高斯函数：取整运算|精英数学大视野·七年级2020

2023-08-13 理论教育版权反馈

【摘要】：高斯被形容为“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才”,创造力与直觉、卓越的计算能力、严密的逻辑推理和谐地组合在一起．高斯所著的《算术探索》一书,被誉为“数学的宪章”,开创了现代数论研究的新纪元．知能概述解决实际问题以及计算机的运算中,常常需要对一些数据进行取整运算(也称“高斯函数”),即去掉一些不是整数的实数的正的纯小数部分,而用不超过它的最大整数取而代之．对于任意实数a,通常[

高斯被形容为“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才”,创造力与直觉、卓越的计算能力、严密的逻辑推理和谐地组合在一起．高斯所著的《算术探索》一书,被誉为“数学的宪章”,开创了现代数论研究的新纪元．

知能概述

解决实际问题以及计算机的运算中,常常需要对一些数据进行取整运算(也称“高斯函数”),即去掉一些不是整数的实数的正的纯小数部分,而用不超过它的最大整数取而代之．

对于任意实数a,通常[a]表示不超过a的最大整数,如[3．6]＝3,[－3．6]＝－4,[5]＝5等．{a}＝a－[a]称为实数a的小数部分．[a]有以下基本性质(当且仅当a为整数时,等号成立):

1．a＝[a]＋{a},0≤{a}＜1．

2．[a]≤a＜[a]＋1．

3．a－1＜[a]≤a．

4．[n＋a]＝n＋[a](其中n为整数)．

问题解决

例1　若＝s,则[s]＝_________．

(“五羊杯”竞赛题)

解题思路　,要求[s],只需估算的取值范围．

国际著名学术团体——罗马俱乐部在《回答未来的挑战:推进新的学习观——创新性学习》报告中指出:所谓创新性学习,就是通过学习提高一个人发现、吸收新信息和提出问题的能力,以迎接日新月异的变化．

[x]的人文意境

如图,在直角坐标系中作出函数y＝[x]的图象,形象再现诗的意境:

欲穷千里目,

更上一层楼．

例2　设[x]表示不大于x的最大整数,则等于(　)．

A．1001　B．2003　C．2004　D．1002

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路　通过放缩,估计的值．

例3　解下列方程:

(1)[1．9x]＝10　(x为自然数);

(2)[3x＋1]＝2x－ pagenumber_ebook=295,pagenumber_book=289 ;

(全国初中数学联赛题)

(3)[2x]＋[3x]＝8x－ pagenumber_ebook=295,pagenumber_book=289 ．

(上海市竞赛题)

分析　解与[a]相关的方程,关键是去掉符号“[]”．需灵活运用[a]的性质,并善于把估算、等式与不等式知识综合起来．如对于(3),2x－1＜[2x]≤2x,3x－1＜[3x]≤3x,从而5x－2＜[2x]＋[3x]≤5x,即5x－2＜8x－ pagenumber_ebook=295,pagenumber_book=289 ≤5x,这样可求出x的取值范围．

解(3)由5x－2＜8x－ pagenumber_ebook=295,pagenumber_book=289 ≤5x,得．得8x－＝1,2,3,4,5,∴x＝．经检验x＝或．

例4　(1)设x,y满足方程组求[x＋y]的值．

(山东省竞赛题)

(2)已知x,y,z满足

求x,y,z的值．

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

解题思路　对于(1),3[x－2]＝3([x]－2)＝3[x]－6,先解关于[x],y的方程组;对于(2),由a＝[a]＋{a},可先求出x＋y＋z的值,进而分别求出[x],{x},[y],{y},[z],{z}的值．

解与取整运算相关的方程、方程组,常用相关性质,去掉“[]”符号,将问题转化为解不等式,整数既是隐含条件,又是制约因素．

例5　证明:对于任意实数x,有[x]＋[x＋ pagenumber_ebook=296,pagenumber_book=290 ]＝[2x]．

证明　设x＝[x]＋{x}({x}表示x的小数部分)．

由x－1＜[x]≤x,得0≤{x}＜1．

高斯函数

公元321年3月7日,古罗马皇帝君士坦丁正式宣布采用“星期制”,并规定当天为星期一．

公元1800年,德国数学家高斯在研究圆内整点问题时,引进了一个函数y＝[x],[x]是表示不超过数x的整数部分．

有了高斯函数,历法学家为我们找到计算某日是星期几的公式．

例6　下面的公式可以计算某日是星期几:

,其中,x是年份,y是该年从元旦起到这一天为止的天数,[x]表示不超过x的最大整数．

若S÷7得到的余数是几,则该天就是星期几．如:余数是0表示星期日,余数是1表示星期一……

问:2011年11月25日是星期几?

(世界数学团体锦标赛试题)

分析与解　在阅读理解的基础上,代入公式计算．

∴2011年11月25日是星期五．

例5的一般形式是埃尔米特恒等式:

对任意实数x及正整数n(n＞1)有:

德国发行的纪念高斯的货币．高斯给出的正十七边形可以用尺规作图的证明,这一问题的证明不仅震撼了数学界,也震撼了高斯自己的心灵．

F．克莱因曾评价高斯说:“如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭,那么最后一个使人肃然起敬的巅峰便是高斯．”

1．高斯函数[x],也称为取整函数,即[x]表示不超过x的最大整数．例如:[2．3]＝2,[－1．5]＝－2．则下列结论:①[－2．1]＋[1]＝2;②[x]＋[－x]＝0;③若[x＋1]＝3,则x的取值范围是2≤x＜3;④当－1≤x＜1时,[x＋1]＋[－x＋1]的值为0,1,2．其中,正确的结论的序号是_________．

(四川省乐山市中考题)

2．方程6x－3[x]＋7＝0的解是________．

(“希望杯”邀请赛试题)

3．方程[2x]＋[3x]＝9x－ pagenumber_ebook=297,pagenumber_book=291 的所有解是_________．