高中数学核心素养：数学抽象素养的扩展

2023-08-17 理论教育版权反馈

【摘要】：（一）抽象1.理想化的抽象理想化的抽象即指抽象层次性的简约阶段，由实际的事物或现象引出抽象概念的方法，其中包括对于真实事物或现象的简约化与完善化，从而得出的数学概念与现实原型未必完全符合，如“没有大小的点”“没有宽度的线”“没有厚度的面”等几何概念都是简约化的结果.平面几何中已经证明任意三角形三个角的平分线交于一点，但真实世界的经验告诉我们，无论绘图员多么细心、采用多么精确的工具，他所画图形中的三

（一）抽象

1.理想化的抽象

理想化的抽象即指抽象层次性的简约阶段，由实际的事物或现象引出抽象概念的方法，其中包括对于真实事物或现象的简约化与完善化，从而得出的数学概念与现实原型未必完全符合，如“没有大小的点”“没有宽度的线”“没有厚度的面”等几何概念都是简约化的结果.平面几何中已经证明任意三角形三个角的平分线交于一点，但真实世界的经验告诉我们，无论绘图员多么细心、采用多么精确的工具，他所画图形中的三条角分线也只是近似地相交.这种理性化的抽象已从空间经验推进到整个数学世界.亚里士多德曾描述这个过程：“数学家舍去一切感性的东西，如重量、硬度、热，只留下量和空间连续性.”

2.强抽象与弱抽象

弱抽象也可以称作“概念扩张式抽象”，即从原型（或已有概念）中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例.比如，由全等形的概念出发，借助弱抽象就可获得相似形及等积形的概念，它们分别保存了“形状相似”与“面积相等”的特性.相对于后者而言，全等形的概念就可以说是一个原型，而由全等形的概念出发去建立相似形及等积形的概念则就是弱抽象的过程.人们可以将一类或某种结构内容较为丰富的对象作为弱抽象的原型，并通过特征分离和规范化的定义方法去构造出更为一般的模式.

3.存在性抽象

存在性抽象是人类思维能动性的一种重要表现形式，有时可以假设一个原先认为不存在的“对象”的存在性，也即引进所谓的“理想元素”，并由此而发展起一定的数学理论.比如，虚数i以及无穷远点的引进就是这样的例子.

（二）抽象思维的分类

抽象思维的具体形式是多种多样的.如果以抽象的内容作为标准加以区分，抽象大致可分为表征性抽象和原理性抽象两大类.表征性抽象的抽象内容是事物所表现的特征，原理性抽象的抽象内容是普遍性的定律.

1.表征性抽象

所谓表征性抽象是以可观察的事物现象为直接起点的一种初始抽象，它是对物体所表现出来的特征的抽象，如物体的“形状”“重量”“颜色”“温度”“波长”等，这些关于物体的物理性质的抽象，所概括的就是物体的一些表面特征.这种抽象就属于表征性的抽象.表征性抽象同生动直观是有区别的.生动直观所把握的是事物的个性，是特定的“这一个”，如“部分浸入水中的那支筷子，看起来是弯的”，这里的筷子就是特定的“这一个”，“看起来是弯的”是那支筷子的表面特征.而表征性抽象却不然，它概括的虽是事物的某些表面特征，但是却属于一种抽象概括的认识，因为它撇开了事物的个性，它所把握的是事物的共性.比如古代人认为，“两足直立”是人的一种特性，对这种特性的认识已经是一种抽象，因为它所反映的不是这一个人或那一个人的个性，而是作为所有人的一种共性.但是，“两足直立”对于人来说，毕竟是一种表面的特征.所以，“两足直立”作为一种抽象，可以说是一种典型的表征性抽象.表征性抽象同生动直观又是有联系的.因为表征性抽象所反映的是事物的表面特征；所以，一般来说，表征性抽象总是直接来自一种可观察的现象，是同经验事实比较接近的一种抽象.

2.原理性抽象

所谓原理性抽象，是在表征性抽象基础上形成的一种深层抽象，它所把握的是事物的因果性和规律性的联系.这种抽象的成果就是定律、原理.比如，杠杆原理、落体定律、牛顿的运动定律和万有引力定律，光的反射和折射定律、化学元素周期律、生物体遗传因子的分离定律、能量的转化和守恒定律、爱因斯坦的相对性运动原理等，都属于这种原理性抽象.

原理性抽象不同于表征性抽象，它所抽取的不是事物的外露的表面特征，而是事物内在的规律性联系，如“静止”“运动”“直线”“等距”等可以说是表征性抽象，它们表征着物体的一种状态，而“每个物体继续保持其静止或沿一直线作等速运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态”就可以说是一种原理性抽象，它抽取的是物体运动的一种规律性.正因为原理性抽象抽取的不是外露的表面特征，所以它同表征性抽象相比，更远离了经验事实，但又是更深刻的认识，它认识到自然界的内部秘密.在科学发展的常规时期，原理性抽象的实现是以已有的理论作为指导；而在科学发展的革命时期，反常的原理性抽象的实现必须突破已有理论的框架范围.

3.低层抽象和高层抽象

来自然界的事物及其规律是多层次的系统，与此相应，科学抽象也是一个多层次的系统.根据抽象的层次，可以分为低层抽象和高层抽象.相对于解释性的理论原理来说，描述性的经验定律可以说是低层抽象，而解释性的理论原理就可以说是高层抽象.

把科学抽象区分为低层抽象和高层抽象，是相对而言的.理论抽象本身也是多层次的.比如，牛顿的运动定律和万有引力定律相对于开普勒的行星运动三大定律来说是高层抽象，因为我们通过牛顿三大运动定律和万有引力定律的结合，就能从理论上推导出开普勒由观测总结得到的行星运动三大定律.一切普遍性较高的定律和原理，都能演绎出普遍性较低的定律和原理.一切低层的定律和原理都是高层的定律和原理的特例.如果一个研究者从事更高层的抽象，其结果无法演绎出低层抽象，那就意味着他所做的高层抽象是无效的，不合理的，应予纠正.

高中数学核心素养：数学抽象素养的扩展

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