康托尔：集合论的创始人，超限数理论的精美成果

康托尔(1845—1918),德国数学家,集合论的创始人．集合论被公认为全部数学的基础．1926年希尔伯特称赞康托尔的超限数理论是“数学精神最令人惊羡的花朵,人类理性活动最精美的成果”．

知能概述

在计数时,我们常遇到这样的情况:作合并运算时会把重复部分多算了,需要减去;作排除运算时,会把重复部分多减了,需要补上．

我们把这种“应该有的”包含进来,“不该有的(或重复的)”排斥出去的思想方法称为容斥原理．

设A、B为两类物体,属于A的物体有|A|个,属于B的物体有|B|个,既属于A又属于B的物体记为A∩B(读作A交B),有|A∩B|个,把属于A或属于B的物体记作A∪B(读作A并B),则|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|．

问题解决

例1　在1～100的整数中,既不能被2整除,又不能被3整除的整数有_________个．

(“五羊杯”竞赛题)

解题思路　设|I|＝100,A表示I中能被2整除的整数,B表示I中能被3整除的整数,A∩B表示I中能被6整除的整数．

则所求的整数个数(阴影部分)＝|I|－|A∪B|＝|I|－|A|－|B|＋|A∩B|．

数学的力量在于它避免了一切不必要的思想而采取了最为经济的思维方式,思维的经济原则在数学中得到了高度地发挥．

——马赫

筛　法

康托尔为了说明集合运算中的容斥原理,他举了下面一个例子:

某班有学生50人,其中40人爱唱歌,30人爱舞蹈,35人爱运动．请问三种爱好兼备的学生至少有多少?

例2　十个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”,则这十个有理数的和是(　)．

(江苏省竞赛题)

解题思路　将未知的十个互不相等的有理数,转化为已知的十个互不相等的和式

例3　求出分母是111的最简真分数的和．

(陕西省西安市竞赛题)

解题思路　要得到真分数,分子只能从1到110之中取,因111＝3×37,又由分子分母既约知,分子不能是3或37的倍数,从1到110中有36个3的倍数,有2个37的倍数,这样所求最简真分数共有110－36－2＝72(个)．

例4　解放路中学初二(1)班有50个学生,其中有37人参加科技兴趣小组,有25人参加舞蹈兴趣小组,有10人没有参加任何一个兴趣小组．问同时参加两个兴趣小组的人数占全班人数的百分之几?

(浙江省竞赛题)

解法1　要求同时参加两个兴趣小组的人数占全班人数的百分之几,只需求出同时参加两个兴趣小组的人数．根据容斥原理,将参加科技兴趣小组的人数37,加上参加舞蹈兴趣小组人数25,再减去参加兴趣小组的人数(50－10)＝40,即得同时参加两个兴趣小组的人数22;然后将这一人数22除以全班人数50,即得同时参加两个兴趣小组的人数占全班人数的44%．

解法2　设两个兴趣小组都参加的人数为x人,则只参加科技兴趣小组的人数为37－x,只参加舞蹈兴趣小组的人数为25－x,由题意得x＋(37－x)＋(25－x)＋10＝50,解得x＝22,可知同时参加两个兴趣小组的人数占全班人数的44%．

图表能直观、形象地表示数量及关系,解题中有意地画图(如画直线图、列表、构造图形等)能帮助分析理顺复杂的数量关系．

美国数学家斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么思维就整体地把握了问题,并且能创造性地思考问题的解法．”

当我们对某些对象的数目难以从整体上计数时,可将整体化为部分,通过对每个部分的计数来实现对整体的计数,解法1运用的就是这一方法,解法2是用方程观点求解．

例5　在1到120的整数中,合数与质数各有多少个?

