高中数学核心素养：数学抽象表现形式

2023-08-17 理论教育版权反馈

【摘要】：我们该如何思考这个问题呢？我们不妨从最简单的情况入手.令b=1，先讨论a2-1的情形.a2-1能否分解为两个代数式乘积的形式呢？继续试验，假设a=6，那么a2-1=36-1=35，而35的确可以拆成5×7，而且是唯一的，同时，5=6-1，7=6+1.故我们可以做出猜测，a2-1=（a-1）（a+1），并进一步猜测a2-b2=（a+b）（a-b）.但是，当b=2，3，4，5，6时，a2-b2=（a+b）（a-b）是否成立呢？

皮亚杰及其同事用“反省抽象”来描述数学抽象的心理过程，认为逻辑数学结构既不是发现，又不是发明，而是凭借反省抽象进行的，是完全意义上的建构.反省抽象指的是将个体动作中的协调抽取出来，并在更高的层面上对这种协调进行重组的过程.

根据皮亚杰的反省抽象理论，数学抽象是从知觉运动经验到数学逻辑结构发展的逐级抽象过程，每级抽象中都是采用“投影—反射”机制进行的，其投射过程是从知觉运动经验或已有的数学模型中分离出基本要素，把若干个不同的典型模型中的要素进行新的数学表征；反射过程则是比较若干模型的要素属性的相似性，从中得到共同属性，并把模型推广到一般，得到一般化的结论，并通过逻辑和运算对得到的结果进行逻辑确定.在反省抽象的投影与反射活动中，最核心的认知操作是分离出下一层次抽象结果的要素，放在工作记忆平台上用新的视角关注属性之间的相似性和共同点，从更高层次上发现其共同属性，并用适当的数学方法进行一致表征，实现信息的协调.从抽象素养的认知机制来看，它与数学学科结合的特征有如下特点.

（一）数学抽象具有价值性

数学知识是数学抽象的产物，在一定程度上而言，数学抽象体现了数学（及其数学研究方法）的本质特征.因此，相对于数学知识的价值而言，数学抽象具有的价值（这里既指其学科价值，也指其教育价值）更为重要.通过数学抽象这一构造活动，不仅可以让学生经历数学知识产生的过程，还有助于学生体会数学知识本身的量化、形式化、模式化和理想化的特点，逐步形成“数学是关于模式的科学”的数学观和初步的“模型思想”.

数学抽象的价值性主要体现在以下两方面.

（1）数学抽象具有重要的学科价值.在一定程度上而言，数学学科主要是借助数学抽象建立起来并不断发展的.数学抽象“使数学成为高度严谨、高度精确、应用广泛、结构性强的学科”.数学抽象的不断发展，也使数学学科与其他学科紧密地联系在一起.

（2）数学抽象具有重要的教育价值.学生学习数学抽象不仅能培养其数学抽象的能力，而且有助于改善其思维方式，提高其思维效率，同时，数学抽象可以帮助其更好地体会数学的本质等.因此，《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学抽象作为数学“学科核心素养”之一.“对教师而言，引导并训练学生逐步从初级的经验水平转向高级的科学水平的抽象，提高他们的思维水平，促进他们的智慧发展，是数学教育的重要任务.”

【案例1-1】平方差公式

对于初次学习平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b），初中生的抽象思维水平尚未达到完全符号化的程度，因而，直接采取传统的做法，即由（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，直接导出a2-b2=（a-b）（a+b）.这种做法的确节省时间，但是，对多数学生来说并没有真正理解平方差公式的内在含义，或者说，学生并不真正认同这个公式；不仅如此，这种学习也使学生丧失了一次思维训练的良机.如果将其改为如下的形式，其效果可能会有质的差异.

教师一上课就出示问题：能否将代数式a2-b2分解为两个代数式的乘积的形式呢？我们该如何思考这个问题呢？

我们不妨从最简单的情况入手.

令b=1，先讨论a2-1的情形.a2-1能否分解为两个代数式乘积的形式呢？我们尝试着借助自然数的分解思想来思考：假设a=1，那么a2-1=1=0，0=0×0，结果很不明朗；假设a=2，结果仍不明朗.继续试验，假设a=3，那么a2-1=9-1=8，而8除1和自身外，有两个因子2、4，而8的确可以拆成2×4，而2=3-1，4=3+1，至此结论开始明朗起来……继续试验，假设a=6，那么a2-1=36-1=35，而35的确可以拆成5×7，而且是唯一的，同时，5=6-1，7=6+1.故我们可以做出猜测，a2-1=（a-1）（a+1），并进一步猜测a2-b2=（a+b）（a-b）.但是，当b=2，3，4，5，6时，a2-b2=（a+b）（a-b）是否成立呢？

学生可以分组研究b=2，b=3，b=4，b=5，b=6的情况，而后进行全班汇报.最终，综合各种情况，得出a2-b2=（a+b）（a-b）的结论.于是我们便发现了一个新的公式，这个公式恰恰是（a+b）（a-b）=a2-b2的逆用.

