数学新课程实施中的内容组织：《数学教学论》成果

教材内容组织处于“教育流水线”的上游，教材内容组织的质量直接影响教学实践的效果。下面我们就基本要求和注意问题两个方面来探讨数学新课程的教材内容组织问题。

（一）数学新课程内容组织的基本要求

这里我们主要从较为宏观的层面来分析说明我国本次课程改革中数学新课程内容组织方面的问题。

1.义务教育阶段数学新课程内容组织的基本要求

义务教育阶段数学新课程的内容组织要充分反映以下要求：

（1）重要的数学概念与数学思想宜螺旋上升。义务教育阶段数学课程标准中提出的目标是学生在学段末最终应达到的目标，而学生对相应知识的理解是逐步深入的，不可能“一步到位”。所以，对重要的数学概念与思想方法的学习应当逐级递进、螺旋上升（但要避免不必要的重复），以符合学生的数学认知规律。

（2）呈现形式应丰富多彩。我们不能假设学生都非常理解学习数学的重要性，并自觉地投入足够的时间与精力去学习数学，也不能够单纯依赖教师或家长的“权威”去迫使学生们这样做。事实上，我们更需要做的是让孩子们愿意亲近数学、了解数学、喜欢数学，从而主动地从事数学学习。为此，教科书应当根据不同年龄段学生的兴趣爱好和认知特征，采取适合于他们的表现形式，以使得学生对于阅读数学教科书没有枯燥、恐惧感，而产生一种愿意甚至喜爱的积极情感。例如，丰富多彩的图形是空间与图形部分的重要学习素材，教科书应做到图片与启发性问题相结合、图形与必要的文字相结合、计算与推理相结合、数和形相结合，充分发挥图形直观的作用，使教材图文并茂，富有启发性。

（3）体现数学知识的形成与应用过程。教科书的呈现形式应力求体现“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的模式，从具体的问题情境中抽象出数学问题，使用各种数学语言表达问题、建立数学模型、获得合理的解答，并确认知识的学习。这样的呈现方式有利于学生理解并掌握相关的知识与方法，形成良好的数学思维习惯和用数学的意识，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，获得对数学较为全面的体验与理解，促进一般能力的发展。

（4）突出知识之间的联系与综合。数学是一个整体，其不同的分支之间存在着实质性联系，这一点应当为学生所认识。因此，教科书要关注数学知识之间的联系——包括同一领域内容之间的相互连接、不同知识领域之间的实质性关联。具体的做法可以是采用混编的形式组织教科书；或选择若干具体课题，以体现数与代数、空间与图形、统计与概率之间的联系，展示数学的整体性。同时，教科书还应关注数学与现实世界、其它学科之间的联系。

（5）给学生提供探索与交流的时间和空间。改进学生的数学学习方式是义务教育阶段数学新课程的所提倡的一个改革目标。而“学什么与怎样学是分不开的”，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。教科书应使学生的数学学习过程主要表现为一个探索与交流的过程——在探索的过程中形成自己对数学的理解，在与他人交流的过程中逐渐完善自己的想法。

为此，需要做到以下要求：学生所要学习的数学新知识不应当都以定论的形式呈现；给学生留下自己支配时间的权利；关注对数学证明的理解，发展推理与证明的意识和能力。

（6）内容设计要有弹性，关注不同学生的数学学习需求。教科书应当满足所有学生的数学学习需求。因此，在保证义务教育阶段数学课程标准中所提出的基本课程目标基础之上，教科书还应考虑到学生发展的差异和各地区发展的不平衡性，在内容的选择与编排上体现一定的弹性，满足不同学生的数学学习需求，使全体学生都能得到相应的发展。例如，可以就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题，以使不同的学生得到不同的发展；提供一定的阅读材料供学生选择阅读；课后习题的选择与编排应突出层次性；在设计课题学习时，所选择的课题要使所有的学生都能参与，在全体学生获得必要发展的前提下，不同的学生可以获得不同的体验。教科书可以编入一些拓宽知识的选学内容，但增加的内容应注重数学思想方法，注重学生的发展，有利于学生认识数学的本质与作用，增强对数学的学习兴趣，而不应该片面追求解题的难度、技巧和速度。

2.普通高中阶段数学新课程内容组织的基本要求

普通高中阶段数学新课程的内容组织要充分反映以下要求：

（1）体现知识的发生发展过程，促进学生的自主探索。课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、从特殊到一般的原则。例如，在引入函数的一般概念时，应从学生已学过的具体函数（一次函数、二次函数）和生活中常见的函数关系（如气温的变化、出租车的计价）等入手，抽象出一般函数的概念和性质，使学生逐步理解函数的概念；立体几何内容，可以用长方体内点、线、面的关系为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间点、线、面的位置关系。

