高中数学核心素养：认知事物间的关联价值

2023-08-17 理论教育版权反馈

【摘要】：表征性抽象，时常由事物的表面现象经验性地得到一些结论，这停留在抽象的第一个阶段.而原理性抽象把握的是事物的因果性和规律性的联系.在数学的学习中，往往需要联系事物之间的关系，为数学的高度抽象关系，建构起更加具体形象的认知.章建跃认为，人类的智慧表现在用简单的概念阐明科学的基本问题，用相似的方法解决不同的问题，而数学的方法就是这样的方法.在数学中，自然数不仅打开了数学研究的大门，也为数学推理验证由“有

表征性抽象，时常由事物的表面现象经验性地得到一些结论，这停留在抽象的第一个阶段.而原理性抽象把握的是事物的因果性和规律性的联系.在数学的学习中，往往需要联系事物之间的关系，为数学的高度抽象关系，建构起更加具体形象的认知.章建跃认为，人类的智慧表现在用简单的概念阐明科学的基本问题，用相似的方法解决不同的问题，而数学的方法就是这样的方法.在数学中，自然数不仅打开了数学研究的大门，也为数学推理验证由“有限”走向“无限”奠定基础，这就表现在数学归纳法的研究上.

研究一个含有正整数的命题，如果对一些具体的数值，比如1、2等，命题是成立的，人们往往会猜想：这个命题是否对所有的正整数都是正确的呢？对于要验证的命题，我们总会有一个初始值n0，比方说从1开始，然后由k-1到k，最后逐一验证任意一个大于1的正整数，命题都是成立的.如果这种自然数之间依次有序的性质，对于要验证的命题由k-1成立到k时也成立，那么命题的为真的性质就可以依此类推进行至无穷.用数学归纳法验证猜想是否正确，用A（n）来表示这个命题，证明的步骤如下：

（1）首先验证当n=n0时，A（n0）为真；

（2）假设当n=k-1时，A（k-1）为真，验证A（k）为真；

（3）如果验证成功，则完成证明.

虽然在应用数学归纳法证明命题的过程中，很多时候第一步是很显然的，但是并不是可有可无的.如果建立起了“A（k-1）→A（k）”的关联（其中k≥n0+1），那么由“A（n0）为真”就可以关联到“A（n0+1）为真”，直至抽象出更一般的关联.将n能够取到的正整数经由步骤（2）不断地关联到下一个正整数，有限步达到了无限的逐一验证，因此数学归纳法是“完全归纳”.

数学高度抽象的过程联系具体的事物，不失为一种提升认知的方式.在学习二项式定理过程中，以“两个相同的盒子中，分别装有红黄两种大小形状完全相同的小球各一个，分别从两个盒子中各取一个小球，有多少种结果”，用此“两红、一红一黄、两黄”类比多项式乘法（a+b）2的展开式中的a2、ab、b2.“一红一黄”的取法有两种，对应与项ab的系数为2.在课堂教学中，再进行实物演示，推广到4个盒子，即（a+b）4.学生掌握到这种二项式展开式，先要确定项的形式，再确定项的系数，再到n维的情况，自然过渡到r个（a+b）中取元素b，剩余的取a，得到通项.这个过程先弱化了抽象层次，关联实物，更加具体，而当学生熟悉了解了两者关联之间的规律，便可以进入到高层次的抽象，顺利掌握新知.因此在课堂教学中，有必要为冰冷严谨无误的数学概念定理关联上可触可感的形象外衣，使得学生数学抽象素养水平更具有层次，更具有发展性.

高中数学核心素养：认知事物间的关联价值

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