让学生经历这样的过程，并非多余，而是借助自然数的因数分解实现多项式的因式分解，让学生获得归纳的经验，在直观的基础上进行逐步抽象，进而实现理解性掌握，在获得新知的同时，经历一次思维的训练，实现思维层面的提升.

（二）数学抽象具有客观性

数学是以抽象的方式与形式来反映客观世界的数量关系与空间形式的一门科学，具有一定的客观性.数学抽象的客观性常常表现为许多抽象的数学理论具有一定的客观现实背景，或者数学抽象的产物（即数学理论）在社会生活、科学研究中具有广泛的用途.《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程.”从本源上来说，很多数学概念或数学理论是从现实世界客观存在的事物中，经过抽象，概括出客观事物之间的数量和数量关系、图形与图形关系，其数学抽象的过程并不是由人们凭空捏造、任意想象的，并不会因为某一个（类）人的某种观念的变化而发生改变.数学抽象的客观性表现在数学抽象的对象与结果是客观的，数学对象并不是没有内容的，也不是与现实世界毫无关系的.从本源上来说，许多数学对象来自于现实世界，在某一数学对象及其理论被数学家创造出来之后，就像现实世界客观存在的事物一样具有一定的客观属性.数学抽象的客观性还表现为数学概念，数学理论等数学抽象的产物，其所蕴含的数学内容是有其数学基础与逻辑保障的，并不断受到数学共同体的检验.

（三）数学抽象具有模型化特征

数学抽象是用数学语言概括地或近似地描述现实世界的事物之间的数量关系与空间形式.数学抽象离不开模型化，模型化的最终结果是构建数学模型.数学模型是“沟通数学与现实世界的桥梁”，为了构建适宜的数学模型解决某一现实问题，需要对现实问题进行一定简化，忽略其次要因素，或与解决目标无关的因素，并在此基础上运用一定的数学方法，使之转化成一个数学问题，即从数学的角度，运用数学的手段，不断使一个现实问题理想化与形式化.运用一定的数学方法解决相应的数学问题后，要把所得到的问题的解“回代”到现实问题中进行“检验”，以分析其是否达到预设的解决目的.并且很多时候，模型化的数学抽象过程并不是一次性完成的，而是有一个逐步完善、不断精确的过程.如果在构建某一数学模型的过程中，简化（忽略）的因素太多，从而在一定程度上改变了原来现实问题的本质特征与本质结构，那么所得的数学模型对原来现实问题的解答只能是初步的，近似的，可能远远不能满足其预设的目标，这时就需要把此前简化（忽略）的某些因素重新纳入，继续构建新的数学模型，寻找新的解决问题的数学方法.理想的数学模型要求与所需要解决的现实问题完全吻合，可以100%解决其现实问题，但由于现实问题的异常复杂性，针对某一现实问题构建其理想的数学模型往往是困难的，有些甚至是不可能的.因此，在构建数学模型的过程中，往往要进行“折中”，只要能够达到预设的解决问题的目标要求，就可以认为相应的数学模型是合理的，有效的.

【案例1-2】数学模型的应用

可将上述问题转化为同一数学模型，即首尾项进行合并，然后类似进行对称配对可以解决这类问题.

（四）数学抽象具有发展性

数学抽象的发展性，一方面表现为数学抽象是具有层次性的，即对数学对象的抽象是逐级抽象，逐步完善，不断发展的.无论是在数学学习过程中，还是在数学发展过程中，数学抽象一直在不断地深入与丰富，具体表现为数学学习与研究过程都是从基础到复杂，从具体的事物到抽象的事物，再从初步抽象的数学结果抽象出更为抽象的数学结果.随着抽象层次的不断提高，数学不断地向更高（高维的、多变量的）的抽象层次发展，使它“包含的内容更深刻、更远离具体现实世界，从而应用与适用的范围也越来越广”.数学抽象的发展性另一方面表现为学生对数学抽象的认识与理解是逐步深入的，其数学抽象能力是逐步提高与发展的.随着学生对数学抽象对象、数学抽象过程以及由此而产生的数学抽象结果的深入理解，其对数学抽象的认识不再固执于它的某一方面，而是综合考虑数学抽象各方面的本质特征，以及它们之间的内在联系和相互作用等.

高中数学核心素养：数学抽象表现形式

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