教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题，提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。

教材应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程。编写教材时，可以通过设置具有启发性、挑战性的问题，激发学生进行思考，鼓励学生自主探索，并在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对数学较为全面的体验和理解。

（2）体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学。数学各部分内容之间的知识是相互联系的，学生的学习是循序渐进、逐步发展的。教材编写时应充分注意这些问题，不要因为高中数学课程内容划分成了若干模块，而忽视相关内容的联系。

为了培养学生对数学内部联系的认识，教材需要将不同的数学内容相互沟通，以加深学生对数学的认识和对本质的理解。例如，教材编写中可以借助二次函数的图像，比较和研究一元二次方程、不等式的解；比较等差数列与一次函数、等比数列与指数函数，发现它们之间的联系等。

（3）教材的编写要深入浅出。我国新一轮普通高中数学课程改革在课程内容上有重大变化，增加了一些新的内容，教材编写能否做到深入浅出，事关本次课程改革的成败。特别是选修系列3、系列4中的一些专题，涉及现代数学的有关内容，教师也不太熟悉，编写教材时，对这些内容的处理要做到直观、具体、有趣，突出本质和思想，避免形式化的处理。

（4）教材要有各自的特色和风格。在普通高中数学课程标准中，对内容的设置是分层次、螺旋式展开的。各教材应在高中数学内容的整体结构上和各模块内容的结构上体现出自己的编写风格和特色。数学探究、数学建模、数学文化是高中数学课程中新设置的内容，各教材在这些内容的题材选取、在教材中的呈现以及学习活动的设计上也应突出特色。同时，教材的文字表述、版式设计要生动活泼，能引起学生的兴趣。

（5）内容设计要有一定的弹性。教材编写时，内容设计要具有一定的弹性。例如，根据学生特点和兴趣，教材可以在高中数学课程的相关内容中安排一些引申的内容，这些内容可能是一些具有探索性的问题，也可能是一些拓展的数学内容，或一些重要的数学思想方法。选择和安排这些内容时，要注意思想性并能反映数学的本质，但这些内容不作评价要求。

（二）数学新课程内容组织应注意的问题

1.义务教育阶段数学新课程内容组织应注意的问题

义务教育阶段数学新课程内容组织要注意处理以下几个方面：

（1）要注意联系生活实际。数学课程的生活化是新一轮课程改革的亮点。根据学生身心发展规律，儿童有一种与生俱来的以自我为中心的探索欲和好奇心，要充分适应和利用儿童的这种心理特点。因此，数学课程在选择和组织课程内容时，要充分考虑那些对学生来说具有现实意义、与生活实际相联系的课程内容和素材。

（2）要注意适度采用螺旋式编排。数学课程要关注学生数学学习的个别差异，教科书作为学生数学学习的起点和素材，应使他们在对内容的处理过程中获得发展。重要的数学概念、数学思想方法和数学活动要成为教科书的主线，并尽可能早地以不同的形式，反复出现在学生的数学学习活动中，呈现出螺旋式的安排。一方面，这可以使学生有机会逐步建构对同一知识的不同层次的理解；另一方面，它也与处于不同认知发展阶段的学生思维方式相适应。

（3）要注意加强教材资源的建设。义务教育阶段数学新课程标准及其内容目标，需要新的内容和呈现方式支撑。目前的实验教材虽已颇富新鲜感，但随着新课程的推进，已有的教材资源还需要不断补充。从长远看，要保持实验教材之树常新常绿，新课标意义下的教材资源建设还要大大加强。而实验教材的“新”，要从研究入手，要依据新课标的理念，花大功夫开发学生乐于接触的、有一定容量并且内涵丰富的新数学题材。这项研究的面很宽，首先要选准突破口，当务之急是通过研究搞清楚我国学生的个人知识、直接经验与数学课程内容的内在和外在联系，从这些联系入手，寻找新的教材资源。这样，我们才能从学生的生活背景和知识经验出发，开发出贴近学生生活、适于学生在校学习、有益于拓宽学生视野、贯通学生思想、发挥学生主动性和创造性的数学教材。另外，要根据学生的年龄特点和心理发展规律选材，注意为学生独立思索留出空间，为学生动手操作提供条件。要努力避免人为编造、不切实际、生拉硬套的情况在实验教材中出现。

