数学教学论：创新的教学模式

（一）发现法

发现法，又称探索法、研究法，是指依据教师或教材所提供的材料和问题，通过学生自己积极主动的思维活动，亲自去探索和发现数学概念、定理、公式和解题方法等的一种教学方法。

发现法可以作为一种学习方式，也可以作为一种教学模式。其主要特点是学生在获取新知之前，必须有一个发现的过程。

发现学习模式是由美国心理学家布鲁纳提出的。他在《发现的行为》一文中提出，学生的发现行为有四大优点：有利于激发儿童的智慧潜能；强调发现的行为有利于培养内部学习动机；强调发现的行为有利于学会发现的技能；强调发现的行为有利于知识的保持^[7]。发现法主要适用于下列三种情况：

（1）在概念教学时，教师先呈现概念的例证，但不直接告诉这里例证的共同本质特征。教师要求学生辨别，提出假设，检验假设，一直到他们概括出一类事物的共同本质特征。学生在提出与检验假设时，教师可以做出肯定与否定的表示。

（2）在教规则或原理时，同概念形成一样，教师先提供规则的例证，而不呈现规则或原理本身。

（3）利用先前习读的知识去解决新问题，通过新问题的解决进一步发现新规则并习读解决问题的策略。

运用发现法进行教学具有很大的灵活性，没有固定的模式可以遵循，通常可按以下步骤进行：

（1）创设问题情境，激发学生的积极性和主动性。这是唤起学生注意，激发学生学习兴趣的过程。通常是由教师提出问题，介绍一些资料和现象，或由学生演算、观察实验、阅读教材等方式进行。

（2）推测结论、探索解法。在教师的引导下，让学生积极开动脑筋，回忆与这个问题有关的知识、方法，进行观察、比较、分析、综合等，直到发现结论、探索到解决问题的途径或方法。在这个过程中，教师可以加以启发诱导，要注意抓住重点、关键，有顺序、有系统地进行。

（3）完善解答，小结方法。或者由学生对这个问题的解决过程进行整理、完善、小结，教师给以启发、指点、帮助，或者由教师作总结性发言。这里应着重总结发现问题与解决问题的思路、方法，学生如果有不同的解法，可以进行比较，指出各自的优缺点。

（4）必要时可在问题解决后，再与以前学过的知识综合成一个较完整的知识系统，充实和改善原有认知结构。

目前，对发现法的总评价是：发现法有利于发展学生的智力；有利于激发学生的兴趣，产生学习的内部动机；有利于培养学生发现问题、解决问题的探索方法和能力；有利于对知识的记忆；有助于迁移能力的培养。但缺点是太费时；不利于学生掌握系统的知识，不利于学生加强基本技能的训练；缺乏经验的教师难于随机应变解决学生所发生的问题，难于控制教学时间。

在数学教学中，恰当地运用分析法，会起到提高教学质量的作用。但由于费时、难以控制，运用时要作充分准备，不可能也没有必要事事都要学生自己去发现。运用发现法的目的，在于启发学生的求知欲，学习到发现、探索问题的一般方法，养成探索和研究的习惯。

特殊化与一般化是发现问题的有效策略^[8]

研究性学习强调通过让学生自主参与类似于科学家研究的学习活动，获得亲身体验，逐步形成一种在日常学习与生活中喜爱质疑、乐于探究、努力求知的心理倾向，激发探索和创新的积极欲望。

就研究性学习而言，需要培养学生发现问题和提出问题的能力，发现问题和提出问题需要一定的方法，这些方法应在课堂教学中逐步培养。笔者在本市某重点中学理科实验班担任选修课《数学思想方法》的教学工作，在一次课中，我们根据同学们提出的一个数学问题，随机地进行了一次研究性教学。

问题情境来自学生关注的一个赛题。课前，有几位学生来问同一个问题。

命题1　若P是△ABC内一点，则∠PAB，∠PBC，∠ PCA中至少有一个小于或等于30°。（1991年第32届IMO试题）

图5-1

为了了解同学们对这一问题的解决情况，将上述问题写到黑板上，请做出来的同学举手，马上就有几位同学举手，让学生表达、交流，请一位同学上黑板写出证法，同学1给出了如下证法。