分析与解　如果a是一个合数,那么a一定有一个质因数,而＝11,所以不超过120的合数必定是质数2,3,5,7的倍数．

设A1表示1到120的整数中2的倍数的数的全体,A2表示1到120的整数中3的倍数的数的全体,A3表示1到120的整数中5的倍数的数的全体,A4表示1到120的整数中7的倍数的数的全体．

则|A1|＝60,|A2|＝40,|A3|＝24,|A4|＝17;

|A1∩A2|＝20,|A1∩A3|＝12,|A1∩A4|＝8,

|A2∩A3|＝8,|A2∩A4|＝5,|A3∩A4|＝3;

|A1∩A2∩A3|＝4,|A1∩A2∩A4|＝2;

|A1∩A3∩A4|＝1,|A2∩A3∩A4|＝1;

|A1∩A2∩A3∩A4|＝0．

|A1∪A2∪A3∪A4|＝(60＋40＋24＋17)－(20＋12＋8＋8＋5＋3)＋(4＋2＋1＋1)－0＝93．

这就是说,在不超过120的正整数中,或是2的倍数,或是3的倍数,或是5的倍数,或是7的倍数的数,共有93个,其中含有2,3,5,7本身,故合数的个数为93－4＝89．

而质数的个数等于120个数中除去合数与数1的个数,即120－(89＋1)＝30．

国际统计年

美国统计协会、数理统计学会等把2013年设定为“国际统计年”．数据化、信息化是当代最显著特征．麻省理工学院曾在《数据就是生产力》一文中说:“大数据是当前的时髦术语,是技术界用来解决世界上最难处理的问题的全能方法,这个术语一般用来描述对海量信息进行分析,从而发现规律,收集有价值的见解和预言复杂问题答案的技巧与科学．”

需要注意的是,统计虽好,用时当心．

例6　某校共有学生900人,其中男生528人,高中学生312人,团员670人,高中男生192人,男团员336人,高中团员247人,高中男团员175人．试问这些数据统计有无错误?

分析与解　设I是某校全体学生组成的集合,A,B,C分别表示该校男生、高中生、团员组成的集合．于是由题设得

|I|＝900,|A|＝528,|B|＝312,|C|＝670,|A∩B|＝192,|A∩C|＝336,|B∩C|＝247,|A∩B∩C|＝175．

这样该校中不是男生、不是高中生又不是团员的学生组成的集合应是,于是应有

＝900－(528＋312＋670)＋(192＋336＋247)－175＝－10＜0．

如图,我们可以得到下面公式的直观解释．

|A1∪A2∪A3|＝|A1|＋|A2|＋|A3|－|A1∩A2|－|A1∩A3|－|A2∩A3|＋|A1∩A2∩A3|．

“不著一字,尽得风流”,图直观、无言地传递着丰富的信息．

大数据是当代社会的根本特征,是下一个社会发展阶段的“石油”和“金矿”．

大数据正改变着人类的思维方式,从对精确性的苛求,转而追求混杂性;从对因果关系的追求,转为对相关关系的发现．

事实上,统计学生人数绝不可能是负数,这说明了统计的数据必有错误．

1．从1到10000这1万个自然数中,有________个数能被5或能被7整除．

(上海市竞赛题)

2．在1到1000的自然数中,能被2整除但不能被3整除,也不能被5整除的数有________个．

(陕西省竞赛题)

3．某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试,有4名学生在这三个项目的测试中都没有达到优秀,其余每人至少有一个项目达到优秀,这部分学生达到优秀的项目、人数如下表:

则这个班的学生人数是_________．

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

4．今年某班有56人订阅过《初中生数学学习》,其中,上半年有25名男生、15名女生订阅了该杂志,下半年有26名男生、25名女生订阅了该杂志,有23名男生是全年订阅,那么,只在上半年订阅了该杂志的女生有_________名．

(江苏省竞赛题)

5．在小于1000的正整数中,能被5整除或能被7整除,但是不能被35整除的数的个数为(　)．

A．285　B．313　C．341　D．369

(河北省竞赛题)

