高中数学核心素养之逻辑推理攻略

2023-08-17 理论教育版权反馈

【摘要】：某学生回答：“是的.”并给出证明如下：假设当n=k时，等式成立，即2+4+6+……+2k+2（k+1）=k2+k+2+2（k+1），而k2+2k+1+k+1+2=（k+1）2+（k+1）+2，等式也成立.你认为这个学生回答的对吗？

如前所述，逻辑推理主要包括两类：①从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；②从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.

不同的逻辑推理形式，在数学教学中起到不同的作用.在学习过程中，问题的发现和提出较多依赖于归纳和类比，而问题的分析和解决，尤其是数学命题的证明，则主要依赖于演绎.

以数学归纳法为例，在高中数学教学中，数学归纳法是推理的一个重要研究对象.在高中数学教材中常用于证明与正整数n有关的数学命题的简单方法，步骤如下.

（1）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时，命题成立；

（2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

在完成上面两个步骤后，我们就可以断定这个命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.

数学归纳法名为“归纳”，但其本质却是演绎法，通过一系列的三段论对与自然数集或其子集有关的命题进行演绎证明.数学归纳法的两个步骤缺一不可，不妨从以下阅读材料中进行分析.

【案例3-2】教学归纳法

仔细阅读材料，并回答问题：一天，老师问：“2+4+6+……+2n=n2+n+2是否对任意n∈N*均成立？”某学生回答：“是的.”并给出证明如下：

假设当n=k（n∈N*）时，等式成立，即2+4+6+……+2k=k2+k+2.

那么当n=k+1时，2+4+6+……+2k+2（k+1）=k2+k+2+2（k+1），

而k2+2k+1+k+1+2=（k+1）2+（k+1）+2，等式也成立.

你认为这个学生回答的对吗？

答：该学生回答的步骤缺少了数学归纳法的第一步，使得整个推论的过程缺少了一个前提，从而得到了错误的结论.

从案例3-2中可以看出，在高中教学中，我们在演绎推理方面有相对严格的要求，不可忽视归纳、类比这类从特殊到一般的推理形式在数学学习中的重要性.

【案例3-3】学习能力型问题：从一般到特殊的证明

案例3_3是典型的从一般到特殊的问题研究.通过对概念的学习，首先了解问题的一般情况，继而用一般情况下的结论来研究特殊的情况.该问题不仅仅锻炼了学生的学习能力，同时也为学生提供了一种重要的研究数学的方法，用一般结论来指导特殊情况的研究.