证法一［反证法］若∠PAB，∠PBC，∠PCA都大于30°。记BC=a，CA=b，AB=c。如图5-1，分别在△PAB、△ PBC、△ PCA中应用余弦定理，得

①+②+③，得

事实上，在△ABC应用余弦定理，知

④与⑤矛盾，命题1成立。

同学1写出上述证明后，老师请同学们说说自己的看法。

同学2：利用余弦定理得到④式，确实非常巧妙。

同学3：④式我也得到了，⑤式才巧妙呢！我没有得到。

同学3的同桌同学4：⑤式是一个有名的不等式，我在书上看过。

同学3向同学4要求：请你将书名写给我。同学4在同学3的笔记本上写下了书名。

同学5：④式得到后，我也不知道⑤式，我是用别的方法做出来的。

在大家的鼓励下，同学5上黑板写下了如下证法。

证法二　由三角形面积的海伦—秦九韶公式：

得

由④式，

⑥式不可能成立，所以命题1得证。

同学6：哗！我真钦佩你，这个证法计算量可不小啊！

师：有没有新的证明了。

师看到已无同学举手了，对命题1的证明进行总结。

师：从证明方法上看，二种证法均采用反证法。它是我们解决问题的一个通法，要重视。还有什么问题吗？（命题1解决后，已打算讲新授课内容，但此班同学思维活跃，还是问了一下。）

同学7：老师，由命题1显然可以得到，若∠PAB=∠PBC=∠PCA，则0°＜∠PAB≤30°，当△ABC为正三角形，P为其中心时，∠PAB=∠PBC=∠PCA=30°，现在我的问题是，对一般的△ABC，能否找到一点P，使得∠PAB=∠PBC=∠PCA，进一步能找到使得∠ PAB=∠ PBC=∠PCA=30°的点P吗？

师：哦！同学7实际上提出了两个问题，你是怎样思考的？

同学7：特殊地，我考虑三个角∠PAB、∠ PBC、∠ PCA相等，于是产生了上述问题。

师：同学7的思考方式被称为特殊化，这是提出问题的一种重要的方法，同学们需要好好的借鉴。

同学7利用特殊化的思想方法提出了两个问题，我们明确一下这两个问题。

问题1　在△ABC中，能否找到一点P，使得∠PAB=∠ PBC=∠ PCA？

问题2　在什么样的△ABC中，能找到一点P，使得∠ PAB=∠ PBC=∠PCA=30°？

师：我们来分析一下，如图5-2，假设点P满足∠ PAB=∠ PBC=∠ PCA，作△PCA的外接圆⦿ O2，因为∠PAB=∠PCA，所以，AB是⦿O2的切线，同理，BC为△PAB的外接圆的切线，CA是△PBC的外接圆的切线，根据上述分析，只要作满足条件的圆就可以找点P了。同学们听懂了吗？可以写出作法吗？

