1，n2，n3，…图4-7中所有多边形的内角和是.图4-7案例4-4中，采用降维思想和转化策略将空间问题转化为平面问题来研究，这种处理问题的方法是立体几何中的重要思想方法，在降维和升维（如翻折）过程中关健要弄清不变量与变量.从案例4-4中可以看到，转化策略是解决数学问题的主要方法之一，如何转化是关健.
在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现结论、做出猜想的例子比比皆是.数学思维不是仅仅在抽象层面展开，而是在很多场合中借助直观手段展开的.所以，直观想象在数学活动中“是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础”.
【案例4-4】多面体欧拉公式的发现
问题1：如图4-5所示为6个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，填入表4-1.
图4-5
表4-1
观察表4-1中各组数据，猜想V、F、E之间的规律：____________________.并思考是否任意一个多面体都有上述规律.
（问题1旨在让学生在解决问题的过程中去观察、猜想、探索，培养和锻炼学生的探究能力.）
问题2：图4-6所示为3个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，填入表4-2.
图4-6
表4-2
（问题2旨在用简单直观的问题情景激发学生探索兴趣）
问题3：比较前面问题1和问题2中的图形，如果这些多面体的表面都是用橡皮膜制成的，并且可以向它们的内部充气，那么其中哪些多面体能够连续变形（不破裂、不粘连），最后其表面可变为一个球面？哪些能变为一个环面？哪些可变为两个对接球面？
（问题3旨在引导学生通过收集数据，观察数据，处理数据，直观想象，提出假设.）
引入“简单多面体”的概念：假设多面体的表面是橡皮膜制成的，可以向它们的内部充气，那么能够连续变形（不破裂、不粘连），表面能变为一个球面的多面体，叫做简单多面体.
猜想：观察表中各组数据，对于简单多面体，V、F、E之间的关系是________.
引入欧拉（L.Euler）公式：（拓展阅读）著名数学家、物理学家和天文学家欧拉（Léonard Euler），生于瑞士巴塞尔，1720年进入巴塞尔大学学习神学和希伯来语，因数学才能突出受到约翰·贝努利的赏识与特别指导，曾获得硕士学位.1727年应邀到俄国讲学.1733年任彼得堡科学院数学教授.1741年移居柏林，任柏林科学院物理数学所所长.1766年再次到俄国.1783年卒于彼得堡.
欧拉19岁开始发表论文，半个多世纪里始终以充沛的精力，不倦地工作.他28岁时右眼失明，59岁后左眼也视力减退，渐至失明.在失明的十多年里，欧拉以惊人的毅力，凭着记忆和心算，仍然坚持富有成果的研究，直到生命的最后一刻.欧拉的工作涉及数学的各个领域，他是历史上最多产的数学家之一，后人计划出版他的全集多达72卷.
欧拉是变分法的奠基人和研究复变函数的先驱者，对牛顿、莱布尼茨的微积分学和傅立叶级数的发展起了相当大的推动作用.
问题4：任意一个简单多面体，假设它们的表面是橡皮膜制成的，将它们压缩到其底面所在的平面，如何画出压缩后的平面图形？
问题5：在压缩前后哪些量发生了变化，而哪些量没有发生变化？（问题4和问题5旨在通过课件强化学生多种感官对数学问题的感知.）
问题6：怎样用棱数E和面数F表示多面体所有多边形的内角和？
（1）在假设多面体的F个面分别是n1，n2，n3，…，nF边形，则各个面的内角和是_______________.
（2）其中n1+n2+n3+…+nF和多面体的棱数E的关系为_____________________.
所以多面体的各个面的内角和是____________________.
问题7：怎样用顶点数V表示平面图形中所有多边形的内角和？
图4-7（b）中所有多边形的内角和是.
图4-7
（问题7旨在通过引导学生回忆证明过程，来体会所用到的数学思想方法.）
案例4-4中，采用降维思想和转化策略将空间问题转化为平面问题来研究，这种处理问题的方法是立体几何中的重要思想方法，在降维和升维（如翻折）过程中关健要弄清不变量与变量.从案例4-4中可以看到，转化策略是解决数学问题的主要方法之一，如何转化是关健.
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