高中数学核心素养：思维品质与数学抽象判断

2023-08-17 理论教育版权反馈

【摘要】：在高考试题中考查数学的思维策略与方法是近几年的热点之一.而高考中突出考查思维策略与方法有一般与特殊、正向与逆向的转化方法的灵活应用.从数学的解题方法上，能掌握相应的思维策略与方法，常常使人茅塞顿开、绝处逢生.（一）一般化思维方法一般化是与特殊化相反的思维方法，即将研究对象从原来范围扩展到更大范围进行考察和研究.由一个特殊性问题，联想到它的一般性问题，然后通过对一般性问题的分析、研究，来使特殊性问题

在高考试题中考查数学的思维策略与方法是近几年的热点之一.而高考中突出考查思维策略与方法有一般与特殊、正向与逆向的转化方法的灵活应用.从数学的解题方法上，能掌握相应的思维策略与方法，常常使人茅塞顿开、绝处逢生.

（一）一般化思维方法

一般化是与特殊化相反的思维方法，即将研究对象从原来范围扩展到更大范围进行考察和研究.由一个特殊性问题，联想到它的一般性问题，然后通过对一般性问题的分析、研究，来使特殊性问题得到解决.这种思维意识可以培养和提高数学抽象能力.

比如，当推广后的命题与原命题的条件与结论的形式或结构基本相同时，得到的命题是原命题的形式推广（或平凡推广）.

【案例1-12】命题推示

问题：观察分析表1-3中的数据.

表1-3

pagenumber_ebook=34,pagenumber_book=25

猜想一般凸多面体中F、V、E所满足的等式是____________.

分析归纳总结时，通过它们之间的和差运算的结果，然后归纳出一般结论.面数（F）与顶点数（V）的和减去棱数（E）的差为同一值的规律是解答本题的关键.

解三棱柱，面数（F）+顶点数（V）-棱数（E）=5+6-9=2.

四棱柱，面数（F）+顶点数（V）-棱数（E）=6+8-12=2.

立方体，面数（F）+顶点数（V）-棱数（E）=6+8-12=2.

所以可猜想一般凸多面体中F、V、E所满足的等式是：F+V-E=2.

这类问题推广以后命题是否正确，是否需要证明？当然对的命题要给出证明，错误的命题要举出反例加以说明.而对于案例1-12这样的填空题要给出证明就有点不妥，故命题人就需要选择能直接判断正确的问题来加以考查，因此此类命题一般从已有的数学等式出发.案例1-12中的等式是著名的欧拉公式.

对一个命题的推广有多种途径可循.一般是把条件进行相似性变换，即在数学元素的数量上或维数上进行推广；几何方面常表现为线段或边数（角数）的增加，或从平面到空间的推广；代数方面常表现为变量个数的递增；三角方面常表现为角数或含角的三角函数量的扩充.不同侧面的数量变化的研究，就可推出不同方向的命题推广链.这是一种类比性质的推广，往往会得到一些形式相似的结论.它反映了数学对象之间的横向相似联系，可以加深人们对于一类事物外延性的不同表现的认识.

（二）特殊化思维方法

特殊化是把所研究的数学问题从原来的范围缩小到一个较小范围或个别情形进行考察研究的思维方法.

在解题过程中，对于一时难以入手的一般问题，一个使用最普遍而又较为简单易行的方法，就是把它向特殊的形式转化，得到一个新的数学问题，然后通过对特殊性问题的研究，得到一般性问题的解法，即所谓的特殊化方法.有两种类型：①从简单情形入手，作为解决一般问题的突破口；②考察特殊对象（包括着眼于极端情形），为求解一般问题奠定基础.

【案例1-13】特殊化方法

问题：设g（x）是定义在R上、以1为周期的函数，若f（x）=x+g（x）在[3，4]上的值域为[-2，5]，则f（x）在区间[-10，10]上的值域为__________.

解 g（x）是定义在R上、以1为周期的函数，不妨可以假设g（x）为[3，4]上的单调增函数，且此时g（x）的值域为[-5，1]，则f（x）=x+g（x）为[3，4]上的增函数，且f（x）的值域为[-2，5]，满足条件.进一步推广到[-10，10]时，因为g（x）是以1为周期的函数，则其值域为［-5，1］，则f（x）在[-10，10]上的值域为［-10-5，1+10］，即为［-15，11］

案例1-13中所示问题，选择特殊化的方式可快速求出结果来.若从一般化的角度分析，则须把[-10，10]分成x∈[-10，-9]，x∈[-9，-8]，……，x∈[9，10]上分别求出其值域，再求出其并集，比较烦琐.

（三）逆向思维方法

一般解题都从正向出发，按顺向、正面的思考方向的流程进行分析解题.但有些数学问题，单一从正面出发，却是困难的.如果变化思考方向，从问题的逆向着手，那么往往轻松获解.这正体现了顺繁则逆，正难则反的解题策略.

【案例1-14】正难则反

问题：在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c）.若η＜0，则称点P1、P2被直线l分隔.若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.若动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.

解设M（x，y），根据题设得E方程是.

因x=0不满足上述方程，且以-x代x上述方程不变知曲线关于y对称，所以直线x=0是E的一条分隔线.

下面证明唯一性，假设还有过原点的直线为分隔线，即设y=kx是E的另一条分隔线，代入E的方程得[x2+（kx-2）2]·x2=1.

要直接证明这个方程有解是困难的，变形为 pagenumber_ebook=36,pagenumber_book=27 ，记y1=x2+（kx-2）2，y2，则y1是开口向上的二次函数，y2是关于y轴对称的幂函数，它们总有交点，即直线y=kx与E有交点，与分隔线的定义矛盾.所以不存在y=kx形式的直线，即E中有且仅有一条分隔线x=0.

证明命题中的存在性可采用代入法给予检验说明.但唯一性就需要正反结合考虑.案例1-14中就是用反证的方法，假设还存在其他的直线满足题意，然后推出矛盾，从而否定假设，证明唯一性成立.

高中数学核心素养：思维品质与数学抽象判断

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