思维拓展与训练：知识解读，最小数原理

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：∪An=I，且Ai∩Aj=，则这些子集的全集叫作I的一个n-划分.定理3最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数.

定义1　一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A，记为x∈A，否则称x不属于A，记作x∉A.

例如，通常用N，Z，Q，R，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用Ø来表示.集合分有限集和无限集两种.

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如｛1，2，3｝；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法，如｛有理数｝，｛x|x＞0｝分别表示有理数集和正实数集.

定义2　子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫作B的子集，记为A⊆B，如N⊆Z.规定空集是任何集合的子集.如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等.如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫作B的真子集.

定义3　交集：A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝.

定义4　并集：A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝.

定义5　补集：若A⊆I，则IA=｛x|x∈I，且x∉A｝称为A在I中的补集.

定义6　差集：A＼B=｛x|x∈A，且x∉B｝.

定义7　集合｛x|a＜x＜b，x∈R，a＜b｝记作开区间（a，b），集合｛x|a≤x≤b，x∈R，a＜b｝记作闭区间［a，b］，R记作（-∞，+∞）.(https://www.chuimin.cn)

定理1　集合的性质：对任意集合A，B，C，有

（1）A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；

（2）A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）；

（3）

（4）

定理2　容斥原理：用|A|表示集合A的元素个数，则|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|.此结论可以推广到n个集合的情况，即

定义8　集合的划分：若A1∪A2∪…∪An=I，且Ai∩Aj=Ø（1≤i，j≤n，i≠j），则这些子集的全集叫作I的一个n-划分.

定理3　最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数.