高中数学核心素养：逻辑推理渗透数学学习

2023-08-17 理论教育版权反馈

【摘要】：逻辑推理素养作为高中数学六大核心素养之一，承载着落实数学学科严谨性特征的重要责任.在每一个数学学习的环节中，都可以将逻辑推理素养进行合理渗透，从而提高学生的逻辑推理能力.数列的最值初步研究1.预习演练问题反思 ①类比函数的最值，如何定义数列的最值？问题：设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1＜0，S8=S13，则当n取何值时，Sn最小？

逻辑推理素养作为高中数学六大核心素养之一，承载着落实数学学科严谨性特征的重要责任.在每一个数学学习的环节中，都可以将逻辑推理素养进行合理渗透，从而提高学生的逻辑推理能力.

【案例3-13】数列的最值初步研究

1.预习演练

问题反思 ①类比函数的最值，如何定义数列的最值？②如何理解数列与函数的相互关系？③求数列最值有哪些常见方法？

归纳小结

（1）已知数列｛an｝，存在m∈N*，对于任意的n∈N*，有an≤am（an≥am），则称am为数列｛an｝的最大（小）值.

（2）数列可以看作是定义域为正整数集（或其子集）的函数.

（3）研究数列最值的一些常用方法：①运用常见函数的特点（注意n∈N*对问题的影响）；②运用数列单调性的定义；

2.问题探究

引入在预习演练中，每个数列的通项公式皆已明确，可从函数解析式着手加以解决，若通项公式不明时又当如何解决呢？

问题：设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1＜0，S8=S13，则当n取何值时，Sn最小？

（2）在a1＜0的情形下，如果将S8=S13推广到一般情况，即Sp=Sq （p，q∈N*，p＜q），其他条件不变，如何求数列的最值？

变式2 设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1＞0，Sk＞0，Sk+1＜0（k∈N*），则当n取何值时，Sn最大？

思路2 设Sn对应的二次函数y=f（x）的零点为x=x0，则x0∈（k，k+1）.

思考：通过对等差数列的前n项和为Sn的最值问题的探究，能否将该问题类比到各项均为正数的等比数列中，写出一个正确的命题，并加以证明.

3.小结回顾

（1）数列是定义域为正整数集（或其子集）的函数，所以研究数列的最值问题，常常从函数的思想和观点出发，借助函数的图像和性质来进行研究.

（2）类比思想是研究等差数列和等比数列的常用方法，在研究数列最值的问题上也可运用此类思想方法.

（3）数学内容中普遍存在着相互联系和相互转化的规律，了解这些规律可以帮助我们将所学的数学知识进行系统化，加深对数学知识的理解和认知.

案例3-13的内容是高三的数列复习课，属于拓展课，主要内容是对等差数列的最值研究以及等比数列最值的类比推广研究.从知识体系上看，是通过经历从函数视角出发研究数列最值的过程，明确函数和数列在知识体系上的内在联系.体会“从特殊到一般”以及“转化”的思维策略，知道数学内容中普遍存在着相互联系、相互转化的规律，体会温故而知新的道理，建立利用已有知识指导解决新问题的思想观念.

高二学生已经经历过“函数”章节的学习，对于函数的最值有比较全面的了解.在学习数列知识之后，对于等差数列和等比数列的知识也相对比较熟悉.但是函数和数列之间存在的内在联系是学生所容易忽略的，在如何将两者的知识体系和研究方法进行转化和贯通上，存在可以进一步引导的空间.

案例3-13选用了“一般到特殊”以及“变式”教学的模式，这是基于以学生为主体，希望学生在课堂中通过观察、发现和探究的方式得到正确结论.“一般到特殊”的方式使得学生在研究这部分内容的时候，将一个比较抽象难懂的问题进行合理分层，在特殊问题研究的基础上，将研究方法推广到一般问题.在“变式”教学的过程当中，通过将之前已经解决的问题的某些条件进行改变，从而产生新的问题，并且关注这些改变的条件对于问题的影响来解决新问题.通过多次变式，将原先研究的问题进行进一步推广，发现并探究一系列问题.在变式过程中，不仅让学生观察和探究了新问题，也为他们能够自己发现问题和提出问题提供了一定的启发.

高中数学核心素养：逻辑推理渗透数学学习

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