同学8写出如下作法：

（1）过A点作AB的垂线与AC的中垂线角于O2点，以O2为圆心，O2A为半径作⦿O2；

（2）过C作CA的垂线于BC的中垂线交于O1，以O1为圆心，O1C为半径，作圆⦿ O1；

（3）设⦿O1、⦿O2交于C、P，连接PA、PB、PC，则∠PAB=∠ PBC=∠PCA。

图5-2

所以，P为所求。

师：作图非常简洁。我们从上述作法可以看出，一旦三角形ABC给定，则满足∠PAB=∠PBC=∠PCA的点是确定的，这个点被称为布洛卡点，问题1被我们解决了。即有

命题2　在△ABC中，存在一点P，使得∠ PAB=∠PBC=∠ PCA。

再解决第二个问题。

同学9：我思考了这一问题，发现用证明命题1的两种方法，只是不等号改为等号，均可以证明△ABC为正三角形。于是，我们得到：

命题3　若P是△ABC内的一点，满足∠ PAB=∠PBC=∠PCA=30°，则△ ABC是正三角形。

师：同学们经过努力，解决了同学7用特殊化提出的两个问题，澄清了事实，在这个过程中，我们增长了知识与才干，还有别的问题吗？

稍等片刻后，再起波澜。

同学10：老师，命题3真美！在多边形中，有没有与命题3类似的结论呢？

师：同学10提出命题3有没有一个一般的结论，猜一猜，一般性的结论可能是怎样的呢？

同学们分为若干小组，讨论。

同学11：我根据正多边形的情形，提出：

猜测1　在凸n边形A1A2…An内，若存在点P，满足

则凸n边形A1A2…An为正n边形。

师：同学11应用一般化的思想，考虑将命题3推广到多边形中，再特殊地考虑正多边形，得到猜测1，猜测1怎样证明呢？

同学们继续在各小组讨论。

同学12：假设AiAi+1=ai，An+1=A1，PAi=xi，（i=1，2，…，n），多边形面积为S，我们小组模仿命题1的证法一得到：

但与什么矛盾呢？

同学13：我们小组整理了命题1的证明过程，经过讨论认为：要解决这一问题，关键是在多边形中，要有一个与命题1的证法一中的⑤式相近的式子，即要将⑤式：一般化。

同学14：听了同学12与同学13的发言，我想在多边形中应该成立下列猜测。

猜测2　设P是凸n边形A1A2…nA内的一点，设AiAi+1=ai，An+1=A1，PAi=xi，（i=1，2，…，n），多边形面积为S，则

等号当且仅当凸n边形A1A2…An为正n边形时成立。

师：猜测2是否成立呢？

同学们继续在各小组讨论，时间飞快流逝。

（作为老师的我，也未能找到证明，我想，是否将猜测2留待下次课再来解决。这时，我看到一个同学兴奋地将自己的解答告诉身边的同学，我连忙走了过去，请这位同学上黑板写出他的证明。）

同学15的证明。

证明：根据等周问题知，周长为定值的一切n边形中，正n边形具有最大面积。，其中a为正n边形的边长，即

即

由Cauchy不等式知

由⑦、⑧得

即猜测2成立。由⑦、⑧两式等号成立的条件知⑨式等号当且仅当凸n边形A1A2…An为正n边形时成立。

综合上述思考，我们得到

命题4　在凸n边形A1A2…An内，若存在点P，满足

则凸n边形A1A2…An为正n边形。

本次课里，我们从命题1出发，利用特殊化与一般化提出了一系列问题，又利用特殊化与一般化解决了这些问题，反思这次课的整个过程，可以做出如下总结：特殊化与一般化不仅仅是解决问题的方法，也是发现问题和提出问题的方法。本次课后作业是：结合本次课的体会，写一篇关于应用特殊化与一般化发现问题和提出问题方面的小论文，同学们自己拟定具体题目。

［案例点评］发现法教学的问题情境，一般是由教师提供的，目的是唤起学生注意，激发学生学习兴趣的过程。本案例中的问题情境是学生问的一个习题，一个由学生自己提出的问题更能引起学生的好奇心、求知欲，值得教师注意。本案例从情境出发，在教师的引导下，让学生积极开动脑筋，探索到解决问题的两种途径或方法，在对解题途径和方法总结时，教师并没有比较两种解法的优缺点，这是因为两种方法都体现了学生对数学知识的理解，都是通性通法，不适当的比较可能限制学生思维灵活性的发展，因而教师着重说明两种方法的共性是反证法，至此，已完成一次用发现法教学的完整步骤。案例中，同学7在已有结论基础上再次提出问题，产生了新一轮探究，正反映了数学研究是：问题→解决→延伸、推广（产生新的问题）→寻求解决的过程，这一过程是发现的过程，是做数学的过程。学生在这一过程中，学习到发现、探索问题的一般方法，养成探索和研究的习惯，真正体现发现法教学的目的。

（二）Hands-on的活动

Hands-on意思是动手活动，是一种教育思想和教育方法。美国科学家总结出来的这一教育思想和方法，目的在于让学生以更科学的方法学习知识，尤其强调对学生学习方法、思维方法、学习态度的培养。什么是Hands-on方案呢？这一方案有以下几个特点^[9]：

（1）方案强调动手实践活动，强调从周围生活中选取素材；

（2）方案强调学生主动学习；

（3）方案不仅强调对知识的学习，而且更重要的是强调对学生学习方法、思维方法、学习态度的培养；

（4）方案提倡合作交流。强调在活动过程中，学生应该与同伴进行交流，向教师阐述自己的观点，与其他同学及不同试验结果进行比较，以检验其观点和实验结果的准确性和有效性。