6．有1997盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制着,现按其顺序编号为1,2,…,1997,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下,再将编号为3的倍数的灯线拉一下,最后将编号为5的倍数的灯线拉一下,三次拉完后亮着的灯数为(　)．

A．1464盏　B．533盏　C．999盏　D．998盏

(《时代学习报》公开赛试题)

7．在某夏令营中,100名营员每人至少会唱歌、跳舞或表演中的一项才艺,有些人的才艺不止一项,但没有人具备三项才艺．若有42名营员不会唱歌,有65名营员不会跳舞,有29名营员不会表演,则至少会两项才艺的营员有(　)人．

A．16　B．25　C．36　D．49　E．64

(美国数学竞赛题)

8．40个学生参加数学奥林匹克竞赛．他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题以及一个三角学问题．具体情况如下表所述:

其中有三位学生一个问题都没有解决,则三个问题都解决的学生数是(　)．

A．5　B．6　C．7　D．8

(复旦大学自主招生试题)

9．在1,2,3,…,1000这1000个自然数中

(1)不能被3整除的自然数有多少个?

(2)不能被3也不能被5整除的自然数有多少个?

(3)不能被3,5,7中任何一个整除的自然数有多少个?

10．以105为分母的最简真分数共有几个?

(“五羊杯”竞赛题)

11．某校100名学生在一次语、数、外三科竞赛中,参加语文竞赛的有39人,参加数学竞赛的有49人,参加外语竞赛的有41人,既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有14人,既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人,既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人,1人三项都没有参加,问三项都参加的有多少人?

(河南省竞赛题)

12．某班有50名同学,期末考试优秀的学生人数及科目如表:

这里,一科优秀者包括两、三科优秀者,两科优秀者包括三科优秀者．试说明上述统计表有错误．

(“创新杯”竞赛题)

13．某电视台为了解A,B,C三个特色栏目的收视情况,向28位观众进行调查,调查后得知:每位观众至少收看了其中的一个栏目;没有收看栏目A的观众中,收看栏目B的人数为收看栏目C的两倍;在收看栏目A的观众中,只收看栏目A的观众人数比除了收看栏目A之外同时还收看其他栏目的人数多1;只收看一个栏目的观众中,有一半没有收看栏目B或栏目C．求栏目A的收视率．

(《数学周报》杯全国初中数学竞赛题)

14．若最简分数写成小数形式为0．ababab…(非负整数a,b相等,但至少有一个非零),那么符合条件的分数中不同的分子有多少个?

(青少年国际城市邀请赛试题)

15．春天到了,小红想编一个花环送给老师,她先找来了29朵3瓣的百合花,排成一排,两朵两朵数了一遍花,将每次数到的第二朵花换成了4瓣的长春花,然后三朵三朵数了一遍花,将每次数到的第三朵花换成了5瓣的桃花,最后四朵四朵数了一遍,将每次数到的第4朵花换成了6瓣的迎春花,最终小红换出去了多少朵百合花?这个花环上一共有多少个花瓣?

(“希望杯”邀请赛试题)

例1　33　能被2整除的数有50个,能被3整除的数有33个,能被6整除的数有16个,故既不能被2整除,又不能被3整除的数有100－50－33＋16＝33(个)．

例2　D　设这十个有理数为a1,a2,a3,…,a10,由于它们互不相同,可知下面十个和式的值:a1＋a2＋…＋a9,a2＋a3＋…＋a9＋a10,a3＋a4＋…＋a10＋a1,…,a9＋a10＋a1＋a2＋…＋a7,a10＋a1＋…＋a8互不相同,因此,上述10个和式之和为

从而可得

例3　36　分母为111的最简真分数的和为72个真分数的相加．

1．3143

2．267　能被2整除的数共500个,其中:能被3整除的数即能被2×3整除的数共166个,能被5整除的数即能被2×5整除的数共100个,能被3,5都整除的数,即能被2×3×5整除的数共33个,故可知能被2整除,但不能被3,5整除的数共500－166－100＋33＝267个．

