用数学工具解决实际问题的重要方法，本文介绍了一种估算的方法

2023-08-13 理论教育版权反馈

【摘要】：用一种多边形或几种多边形组合的平面镶嵌,都是按一定规则重复而铺镶,这种镶嵌称为匀称周期性镶嵌．英国数学家彭罗斯发现了只用两块拼板就能进行平面的非周期性镶嵌,这种拼板的一组是由两个角度不同的菱形组成,分别为72°,108°和36°,144°．知能概述在生活生产实践和科学研究中,我们既需进行严谨细致的精确计算,又常要对一些问题的数量进行估算,估算能让我们对所考察的事物迅即有一个全局的理解和把握,是我们

用一种多边形或几种多边形组合的平面镶嵌,都是按一定规则重复而铺镶,这种镶嵌称为匀称周期性镶嵌．英国数学家彭罗斯发现了只用两块拼板就能进行平面的非周期性镶嵌,这种拼板的一组是由两个角度不同的菱形组成,分别为72°,108°和36°,144°．

知能概述

在生活生产实践和科学研究中,我们既需进行严谨细致的精确计算,又常要对一些问题的数量进行估算,估算能让我们对所考察的事物迅即有一个全局的理解和把握,是我们研究和处理有关数量问题时经常运用的一种方法．

估算不是漫无目标的胡估乱算,必须仔细审题,充分理解题意,调动经验、知识、直觉,并常用到放缩、夹逼、排序等方法．

问题解决

例1　100名少年运动员胸前的号码分别是1,2,3,…,99,100,选出其中的k名运动员,使得它们的号码数之和等于2008,那么k的最大值是_________．

(少年数学精英邀请赛试题)

解题思路　选号码越小的,可以使选出的人数越多,故考虑选由1～n的连续n个自然数之和不超过2008的k的值．

纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙．

——联合国教科文组织

费米难题

费米,当代美国著名物理学家,因崇高的人格、优秀的品质而具有迷人的科学风采,1938年获诺贝尔物理学奖．

有一次费米问学生们芝加哥市一共有多少位钢琴调音师,见学生们茫然,费米提示把这个问题“分解成一些便于操作的小问题,然后鼓起勇气作猜测和假设”．

例2　如果自然数a,b,c满足29a＋30b＋31c＝366,则a＋b＋c＝(　)．

A．10　B．12　C．14　D．16

(江苏省竞赛题)

解题思路　题设条件是三元不定方程,适当改变字母系数,放大或缩小求出a＋b＋c的取值范围．

例4　求中的数字x,y,z．

(全俄中学生数学竞赛题)

解题思路　从估算值的大小,建立关于x的不等式组入手．通过夹逼,把多元问题转化为解一元一次不等式,逼近求解．

所谓放缩法,就是将问题中的某些量放大或缩小,使各量之间的关系清晰地显现出来,是处理等式、不等式问题的一种重要方法．

所谓夹逼法,就是把问题的解限制在某取值范围内,通过解不等式、筛选讨论,得到问题的解．

例5　给出四个自然数a,b,c,d,其中每三个数之和分别是180,197,208,222,求a,b,c,d中最大的数的值．

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路　一般的解法是解关于a,b,c,d的四元一次方程组,由题意知a,b,c,d互不相等,不妨设a＜b＜c＜d,思维定向,可优化解题过程．

例6　当x≤y≤z时,求方程的正整数解．

(山西省太原市竞赛题)

排序

在解一些涉及多个变元的数学问题时,题设条件并没有给出变元的大小顺序,若给它们假设一个大小顺序,并不影响命题的成立,则给问题的解决增加了一个可供使用的条件,从而降低问题的难度,这种方法叫排序法．

例7　如果正整数x1,x2,x3,x4,x5满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝x1x2x3x4x5,求x5的最大值．

