高中数学核心素养：图形计算器辅助提升

2023-08-17 理论教育版权反馈

【摘要】：为方便起见，取a=10，则问题转化为：是否存在m、n＞0，使lg（m+n）=lgm·lgn成立？

图形计算器是一种能够绘制函数图像，执行各种操作的手持计算器.图形计算器具有直观、具体、形象、便捷的特点，可以更高效地促进学生思维发展.

【案例2-12】一道易错题的思考

问题：表2-4中的对数值，有且仅有一个是错误的，请指出这个错误.

表2-4　对数值

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分析

i 假设当x=3时，lg3=a-b是错误的，则lg9=lg32=2lg3，可知lg9=2a-2b也是错误的，这与“有且仅有一个是错误的”矛盾，故lg3=a-b、lg9=2a-2b都是正确的.

ii 假设x=5时，lg5=a+b是错误的，则lg15=lg（3×5）=lg3+lg5=2a，可知lg15=2a也是错误的，同上可知，lg5=a+b、lg15=2a都是正确的.因此，x=8时，lg8=a2-b2是错误的.

错因上述错误原因在于错用公式.误以为lg8=lg（3+5）=lg3×lg5，也即错将公式记为loga（m+n）=logam·logan.

探究loga（m+n）=logam·logan（a＞0，a≠1，m，n＞0）是错误的公式，但，等式loga（m+n）=logam·logan（a＞0，a≠1，m，n＞0）究竟是恒不成立，还是不恒成立呢？

为方便起见，取a=10，则问题转化为：是否存在m、n＞0，使lg（m+n）=lgm·lgn成立？

分析原等式等价于10lg（m+n）=10lg m·lgn，则m+n=mlgn.因此，原命题等价于是否存在m、n＞0，使m+n=mlgn成立，可以转化理解为关于x的方程x+n=xlgn（x、n＞0）随着n的变化是否有解，这是一个超越方程，中学阶段是无法用传统的方法解决的，考虑到中学数学中常用的数形结合，该问题也可以转化为直线y=x+n和幂函数y=xlgn（x、n＞0）的图像是否有交点，故可借助图形计算器强大的作图功能来探索该问题.考虑到指数lgn的正负会影响幂函数图像的类型，所以，可以分类讨论如下.