数学教学论|设计数学新课程的基本要求

2023-08-13 理论教育版权反馈

【摘要】：我国新一轮普通高中数学课程设计也要充分考虑高中学生的身心发展水平和个性偏爱的需要，这在选修系列方面就是较为明显的反映。因此，应该使每一个学生都能获得就业和进一步学习所必须的数学的基础知识，因此数学课程的设计必须体现基础性的要求。同时，数学课程设计还应体现学生的发展性。我国数学新课程对三位目标的评价也正是反映出学生发展性的基本要求。

在数学课程内容设计时要考虑如下几个方面的问题：

（一）数学课程内容的设计应体现学生的发展

在数学课程的内容设计上，存在着三种不同的价值取向：强调以儿童为中心的价值取向，突出知识体系，强调课程的社会适应性。我们认为数学课程的设计应平衡这三者之间的关系，但平衡并不等于平均，应以学生的发展为中心，在保证数学知识科学性的基础上，兼顾社会的适应性。为此，我们需要做到：

首先，数学课程的内容应是现实的。内容的现实性突出了数学与社会的联系，同时也使学生感觉到比较熟悉。例如方程部分所选用的“商店打折”和“中国人口统计”等都是取材于学生的现实生活，使他们感觉到数学就在身边。

其次，数学课程的内容应是有趣的。数学内容的趣味性应与学生的年龄相适应，小学低年级课程内容的呈现可以适当采用游戏的方式，使学生在玩中学，到了小学高年级和初中阶段及普通高中阶段应逐步加强数学材料本身的趣味性。

最后，数学课程的内容应是富有挑战性的，能激发学生的思维。此外，还要注意数学知识的体系和科学性问题，强调数学知识的逻辑体系和科学性并不是要求严格的形式化术语，而是采用适合学生接受水平的形式化术语和内容。

（二）课程内容设计应体现合科思想

1.合科课程的类型

数学合科的课程类型划分是依据各数学方法思想、问题和学生心理发展各个方面的侧重知识来确定的。以知识或思想为主体的数学课程，强调的是用数学某个知识或思想来统整其它内容。

例如：在“新数”运动时，美国的“统一的现代数学课程”就是用集合、对应的思想来整合中小学数学内容；上海版的教材强调“以函数思想”作为中学数学的核心；西南师大的初中数学教材（内地版），虽然采取代数、几何的分科，但在处理代数内容时，采取的是“以方程为纲”的方式。

以主题或解决问题为主线的数学课程，强调的是围绕一些社会生活或数学本身的一些问题来组织内容。以某主题为中心综合若干几何、代数、概率统计等方面的内容，构成系统化的教材。比如美国的《联系的数学》（Connected Mathematics），是以生活内容作为标题，通过一系列问题来展开教材内容。

以学生心理活动过程为主线（强调学生为主）。这种类型不强调知识的系统性，而注重儿童的心理过程或活动训练，多见于小学低年级的综合数学教材。比如刘兼主编的九年义务教育小学数学教材，华东地区初中数学教材编写协作组编的《数学》（辅助教材），都是体现了以儿童心理发展过程统整内容。我国新一轮普通高中数学课程设计也要充分考虑高中学生的身心发展水平和个性偏爱的需要，这在选修系列方面就是较为明显的反映。

以上分类是相对的，有时很难将某种课程归入某一种类型，只能说它倾向于某种类型。例如华东地区的初中数学教材（辅助教材），它既有其知识的体系，也有数学应用和学生发展思想的渗透，只是与其它教材（如人教版）相比，它更倾向于后两者。所以，我们不能简单地将某种教材归入某一类，实际上，许多教材体现了以上三方面的要求。教材内容的编排究竟以哪种为主，要取决于学生的年龄阶段、知识的特点和当地的实际。

2.数学新课程中的合科思想

首先，数学新课程要求以学生的发展为中心来组织教材内容。这主要体现在数学新课程的发展性目标领域，将学生的发展放到了首位，突出学生的情感、态度和价值观。由于发展性领域的情感、态度和价值观是综合性的，因此，必须通过综合性的数学课程来体现。