有序是系统的基本属性,是维持系统的重要条件．

相等与不等是矛盾的两方面．在一定条件下可以相互转化．

例6是利用不等关系研究相等关系的典型例题,通过排序与放缩,将多元不定方程转化为一元不等式,逼近求解．

数学家如何思考?他们的想法怎样与外部世界发生联系?数学是最纯粹的思想形式,其中外部世界几乎被隔离出去了．

解　因xi的地位轮换对称,故x5的最大值也就是x1,x2,x3,x4,x5中的最大值．为确定起见,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5(排序),则

于是得x4x5－x4－x5≤3,即(x4－1)(x5－1)≤4．

若x4＝1,则x1＝x2＝x3＝x4＝1,与题设等式为4＋x5＝x5矛盾;

若x4＞1,则x5－1≤4,即x5≤5．

当x5＝5时,容易找到满足条件的数组(1,1,1,2,5),所以x5的最大值是5．

1．若实数a≥b≥c≥d≥0,且a＋b＋c＋d＝100,则b的最大值是_________,b＋c的最大值是_________．

(“希望杯”邀请赛试题)

2．将2,3,4,5,…,10,11这10个自然数填到图中10个格子里,每个格子只填一个数,使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于P,那么P的最大值是________．

(第2题)

(江苏省竞赛题)

3．设x1,x2,x3,x4,x5是正整数,任取其中四个求和后得到的结果是44,45,46,47,则这五个正整数分别是_________．

(清华大学自主招生试题)

4．有n个连续的自然数1,2,…,n,去掉其中的一个数x后,剩下的数的平均数是16,则满足条件的n和x的值分别是_________．

(天津市竞赛题)

5．如果一个两位数 pagenumber_ebook=262,pagenumber_book=256 与一个三位数的积为29400,那么x＋y＋z＝_________．

(上海市竞赛题)

6．已知长方体的长、宽、高都是整数厘米,将长、宽、高都增加1厘米,长方体的表面积可能增加(　)平方厘米．

A．14　B．103　C．214　D．400

(“希望杯”邀请赛试题)

7．一个凸n边形,它的每个内角的度数都是整数,且任意两个内角的度数都不相同,则n的最大值是(　)．

A．6　B．12　C．26　D．93　E．179

(美国数学竞赛题)

下面这个式子叫“反平方级数”:

数学家贝努利曾求出过许多级数的和,但对于上述问题却束手无策,曾向欧拉求教,欧拉用类比的方法求出这个级数的和为 pagenumber_ebook=262,pagenumber_book=256 ．这个故事成为数学史上的一段佳话．

请你估计一下,这个级数的前100项之和是否满足不等式:

8．在冬季篮球赛中,选手小明在第六、第七、第八、第九场比赛中分别得了23分、14分、11分和20分．他的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩,如果他的前十场的平均成绩高于18分,那么他的第十场的成绩至少为(　)．

A．27分　B．29分　C．31分　D．33分

(广西壮族自治区竞赛题)

9．设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和,则这样的n的个数是(　)．

A．1　B．2　C．3　D．4

(复旦大学自主招生试题)

10．x1,x2,…,x100是自然数,且x1＜x2＜…＜x100,若x1＋x2＋…＋x100＝7001,那么,x1＋x2＋…＋x10的最大值为(　)．

A．2225　B．2226　C．2227　D．2228

(“希望杯”邀请赛试题)

11．已知由小到大的10个正整数a1,a2,a3,…,a10的和是2000,求a5的最大值．

(江苏省竞赛题)

12．设x,y,z为互不相等的正整数,且＝a,a为整数,求x,y,z的正整数解．

(河南省竞赛题)

13．有5个数,每两个数的和分别为2,3,4,5,6,7,8,6,5,4(未按顺序排列),求这5个数的值．

(江苏省竞赛题)

14．一个三位数,将它的三个数字两两相乘、三个数字的乘积相加,其和恰好等于它本身,这样的三位数中最小的是多少?

