对于学科来说，抽象是数学的首要特征，抽象为推理提供了对象，为模型提供了依据，为数学的广泛应用提供了基础.两种事物，如果有相同的量或形，便可用相同的数学方法，因而数学必然、也必须是抽象的.对于育人来讲，“数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形，所以数学是无处不在、无时不用的”.因而学生经历数学的抽象，不仅由此生成了数学的研究内容，更具普遍意义的是抽象的过程，能让学生学习如何从量或形的视角去观察、......
2023-08-17
高中数学核心素养-逻辑推理在数学学科中的价值
【摘要】：逻辑推理的数学学科价值体现在两方面：①逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式；②逻辑推理是数学严谨性的基本保证.在数学结论的获得、数学体系的构建方面，逻辑推理是重要的、不可或缺的方式.在高中数学学习过程中，逻辑推理渗透到了每个学习内容板块和学习环节中.严谨性是数学学科的重要特征之一，而逻辑推理为这一特点的形成提供了重要的保证.直线的方程概念引入问题1：在直角坐标系中，如何确定一条直线？
逻辑推理的数学学科价值体现在两方面：①逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式；②逻辑推理是数学严谨性的基本保证.
在数学结论的获得、数学体系的构建方面，逻辑推理是重要的、不可或缺的方式.在高中数学学习过程中，逻辑推理渗透到了每个学习内容板块和学习环节中.严谨性是数学学科的重要特征之一，而逻辑推理为这一特点的形成提供了重要的保证.
【案例3-6】直线的方程概念引入
问题1：在直角坐标系中，如何确定一条直线？以经过点A的直线为例，如图3-2所示，只确定经过点A，但方向不定的直线有无数条，如果给定一个方向
，则可以确定唯一的直线l.把像
这样平行于直线l的向量称为直线l的一个方向向量.
图3-2
所以已知直线上的一个点、一个方向向量，可以在坐标平面内确定一条直线.
注：（1）如果有学生提到两点可以确定一条直线，可指出其想法正确，除给定点A点以外，确定另一个点，如B（0，3），恰恰为直线l提供了方向，可以通过点A、B确定直线l的一个方向向量
=（-4，3）.
（2）如果有学生提到确定倾斜角，可指出倾斜角为直线提供了一个方向，在确定一个点和一个方向的情况下，可以在坐标平面内确定直线l，可以用向量来刻画直线的方向，引出方向向量的概念.
追问2：两点确定一条直线完全正确，但如何证明一次函数的图像就是直线？
答：一次函数的解析式也可看作一个一元二次方程，如果用一次函数进行验证就变成了“方程的解满足方程”了，与直线l无关.
（3）（极端状况）毫无反应，继续引导：通过一个点A和一个方向向量
确定直线l，不妨从点C与点A和
的联系角度进行研究（必要时给出图示）.
归纳方法：通过向量平行来证明A、B、C三点共线，从而证明点C在直线l上.
注：由于问题是求直线l的方程，不排除个别学生可能还是会出现只写了第一部分的情况，如果出现这种情况，可以实物投影后请学生指出错误的地方，并再度强调直线的方程概念的两方面缺一不可，根据当时情况决定是否需要再把A⊆B且B⊆A拿出来对概念进行强调.
当u≠0且v≠0时，上述方程可化为
，称为直线的点方向式方程.
问题5：（习题）已知直线l过点P（0，2），一个方向向量
=（1，2），求直线l的点方向式方程.
思考：当u=0或v=0时，写出直线l的方程.
u=0时，l：x=x0；v=0时，l：y=y0.
案例3-6是高二解析几何的第一堂课.直线的方程是在学生初中阶段学习了正比例函数和一次函数的基础上进行研究的.学生在学习过程中很容易产生为什么要学习这堂课的疑问.而这堂课是在学生初中阶段直观认识的基础上，将直线的方程进行更加严格的定义和证明，帮助学生明确逻辑推理在得到数学结论、构建数学体系的重要意义.
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