其次，数学新课程强调了数学知识之间的内外综合。数学内部的综合不仅仅体现在“联系与综合”这部分内容，而且各知识块本身都应该具有联系性。此外，这种数学知识的综合还体现在用数学的思想方法来统整，强调数形意识、数量关系、优化思想、统计思想、估计意识和推理意识来统摄数学的几部分内容。

数学的外部联系，是强调数学与其它学科、数学与社会的联系，实现数学的生活化和大众化。通过“问题情景——建立模式——解释与应用”的基本呈现模式，使学生体会到数学来源于社会，又应用于解决社会中的实际问题。

总之，数学新课程所体现的综合不单单是指前面所提到的三种综合课程之一，而是在充分考虑来自学科、学生、社会三方面的需要的基础上，按新的思路来选择和组织课程内容。

（三）课程内容的设计应将基础性与发展性相结合

数学课程设计时强调基础性和发展性是与数学新课程的教育目的有关，数学新课程是要为社会培养具有基本数学素养的合格社会公民。因此，应该使每一个学生都能获得就业和进一步学习所必须的数学的基础知识，因此数学课程的设计必须体现基础性的要求。

同时，数学课程设计还应体现学生的发展性。体现发展性包含两方面的含义：一方面是使所有学生除了知识以外，在能力和非智力因素方面都有所发展；另一方面是不同的学生在数学上得到不同的发展。前者是一般性的，后者则更体现学生的个体差异。为了体现这两个方面，课程内容应充分展示数学知识的发生、发展过程，使学生在探索的过程中得到数学上的发展。数学知识来源于实际，因此在导入知识时，要从实际问题出发，让学生发现其中的数学规律。

此外，这种发展性是要求每位学生在获取基本知识和技能的同时，在情感、态度、价值观和一般能力等方面都能得到充分的发展。例如美国1998年的《标准》将“知识”与“过程（发展性）”的目标并重，英国的国家课程中将知识要求与学生发展水平要求相结合，这些都说明了数学课程中的基础性的知识与学生的发展性要求是相统一的。我国数学新课程对三位目标的评价也正是反映出学生发展性的基本要求。

（四）数学课程内容设计要适度反映现代数学的发展

近几十年以来，现代数学的发展日新月异，不仅出现了许多数学分支，而且数学应用的范围也大大拓宽，数学的方法已被用于自然科学、社会科学的各个领域。

现代数学的变化冲击着中小学数学课程的内容，要求中小学数学内容有相应的变化：

1.重视数学的应用和数学建模

（1）恰当认识数学课程中的应用意识。数学课程中强化“应用”既是一个复杂问题，又是一个长期未能解决好的问题。我们认为，真正的数学应用应该是用数学来为现实服务，是用数学去描述、理解和解决学生熟悉的现实问题。这种问题不仅有社会意义，而且不局限于单一的教学，还要用到学生多方面的知识，这与用“现实”的例子来为数学教学服务的情况是完全不同的。

（2）非形式化：数学课程实施中的新颖处理方法。首先，数学课程内容设计要增强非形式化的意识。“不要把生动活泼的观念淹没在形式演绎的海洋里”，“非形式化的数学也是数学”。例如，极限概念可以在小学圆面积公式的引入、初中平面几何中圆周率的近似值的求法、高中代数等比数列求和等处逐步渗入，在大学微积分中正式引入。只要不在形式化上过分要求，学生是可以接受并能加以运用的。

其次，应恰当掌握对公式推导、恒等变形及计算的要求。随着计算机的普及，21世纪对手工计算的要求大大降低。从增强用数学的意识讲，也应降低对公式推导与恒等变形的要求，要充分利用几何直观，形象地刻画数学的应用过程。

（3）数学建模：数学课程实施中的基本处理方法。要使数学课程中应用意识的增强落到实处，数学建模是一条很好的途径。数学建模要求学生能把实际问题归纳（或抽象）成数学模型（诸如方程、不等式等）加以解决。从数学的角度出发，数学建模是对所需研究的问题作一个模拟，舍去无关因素，保留其数学关系以形成某种数学结构。从更广泛的意义上讲，建模则是一种技术、一种方法、一种观念。目前，从全球范围来看，世界各国课程标准都要求在各年级水平或多或少地含有数学建模内容，但各国的具体做法又存在着很大差异，主要有以下几种^[1]：