（4）要注意加强教材编写队伍的组织和建设。作为教材编写者，必须努力提高作为教材编写者的水平，不仅要谙熟我国数学课程的历史和现状，而且要对国际数学课程发展的情况有相当的理解和把握；不仅要长于理论，而且要善于将理论成果向实践转化。特别地，要有开放的胸襟，既懂得继承，又善于学习，有伴随着新课程一起成长的愿望。

在目前情况下，保证实验教材质量的一个重要措施，就是尽量使每一支数学教材编写队伍在人员配备的层次上要丰富，不仅有专家学者，还要有经验丰富的教师和教学研究人员，不仅有长于编写教材的老兵，也要有充满朝气和活力的生力军。

2.普通高中阶段数学新课程内容组织应注意的问题

普通高中阶段数学新课程内容组织要注意处理以下几个方面：

（1）要注意加强各部分内容之间的联系。数学课程应将不同内容联系起来，并采用多种模型和方法探索问题和描述结果，使学生从多种角度认识重要的数学思想和数学概念，形成对数学整体的初步认识，其中，数与形的结合是展示数学联系的重要方面。新课标中注重使学生不断体会数形结合的思想，如在平面解析几何初步的内容中，要求教师帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法；在“不等式选讲”专题中，特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解；还有函数及其图像、矩阵与变换的联系，等等。如何更充分地展示数与形，以及其它数学知识之间的联系，是课程设计的重要课题之一。

（2）要注意使课程内容，特别是重要的数学概念，适合学生的认知水平。例如，对导数的处理，新课标没有引入极限的定义，而是通过丰富的事例，使学生经历从平均变化率到瞬时变化率的飞跃，在具体处理时，学生能否顺利地实现这一飞跃，课程设计中如何更好地促进这一飞跃，都值得认真研究。

（3）要注意加强对几何课程体系的编排的研究。几何课程的设置一直是数学课程中的焦点问题。国际上的几何课程的设置，呈现了多元化的格局。我国学者对各国家、各流派采用的不同几何课程体系进行了总结^[3]：有突出几何事实，使学生掌握几何图形所具备的性质，不追求获取这些性质的途径和方法的“事实型”课程；有突出几何事实的实用性，不追求其完整性和系统性的“实用型”课程；有突出几何直观，对于几何事实及其获得主要依赖几何直观的“直观型”课程；也有突出几何理论的严密和推理论证的严格的“论理型”课程。当然许多国家的几何课程体系并不能简单地归结为某种类型之一，而是几种类型的融合，不同的观点和做法，各有其优点和不足。

课程的设计应该使学生有机会获得对几何多元多维的认识，包括几何对刻画现实世界、解决实际问题的作用，几何直观对学习数学和进行创造的作用，运用多种手段处理几何（如坐标方法、向量），几何作为公理体系的价值，几何对于刻画图形运动的作用，几何与其它学科的联系等。

（4）要注意加强信息技术与课程内容的有机整合。新课标要求我们要从多个方面注重信息技术与课程内容的整合。例如，增加反映信息时代特征的新的内容（如算法），利用信息技术探索数学规律（如利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图像，探索、比较它们的变化规律），利用信息技术解决实际问题（如处理统计中复杂的数据）等。探索信息技术与课程内容的进一步整合无疑是今后课程设计中的重要问题。

（5）要注意与义务教育阶段数学课程的衔接与贯通。必须考虑高中数学课程与义务教育阶段数学课程的衔接，以求整个基础教育阶段数学课程的融会贯通。例如，二者都将函数的内容作为代数内容的核心，强调它是描述客观世界变化规律的重要数学模型，将函数的思想方法贯穿于数学课程的始终。与此同时，高中阶段不但把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，并建议从学生在义务教育阶段已掌握的具体函数和对函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，构建函数的一般概念。

（6）要注意加强课程资源的开发。新课标中设置的选修课很多，在实施中要开好这些课程，就必须充分开发课程资源。我们认为应该加强中学与中学、中学与社会、中学与大学等之间的联系与交往，充分利用各方面的资源，实现资源共享。同时希望能广泛而恰当地使用网络、电视等传媒以及国外的课程资源。新课标对课程资源开发、教材的编写提出了一系列的要求与建议。但这方面的准备不是很充分，这就需要教材的编写者、一线教师和数学教育研究者去创造、开发体现新课标理念的新的教育资源，包括一些案例、课例、实例和活动。