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

15．设a1,a2,a3,…,an是各不相同的正自然数,a≥2,求证:

(中国科学技术大学自主招生试题)

16．有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是多少?

(全国初中数学联赛试题)

17．1995年以前,乌克兰足球锦标赛的计分规则为每支球队获胜得2分,打平得1分,输球得0分;从1995年开始,足球联盟决定将原来的计分规则改为:每支球队获胜得3分,打平得1分,输球得0分,并相信这样的改变不会大范围影响排名的分布情形．然而,在1927年的一届n支球队参加的锦标赛中,每支球队均要与其他球队恰比一场,最终A队获得总分最高,B队获得最低分;但若使用新规则,B队将获得最高分而A队获得最低分．求这各情形发生时n的最小值．

注:这里的“最高(低)分”指的是唯一的最高(低)分．

(乌克兰数学竞赛题)

例1　62　由1＋2＋3…＋n＝＜2008,得n(n＋1)≤4016．

∵60×60＝3600,70×70＝4900,故n是两位数,其十位数字是6,试算62×63＝3906＜4016,63×64＝4032＞4016,于是取n＝62,即最多能选出62人．

例5　最大数为89．

1．50　 pagenumber_ebook=264,pagenumber_book=258 由2b≤a＋b＋c＋d＝100,得b≤50,当a＝b＝50,c＝d＝0时,等号成立．又a≤a＋d＝100－(b＋c),2a≥b＋c,a≥,100－(b＋c)≥,得b＋c≤,当a＝b＝c＝,d＝0时满足要求．

2．28　设居中两个格子所填之数为x,y,则2＋3＋4＋…＋10＋11＋x＋y＝65＋x＋y＝3P．要使P最大,必须x＋y最大,由于x＋y≤10＋11＝21,得3P≤65＋21＝86．解得P≤ pagenumber_ebook=264,pagenumber_book=258 ＝28,所以P取得最大整数值应为28．

(第2题)

3．10,11,11,12,13

226＝44＋44＋45＋46＋47≤4(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)≤44＋45＋46＋47＋47＝229,x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝57．

6．C　设长方体的长、宽、高分别为acm,bcm,ccm,则长方体的表面积增加:2[(a＋1)(b＋1)＋(b＋1)(c＋1)＋(a＋1)(c＋1)]－2(ab＋bc＋ac)＝4(a＋b＋c)＋6,

∵4(a＋b＋c)＋6≥4(1＋1＋1)＋6＝18,题设的选项中,只有214可表示成4×52＋6的形式．∴选C．

7．C　要使n最大,只需让每个外角的度数尽可能小,可令外角分别是1°,2°,3°…,因1＋2＋3＋…＋26＝351＜360,1＋2＋3＋…＋27＝378＞360,故nmax＝26．26个外角分别为1°,2°,3°…25°,35°,此时多边形的内角分别为179°,178°,177°,…,155°,145°．

10．B　7001＝x1＋x2＋…＋x100≥x1＋(x1＋1)＋(x1＋2)＋…＋(x1＋99),解得x1≤20,又20＋21＋22＋…＋119＝6950＝7001－51,21＋22＋…＋120＝7050＞7001,故当x1＝20,x2＝21,…,x49＝68,x50＝70,x51＝71,…,x100＝120时,x1＋x2＋…＋x50有最大值,最大值为2226．

11．要使a5最大,需使a1,a2,a3,a4及a6,…,a10尽量小,又因a1＜a2＜…＜a10,故先取a1,a2,a3,a4分别为1,2,3,4,于是有2000＝1＋2＋3＋4＋a5＋…＋a10,即a5＋a6＋…＋a10＝1990．又a6≥a5＋1,a7≥a5＋2,a8≥a5＋3,a9≥a5＋4,a10≥a5＋5,故a5＋a6＋…＋a10≥6a5＋15,即6a5≤1975,,故a5最大值可取329．