数学建模：概念、步骤及教育价值

2023-08-13 理论教育版权反馈

【摘要】：“数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容”，数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。（三）数学建模的一般步骤例1哥尼斯堡七桥问题。建立模型分析：根据题意，设y表示旅馆一天的总收入，x为与160元相比降低的房价。事实上二次函数在［0，90］之内只有一个极值点25。

（一）数学模型

数学模型是指用数学语言描述了的实际事物或现象，它一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等，为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学，使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。

广义地说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可以称为数学模型；各种数学分支也都可以看作数学模型，如欧式几何、非欧几何、线性代数、微积分、复变函数、平稳过程、马尔可夫过程等。

然而，作为数学建模中的数学模型，其内涵主要是指在解决实际问题时所用的一种数学框架，这种数学框架可以是方程、计算机程序乃至图表和图形。

（二）数学建模

数学建模是建立数学模型过程的缩略表示。“数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容”，数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态、内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容。

在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者最广泛用于交流的语言——因为他们普遍相信，自然是严格地演化着的，尽管控制演化的规律可以很复杂甚至是混沌的。因此，人们常对实际事物建立种种数学模型以期通过对该模型的考察来描述、解释、预计或分析出与实际事物相关的规律。

由以上讨论可以看出，数学建模是一个“迭代”过程，每次“迭代”包括实际问题的抽象、简化，作假设以形成数学框架；解析地或数值地求出模型的解；对求解所得结果解释、分析和验证；如果符合实际可交付使用，如果与实际情况不符，需对假设作修改，进入下一个“迭代”……最终求得令人满意的结果。

回顾历史，我们发现，中国古代数学经典著作（如《九章算术》）中的大部分都是以问题集形式出现的，与今天数学建模的叙述十分相似，可以把它们看作早期的数学建模专著。当然，由于时代的变迁，现在数学建模所关注的问题与古代经典数学著作所记述的问题已有了很大的不同。

（三）数学建模的一般步骤

例1　哥尼斯堡七桥问题。

18世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有七座桥将河中的两个岛和河岸连结（如图7-4所示），岛上有一所古老的哥尼斯堡大学。据说每天傍晚时分，这所大学的学生们总要散步于这七座大桥之间。当时有人提出：能否在一次散步中把每座桥都走一次且只走一次，最后又回到原来的位置。这个问题吸引了不少人去思考和试验，但都没有成功，于是大学生们请大数学家欧拉（Euler，1707-1783）去解决这个问题。欧拉从众多人的失败中想到，这样的走法可能根本就不存在，并出色地证明了自己的猜想是正确的，且于1736年发表了作为拓扑学和现代图论发端的第一篇论文——《哥尼斯堡七桥》。

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图7-4

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图7-5

欧拉的思路是：既然两个岛与两处陆地是桥梁的连接地点，不妨将其理想化，把岛与陆地抽象成四个点，并把七座桥抽象成七条线，如图7-5所示。

这样桥与陆地的结构关系，正是对所要解决问题的本质特征的数学抽象。于是，一次无重复地走完七座桥问题就转化为一笔画出图7-5的几何图形问题，这就是哥尼斯堡七桥问题的数学模型。欧拉认为任何一个一笔画图形要么没有奇点（通过该点的曲线有奇数条），要么有两个奇点（起点和终点），而此模型中有四个奇点，故可断言，它不是一笔画图形，也就是说，要想一次走完七座桥，每座桥只过一次，并且最终回到原来的出发点是不可能的，思路框图如图7-6所示。

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图7-6

例2　一个星级旅馆有150间客房，经过一段时间的经营，旅馆经理得到一些数据：欲使每天收入最高，问每间客房的定价应是多少？

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为了建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下假设：

假设1，在无其它信息时，不妨设每间客房的最高定价为160元；

假设2，根据经理提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长；假

设3，设旅馆每间客房定价相等。

建立模型

分析：根据题意，设y表示旅馆一天的总收入，x为与160元相比降低的房价。由假设2可知，每降低1元房价，住房率增加为 pagenumber_ebook=232,pagenumber_book=219 。

因此，

由于

0.55+0.005≤1，

可知，0≤x≤90。

我们的问题是：当0≤x≤90时，求y的最大值点，即求解

解模型

把7-1式左边除以（150×0.005）得y1=-x2+50x+17600，由于常数因子对最大值运算没有影响，因此可化为求y1的最大值点，利用配方法得

显然，当x=25，y1最大，因此可知x=25（元）。最大收入对应的房价为160元-25元=135元，相应的住房率为0.55+0.005×25=67.5%，最大收入为　150×135×67.5%=13668.75（元）。

讨论与验证

（1）容易验证此收入在已知各种定价对应收入中是最大的。事实上

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如果为了便于管理，那么定价140元/（天·间）也是可以的，因为此时它与最高收入只差18.75元。

（2）如果定价是180元/（天·间），住房率应为45%，其相应收入只有12150元，由此假设1是合理的。事实上二次函数在［0，90］之内只有一个极值点25。

从上面的例子可以看出，数学建模一般有以下步骤：

（1）明确问题。对所提供的实际情形进行仔细的分析研究，尽量掌握对象的性质特点，确定选用哪一类数学模型。要求建模者深刻了解实际问题的背景，明确建模的目的，尽量掌握建模对象的各种信息和数据，如“七桥问题”的数学模型是一个图论模型。如果相应的领域还没有现成的规律可供使用，或者虽有但还不够用，那就要自己去观察，去探索。

（2）作假设，提出问题。现实问题涉及面广，数学模型不能面面俱到，应该把实际问题适当的简化或理想化，这就必须作一定的假设，要剔除非本质属性，抓住主要矛盾，寻找实际问题的内在规律。如“七桥问题”中，岛与陆地的形状、大小，桥的宽窄、长短、曲直等都是非本质属性，点及连接点的线才是主要矛盾。