3．39　如图,推知全班的人数应为8＋4＋3＋2＋8＋4＋6＋4＝39(名)．

(第3题)

(第4题)

4．如图,用左右两个圆的内部分别表示上半年和下半年订阅该杂志的人数,由(15－x)＋x＋(25－x)＝28,得x＝12．

5．A　6．C

7．E　设只会唱歌的营员有x人,只会跳舞的营员有y人,只会表演的营员有z人,会唱歌又会跳舞的营员有a人,会唱歌又会表演的营员有b人,会跳舞又会表演的营员有c人．

则

⇒a＋b＋c＝2(x＋y＋z＋a＋b＋c)－(y＋z＋c)－(z＋x＋b)－(x＋y＋a)＝64．

8．A　令A＝{解决代数学问题的学生},B＝{解决几何学问题的学生},C＝{解决三角学问题的学生},则|A∩B∩C|＝|A∪B∪C|－(|A|＋|B|＋|C|)＋(|A|∩|B|＋|A|∩|C|＋|B|∩|C|)＝(40－3)－(20＋18＋18)＋(7＋8＋9)＝5．

9．(1)1000－333＝667;

(2)1000－333－200＋66＝533;

(3)1000－333－200－142＋28＋47＋66－9＝457．

10．105＝3×5×7,以105为分母的最简真分数,其分子不是3,5或7的倍数,最简真分数的个数是105－＝48(个)．

11．如图,用集合思想分析参加各科竞赛人数之间的关系．由题意得39＋(22＋x)＋(13－x)＋(19＋x)＋1＝100,解得x＝6．

(第11题)

(第12题)

12．如图,A,B,C三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学生的集合,而a,b,c,…,f,g则分别表示各类优秀学生的人数．如g表示数、外、语三科均优秀的学生人数,f表示语、外两科优秀而数学不优秀的学生人数．

解得e＝6,d＝7,f＝8,a＝9,b＝6,c＝5,g＝10．

故a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＝51,说明数、外、语三科中至少有一科优秀的学生共有51人,而全班仅有50人,故统计有错误．

13．设只收看A,B,C三个栏目的观众人数分别为x,y,z,没有收看栏目A而收看栏目B和栏目C的人数为m,不只收看栏目A的人数为n,如图所示:

则得z＝29－4y．

(第13题)

由y－2z＝m≥0,得9y－58≥0,∴y≥;由29－4y＝z≥0,得y≤．

∵y为整数,∴y＝7,从而z＝1,x＝8,n＝7,m＝5．

故栏目A的收视率为

14．形如0．ababab…的小数都可写成的形式(k＝1,2,…,98),由容斥原理可得在1,2,3…,98中是3或11的倍数的数有＝38(个),故在1,2,3,…,98中与99互质的数有98－38＝60(个),又,故不同的分子有60＋3＝63(个)．

15．我们将百合花1～29编号,从最后第三次看,四朵四朵数,将标号为4的倍数的共换了＝7(朵)花为6瓣的迎春花;

再看第二次三朵三朵数,将标号为3的倍数的换成了桃花,共换了＝9(朵)花,其中有　＝2(朵)第三次将被换为6瓣的迎春花,所以实际共换成了9－2＝7(朵)5瓣的桃花;

第一次两朵两朵数将标号为2的倍数的换成了4瓣的长春花,一共换走了＝14(朵),其中有＝4(朵)将被下次换成桃花,有7朵第三次换成了迎春花,其中有＝2(朵)换重复了,需要补回来,所以实际最后只有14－4－7＋2＝5(朵)长春花．

因此,最后余下29－7－7－5＝10(朵)百合花,换出去29－10＝19(朵)百合花．

这个花环上一共有10×3＋5×4＋7×5＋7×6＝127(个)花瓣．