直观想象在数学核心素养体系中具有重要的地位，与其他数学学科核心素养密不可分.在复杂情境中发现问题、解决问题，通常需要先通过直观想象对问题进行分析、探寻问题实质，再通过数学抽象、数学建模将其转化为数学问题.在复杂的逻辑推理或数学运算中，也需要运用直观想象来理清思路、简化运算；在大数据分析时，有时也要借助图表使数据更加直观.【案例4-14】把数学问题直观化、图形化问题：在平面四边形ABCD中，∠ADC......
2023-08-17
高中数学核心素养：直观想象素养的历史脉络
【摘要】：【案例4-1】筹算春秋末年，人们已经普遍掌握了完备的十进制记数法，使用了筹算这种先进的计算方法，谙熟九九乘法表、整数四则运算，并能使用分数.所谓筹算，是以可有数字的竹筹（即算筹）来计算数目.在《汉书·律历志》中有算筹形状与大小的记载：“其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚（gu），为一握.”算筹记数规则最早载于《孙子算经》：“凡算之法，先识其位.一纵十横，百立千僵.千十相望，万百相当.
【案例4-1】筹算
春秋末年，人们已经普遍掌握了完备的十进制记数法，使用了筹算这种先进的计算方法，谙熟九九乘法表、整数四则运算，并能使用分数.所谓筹算，是以可有数字的竹筹（即算筹）来计算数目.在《汉书·律历志》中有算筹形状与大小的记载：“其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚（gu），为一握.”算筹记数规则最早载于《孙子算经》：“凡算之法，先识其位.一纵十横，百立千僵.千十相望，万百相当.”
图4-1所示为中国古代算筹；图4-2所示为算筹横式与纵式比较图.
图4-1
图4-2
“数学抽象”与“直观想象”如同数学研究中观察世界的两翼，是我们窥视数学奥秘的钥匙.显然，从案例4_1中，我们看到了中国古代数学研究的一种工具，而工具的产生既帮助我们记数，又能帮助我们运算，成为继续研究问题的重要手段.工具是抽象的，工具又是具体的，有形的工具，给我们更多验算、推广的依据，“直观”“想象”，显然是我们研究数学极为重要的素养之一.
【案例4-2】泰勒斯的测量法
亚里士多德（Aristotle）的弟子欧得姆斯（Eudemus）在其《几何史》中描述了古希腊“七贤”之一，被誉为希腊几何学的鼻祖的泰勒斯（Thales）是如何求出海上轮船到海岸的距离的方法，但文献已失传.法国数学家坦纳里（P.Tannery）认为，泰勒斯应该是用如图4-3所示的方法来求船到海岸的距离的：设A为海岸上的观察点，作线段AC垂直于AB，取AC的中点D，过C作AC的垂线，在垂线上取点E，使得B、D和E三点共线.利用角边角定理，CE的长度即为所求的距离.这种方法据说为后来的罗马土地丈量员所普遍采用.
图4-3
在原始社会，人们就开始对图形进行研究，它作为工具，在实际问题的解决中有着举足轻重的地位.随着时代的发展，我们逐渐发现，几何在培养人的素质方面，除了熟知的理性精神和逻辑思维能力外，它还可以发展我们的直观能力和借助几何直观地进行推理论证的能力.
数学中的很多问题的解决灵感往往来自几何直观.数学家总是力求把他们研究的问题变成可借用的几何直观问题，使它们成为数学发现的向导，正如弗赖登塔尔所说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦.”
【案例4-3】虚数
16世纪的数学家对负数还持怀疑态度，负数的平方根当然更是荒谬绝伦.意大利数学家卡尔达诺（Gerolamo Cardano）对三次方程的解法作出重大贡献，他在解三次方程的过程中几次用到了复数，但最终他还是把它们放弃了.人们对复数的疑虑也反映在莱布尼兹的一段话中：“神灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的征兆，那个介于存在与不存在的两栖物，我们称之为虚数的（-1的平方根）.”直到19世纪，数学家才逐渐接受了它，而由韦塞尔（Wesssi）和高斯（Gauss）等给出了复数的几何表示，使复数的运算从直观角度来看更为自然，并使其在数学和物理中得到广泛应用，如电学、流体力学、弹性力学等领域.
数学中的抽象性带有理论和哲学色彩，而几何直观则带有经验和感情因素.比如复数概念的引入就是一个很好的例证，复数的概念全因逻辑上的需要而直接引进“理想元素”，在它被引入后的最初两个半世纪中一直给人“虚无缥缈”的感觉，直至韦塞尔、高斯等人以几何直观为中介，相继对它作出几何解释与代数解释，把它与平面向量或数偶对应，才帮助人们直观地理解了它的真实意义，并取得了实际应用，提高了复数的可信性.
20世纪60年代，我国中小学数学教育便形成了以“双基”（基础知识和基本技能）和“三大能力”（运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力）为基础的优良教育传统.2003年，《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力五大能力.空间想象能力既属于20世纪60年代“三大能力”范畴，又属于21世纪“五大能力”范畴，凸显出其在学生数学素养体系中的重要价值.
2012年初，教育部颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想.……还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.”马云鹏教授认为，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提到的这10个关键词就是义务教育阶段学生所必须具备的数学学科核心素养.“空间观念”与“几何直观”的价值得到充分认可.
《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的“直观想象”这一数学学科核心素养，来自“空间想象能力”，是对《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“空间观念”与“几何直观”两个关键词的新发展，具体体现在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中对直观想象的描述：“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.”图4-4所示为直观想象素养的发展历程.
从《普通高中数学课程标准（2017年版）》的描述中，可以发现“几何直观”“空间想象”“空间形式”“图形”等关键词，这显然是从几何学的视角来描述直观想象的.从直观想象素养的外延来看，《普通高中数学课程标准（2017年版）》突出强调借助空间形式，来认识现实世界事物的位置关系、形态变化与运动规律；突出利用几何图形来描述、分析和解决数学问题；强化建立形与数的联系，从而构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.因此，在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，无论是直观想象的内涵还是外延，均呈现出显著的几何特征.
图4-4
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