（5）Hands-on活动是围绕一定的主题进行的，每一主题都应使学生有足够时间进行探索和交流。

Hands-on活动的基本过程是：提出问题→动手做实验→观察记录→解释讨论→得出结论→表述陈述。具体地说，在开展这一活动时，有以下几个步骤：

（1）学生观察一个物体或一种现象，或者操作某些学具；

（2）学生在研究所观察的物体或现象的过程中进行思考，与同伴进行讨论和交流，以弥补他们在单纯的操作活动中的不足；

（3）老师按一定的顺序给学生们推荐活动，学生可从中作出选择并实施这些活动，学生在选择中有较强的自主性；

（4）这一活动可以以课内外相结合的形式进行，学生每周至少花2小时进行同一个主题的活动，并应保证这些活动在整个学习过程中的持续性和稳定性；

（5）每个学生都记录活动过程。

学生通过这一活动，逐渐学会操作，同时加强并巩固口头和书面表达能力，提高解决问题的能力，增进理解力。

Hands-on采用的学习方法是行动、提问、研究和实验，而不是死记硬背事实性知识。Hands-on方法强调学生亲自动手实验和思考，并为理解实验结果而进行讨论，在这一过程中，学生具有一定的自主性。学生们在活动中不仅增进了对知识的理解，而且学会活动的基本方法。在活动过程中，学生需要学会做个人记录、构思工作计划并且能汇报自己所学知识。他们也有机会练习写作并学习制作图表，用一定形式呈现和报告研究结果。

实习作业^[10]

英国物理学家和数学家牛顿（Issac Newton，1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型。如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t后物体的温度θ将满足

θ=θ0+（θ1-θ0）·e-kt，

其中k为正的常数。

请设计一个方案，对牛顿的冷却模型进行验证，然后再探究以下问题：

1.一杯开水的温度冷却到室温大约需要多少时间？

2.应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？

3.在寒冬季节，是冷水管容易结冰，还是热水管容易结冰？

为了回答上述问题，你可以先进行模拟实验，然后上网查询有关资料，请教有关专业人士，最后与同学一起合作，完成一份实习作业报告。

（三）在计算机环境中学习

计算机在教学中的应用已经成为一个热点问题。21世纪，包括计算机技术在内的现代化科学技术，将获得进一步发展，现代技术的发展无疑将极大地影响教育的现状，学校的教学条件将会得到进一步改善。计算机将成为学生探索知识的有利工具。

教育的技术化趋势，成为近年来教与学改革引人注目的特点，而且日趋活跃。各种现代意义上的教学已经出现——结合具体内容编制种类软件，借助计算机快速、形象与及时反馈的特点——配合教师教学，使教师的指导与学生的主观能动性得到更好的发挥；随着计算机技术的发展，人机交互作用，从ICAI（智能型计算机辅助教学）以及融声、图、文于一体的认知环境更趋自然的MCAI（多媒体计算机辅助教学）相继出现，随着教学中的技术含量的提高，电脑、网络技术成为学习学习手段之一，学生可以自己通过各种现代化手段和媒介获得信息，进行思考活动，学生学习的方式将得到进一步的改善。研究表明，发展学生理解和兴趣的一个有效途径就是让孩子们处在计算机环境中学习。

近年来，我国教师在这一方面作了许多努力，有兴趣的教师可以进行一些在课堂教学中应用计算机的试验。

（四）小课题和长作业

长期以来，学生学习似乎是与研究无关，搞课题似乎是大人的事，我们的学生普遍缺乏独立性和创造性。目前，进行小课题研究已经成为国内外教学中作业布置的一个重要趋势。在美国，小课题称为project，在美国教学材料中，有很多project，学生非常有兴趣地完成这些小课题，在完成小课题时，学生往往进行合作交流。在我国，小课题的研究，也受到极大的重视，成为改善学生学习方式的一个重要方法。

学生进行这些小课题学习有以下几个特点：首先，要有一个比较大的问题，这个问题对于学生来说具备进行探索的余地和思考的空间。第二，学生进行小课题学习是一种研究性学习，过程是非常重要的。学生经历一个收集信息、处理信息和得出结论的过程，在此过程中学会一些探索的方法。第三，学生具有一定的自主性，教师起到引导的作用。第四，对小课题的评估主要不是看结果，而是注重过程。第五，小课题的呈现主要通过学生对实物和具体模型的操作，其内容结合身边的事物。第六，小课题的学习过程对于学生来说是有趣的。这种学习的形式使学生在实际生活经验的情景中，感知和体验数与图形的现实意义，初步了解一些数的规律，学会利用知识与技能解决简单的现实问题。

小课题可以在课堂中通过合作学习方式完成，也可以通过作业形式布置，即要求学生经历一段时间的工作完成这一作业。这一段时间可以延续几周或者几个月，这就是长作业，长作业是课题学习在课外的延伸。