（3）进行数学抽象，建立数学模型。根据问题的要求和假设，利用恰当的数学方法建立各种量之间的数学关系。建立数学模型时使用何种方法，应视实际问题而定。一般地说，在建立数学模型时可能用到数学的任何一个分支，同一个实际问题还可以用不同的方法建立不同的数学模型。当然在能达到预期目标的前提下，应该采用尽可能简单的数学方法建立容易实现的数学模型，以便让更多的人接受和使用这种模型。例如“七桥问题”中，既然岛与陆地只是桥梁的连接点，就可把岛与陆地抽象为四个点，七座桥抽象为七条线，人们试图一次无重复地走完七座桥的问题就被抽象为一笔画出图7-5的几何图形问题。

（4）模型求解，得出数学结果。利用各种数学手段求出所建立的数学模型的解。包括求解各种类型的方程、包括画图、列表等，有些模型的求解还需借助于计算机。

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图7-7

（5）讨论与检验。根据模型特点和模型求解结果，进行分析讨论。根据计算结果对问题做出解答、预测或提供最优决策和控制方案。最后将模型的结果与实际情况相比较，检验模型是否合理，说明模型的使用范围和注意事项。

（6）模型应用。如果检验结果符合实际情况，则可将所得的数学模型应用到实际问题只去。

以上数学建模的步骤可以通过图7-7中的框图体现。

应该指出，建立模型是一个过程，不是一种死板的步骤。如果在讨论和检验时发现模型确实合理，当然可以将模型投入应　用；如果发现模型不合理，那就必须修改假设，重新建模，重新求解，再作检验。这一过程可以循环往复，直至获得满意的结果为止。

（四）数学建模的教育价值

我们的中学数学教学是一种“目标教学”。一方面，我们一直想教给学生有用的数学，但学生高中毕业后如不攻读数学专业，就觉得数学除了高考拿分外别无它用；另一方面，我们的“类型+方法”的教学方式的确是提高了学生的应试“能力”，但是学生一旦碰到陌生的题型或者联系实际的问题却又不会用数学的方法去解决它。大部分同学在学了12年的数学之后，却没有起码的数学思维，更不用说用创造性的思维自己去发现问题，解决问题了。由此看来，中学数学教与学的矛盾显得特别尖锐。

加强中学数学建模教学正是在这种教学现状下提出来的。无论从教育、科学的观点来看，还是从社会和文化的观点来看，数学应用、数学模型和数学建模都已被广泛地认为是决定性的、重要的。我国普通高中数学教学大纲中也明确提出要“切实培养学生解决实际问题的能力”，要求“增强用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验使问题得到解决”。

新的《高中数学课程标准》更是把“数学建模”作为内容标准之一，明确指出：“数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容……‘数学建模’是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新精神和实践能力。”

这些要求不仅符合数学本身发展的需要，也是社会发展的需要。因为我们的数学教学不仅要使学生获得新的知识，而且要提高学生的思维能力，要培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理日常生活、生产中所遇到的问题，从而形成良好的思维品质，造就一代具有探索新知识、新方法的创造性思维能力的新人。中学数学教育是基础教育的提高阶段，应着眼于未来，为培养高素质的人才打好基础，根据数学建模的特点，不难看出，在中学数学教学中，渗透建模思想，开展建模活动，具有重要意义和价值。

1.促进理论与实践相结合，培养学生应用数学的意识

现在的学生，从小学到初中再到高中，经过十来年的数学教育，他们懂得了不少数学知识，但是接触到实际常常表现得束手无策，灵活地、创造性地运用数学知识解决实际问题的能力较低。而数学建模的过程，正是实践—理论—实践的过程，是理论与实践的有机结合。强化数学建模的教学，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的思想、方法、语言，也是为了学生树立正确的数学观，增强应用数学的意识，全面认识数学及其与科学、技术、社会的关系，提高分析问题和解决实际问题的能力，因此，数学建模是数学应用的必由之路。尤其21世纪是迈向知识经济的时代，科学技术的竞争十分激烈，而数学是科技发展必不可少的组成部分，许多科学技术问题说到底是数学问题。

2.培养学生多方面的能力

通过数学建模教学可以培养学生多方面的能力：

（1）翻译能力，能将实际问题用数学语言表达出来，建立数学模型，并能把数学问题用一般人所能理解的非数学语言表达出来；

（2）运用数学的能力，表现在能用数学工具对所建立的数学模型进行处理；

（3）交流合作能力，数学建模活动中常常是小组分工合作、密切配合、相互交流、集思广益，这种互相合作的精神是社会生活中极为需要的；

（4）创造能力，数学建模没有现成的答案，也没有现成的模式或通式，建模的过程有较大的灵活性，建模的结果一般说来只有最优解答，而非标准解答。因此，数学建模本身就给学生提供了一个自我学习、独立思考、认真探索的实践过程，提供了一个发挥创造才能的条件和氛围，通过建模，学生要从貌似不同的问题中窥探出本质特性，这样，有助于培养学生的想象力和洞察力。

3.发挥了学生的参与意识，体现了学生主体性

强化数学建模的教学，可极大地改变传统的教学法，它一改过去满堂灌模式为讨论班方式，教师扮演的是教学的设计者和指导者，学生是学习过程中的主体，师生处于平等地位。由于要求学生对学习的内容进行报告、答辩或争辩，因此极大地调动了学生自觉学习的积极性。根据现代建构主义学习观，知识不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。所以数学建模教学符合现代教学理论，数学建模课的开设顺应了当前素质教育和教学改革的需要，必将有助于教学质量的提高和素质教育的全面实施。

数学建模：概念、步骤及教育价值

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