①两分法：数学课程方案由两部分构成。前一部分主要处理纯数学内容；后一部分处理的是与前一部分纯数学内容相关的应用和数学建模，它有时是现成模型结果的应用，有时是整个建模过程。这种做法可简单地表示为：数学内容的学习——数学应用和建模。

②多分法：整个教学可由很多小单元组成，每个单元做法类似于“两分法”。

③混合法：在这种做法里，新的数学概念和理论的形成与数学建模活动被设计在一起相互作用。这种做法可表示为：问题情景的呈现→数学内容的学习→问题情景的解决→新的问题情景呈现→新的数学内容的学习→这个新的问题被解决→……

④课程内并入法：在这种做法里，一个问题首先被呈现，随后与这问题有关的数学内容被探索和发展，直至问题被解决。这种做法要注意的是，所呈现问题必须要与数学内容有关并容易处理。

⑤课程间并入法：这种做法类似第④种，但又不完全相同，主要因为所呈现问题的解决所需要的知识未必主要是数学知识，可能是其它科目知识，数学已与其它科目融合成一体，不再单独成一科。显然，这种做法就是“跨学科设计教学法”。

2.重视概率统计

在当今社会中，有许多不确定的随机现象，投资、贷款、股票、证券、市场预测、风险评估等都有极大的随机性，学生为了更好地适应社会，就必须具有概率统计的意识。

3.重视优化思想

寻求优化可以说是人类的一种生存本能，虽然以往的教材中已有许多优化的思想，但并没有将它明晰出来。我们认为应将这个思想作为数学课程内容中的一个非常重要的部分，要把它明确出来。再就是以往的优化思想往往是针对纯数学问题，现在我们所提倡的优化应是有现实背景的，让学生感受到优化的必要性和价值。

（五）数学内容设计要体现信息技术发展的要求

随着科技的发展，计算机广泛地应用于教育，这些因素也深深地影响着数学课程的内容。这种影响主要体现在两个方面：一方面是对传统的数学课程内容的冲击；另一方面是产生的新学科如何安排在课程中。

计算机的出现，改变着传统数学课程的面貌。信息技术的到来所引发的讨论焦点是：计算器能取代哪些运算？符号运算技能对发展代数概念的理解究竟具有什么样的作用？以及在几何领域中演绎思维与直觉思维地位和作用问题。现在正逐步形成一种共识：要用代数的方法，特别是用计算机动态的软件和变换的概念，强化高中的几何内容。

计算机的出现，为数学课程增加了新鲜血液，使得与计算机有关的数学课程充实到中学课程中。各国课程中概率统计存在着一个比较明显的公共部分：以整理数据、分析数据特征为主的描述性统计，以古典概型为主的概率的计算和概率的统计定义（不涉及无穷样本空间和连续性随机变量）。因此，我们才可能认识到：“在考虑计算机时代微积分的地位时，我们不能忘记微积分是人类最伟大的智力成就之一，也是每个受过教育的人应该有的知识”^[2]。

计算机辅助教学，可以显示和操作二维、三维的形状复杂的数学对象。使用计算机，学生能够解决与他们的日常生活有关的现实问题，能够激发他们对数学的兴趣。计算机不仅提供了一种动态的、画图的手段，而且还提供了许多有效的途径去表达数学的思想，为理想课程的实现提供了一定的物质条件。随着计算机网络的遍及，出现了数学的远程课程，对于远程课程的基础研究会成为一个新的研究热点。

总之，在数学课程内容的编排时要处理好新旧知识之间的矛盾。教材的内容应面向全体学生，重视数学的应用，重视统一性与区别化，重视数学知识的内外综合，重视数学课程的基础性和发展性。要在现代数学观点指引下，借助于计算机这一有力工具使数学课程面向大众，面向未来。

数学教学论|设计数学新课程的基本要求

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