刘徽割圆术：中国古代数学奠定圆周率计算基础

2023-08-16 理论教育版权反馈

【摘要】：有了刘徽的注释，《九章算术》才得以成为一部完美的古代数学教科书。刘徽建立的割圆术，是在圆内接正六边形，然后使边数逐倍增多，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”刘徽的割圆术是求圆周率的正确方法，奠定了中国圆周率计算长期在世界上领先的基础。为了开平方，刘徽提出了求“微数”的思想，这与现今无理根的十进小数近似值完全相同。同时刘徽的“微数”也开创了十进小数的先河。

有了刘徽的注释，《九章算术》才得以成为一部完美的古代数学教科书。在其著作的《九章算术注》中，刘徽发展了中国古代“率”的思想和“出入相补”原理。用“率”统一证明《九章算术》的大部分算法和大多数题目，用“出入相补”原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积公式。为了证明圆面积公式和计算圆周率，刘徽创立了割圆术。

有了割圆术，也就有了计算圆周率的理论和方法。圆周率是圆周长和直径的比值，简称π值。π值是否正确，直接关系到天文历法、度量衡、水利工程和土木建筑等方面的应用，所以精确计算π值，是数学上的一个重要任务。

在刘徽以前，已有许多人计算过π值。最早的π值是3，后来又发展到3.1547或10。但如何求得，从未有人进行科学的阐明。刘徽建立的割圆术，是在圆内接正六边形，然后使边数逐倍增多，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”从圆内接正六边形出发，依次计算出圆内接正12边形、正24边形、正48边形，直到圆内接正192边形的面积，然后使用现在所称的“外推法”，得到了圆周率的近似值3.14，这个圆周率数据是当时世界上的最佳数据，纠正了前人“周三径一”的说法。

“外推法”是现代近似计算技术的一个重要方法，但刘徽的研究遥遥领先于西方发现了“外推法”。刘徽的割圆术是求圆周率的正确方法，奠定了中国圆周率计算长期在世界上领先的基础。这是因为，圆内接正多边形无限多时，其周长极限即为圆周长，面积即为圆面积。古希腊数学家阿基米德曾提出圆周长于内接圆内多边形而小于圆外切多边形周长，算出了3.14<π<3.16的数值。但阿基米德用的是归谬法，避开了无穷小和极限，而刘徽应用了极限的概念，且只用圆内接正多边形的面积计算，而省去了计算圆外切正多边形的面积，从而取得了事半功倍之效。

在割圆的过程中，要反复用到勾股定理和开平方。为了开平方，刘徽提出了求“微数”的思想，这与现今无理根的十进小数近似值完全相同。求微数保证了计算圆周率的精确性。同时刘徽的“微数”也开创了十进小数的先河。

▲刘徽像

刘徽割圆术：中国古代数学奠定圆周率计算基础

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