高中数学核心素养：数学抽象渗透各学科

2023-08-17 理论教育版权反馈

【摘要】：数学抽象在数学各章节都有充分的体现.这里以立体几何部分为例做一个分析.我们知道，几何学研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系.位置是空间的最原始概念，几何学中用点来标记位置，点就是位置的抽象化.连接空间两个位置的通路是空间第二个原始概念，几何学将之抽象为从一个点到另一个点的连线.两点之间的所有连线中，有且只有一条最短，我们将它称为线段.“两点之间线段最短”是欧氏空间的基本特性（其他空间都不具有这

数学抽象在数学各章节都有充分的体现.这里以立体几何部分为例做一个分析.我们知道，几何学研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系.位置是空间的最原始概念，几何学中用点来标记位置，点就是位置的抽象化.连接空间两个位置的通路是空间第二个原始概念，几何学将之抽象为从一个点到另一个点的连线.两点之间的所有连线中，有且只有一条最短，我们将它称为线段.“两点之间线段最短”是欧氏空间的基本特性（其他空间都不具有这个特性，如球面上两点间的最短连线是过这两点的大圆的劣弧）.光由一点射向另一点而形成的光线可以一直向前无限延伸，射线这个基本概念可以看成是光线的抽象化.给定两点A、B，射线AB和射线BA的并集就形成了由空间两点A、B所确定的唯一直线AB.给定空间三点A、B、C，其中C不在直线AB上，将直线AB分别沿射线AC和射线CA方向无限平移，它们的并集就形成了由空间不共线三点A、B、C所确定的唯一平面ABC.

以上我们抽象出了空间的基本图形——点、直线、平面，由此得到构成平面多边形、空间多面体的基本要素.以下我们看几何图形的抽象过程.

（一）对几何图形的定义

抽象一个（类）几何图形的逻辑顺序是：定义—表示—分类.其中，定义给出了几何图形本质特征的确切而简要的陈述.一个几何图形的本质特征是指其组成要素的形状及位置关系（如相交、平行、垂直等）.以此为指导思想，通过对典型实例的分析、归纳得出共性，再抽象、概括出几何图形的组成要素的形状及位置关系，然后用严谨的数学术语做出表述，就得到了几何图形的定义.

需要注意的是，仅仅从分析与综合、归纳与演绎、联系与类比等一般思维方法的角度阐释数学对象的抽象过程是不够的.因为这样并没有解决“如何分析”“归纳什么”“如何类比”等问题，而这些问题恰恰是启发学生展开数学思考与探究的关键.我们知道：点、线、面是空间基本平面图形，柱、锥、台、球是空间基本立体图形；多面体由平面图形围成，部分旋转体的表面可以展开成平面图形（含圆、圆的一部分）；平面图形由点、直线段围成.所以，几何图形组成要素的形状及位置关系归根到底要从点、线段、圆（或其部分）及其位置关系入手分析.这样，在几何图形定义的教学中，教师一定要让学生在明确“几何图形的要素、要素之间的关系各指什么”的基础上，对“这类图形的组成要素是什么”“要素的形状是什么”“要素之间有什么位置关系”等展开分析、归纳、类比的思维活动，这样才能做到有的放矢.

（二）几何图形要素的表示

得到定义后，要给出几何图形要素的表示.几何对象的表示是与众不同的，有符号语言、文字语言和图形语言等多种方式.特别是符号语言的使用，使数学表达具有简洁性、明确性、抽象性、逻辑性等融为一体的特点，可以极大地缩减数学思维过程，减轻大脑的负担，更有利于我们认识和表达数学对象的本质.所以，在抽象研究对象阶段，要重视数学对象的符号表示.

（三）对几何图形进行分类

以要素的特征与要素间的关系为标准对几何图形进行分类.分类是理解数学对象的重要一环.一个数学对象的具体例子不胜枚举，按某种特征对它们“分门别类”，就使这一对象所包含的事物条理化、结构化，并可由此确定一种分类研究的路径，使后续研究按顺序展开.分类就是把研究对象归入一定的系统和级别，形成有内在层级关系的“子类”系统结构，从而进一步明确数学对象所含事物之间的逻辑关系，由此可以极大地增强“子类特征”的可预见性，从而也就有利于我们发现数学对象的性质.

以上是一个完整地获得几何对象的过程，“定义—表示—分类”是“基本动作”，是学生学会用数学的眼光观察世界、用数学的语言表达世界的基础，教材和教学都应该以明确的方式告诉学生“如何观察”“如何定义”，以使学生逐渐学会抽象出一个数学对象的方式方法.要注意通过恰当的问题情境，构建有利于学生观察与分析事物的数形属性、归纳共同本质属性并概括到同类事物中去的数学活动，让学生在具体情境中展开认识活动，并在“什么是几何对象的结构特征”“如何观察”“如何归纳”等方面加强引导，使学生在经历完整的数学抽象过程中获得研究对象.

高中数学核心素养：数学抽象渗透各学科

相关推荐