三角形边与角的关系-精英数学大视野

将点、线、面体不同形态的基本图形加以组合,便构成一个新的图形．基本图形有规律地、渐渐地演变,又构成新的图形．埃舍尔创作的《天与水》运用异形渐变的构成方法,使天上的飞鸟和水中的游鱼有机结合在一起,埃舍尔是荷兰版画家,他把自己称为一个“图形艺术家”．

知能概述

三角形是最简单、最基本的几何图形,是研究其他复杂图形的基础．

边与角是三角形的基本元素,与边与角相关的知识有:三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论,它们在相关计算、图形计数等方面有广泛的应用．

解与三角形的边与角有关的问题时,常常用到数形结合及分类讨论法,即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题,按边或角对三角形进行分类讨论．

问题解决

例1　如图,∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P,设∠CAD,∠CBD,∠C,∠D的度数依次为a,b,c,d,用仅含有2个字母的代数式表示∠P的度数_________．

(江苏省竞赛题)

解题思路　运用对顶三角形的性质,可得到含∠P,a,b,c,d的等式．

几何学会给你带来许多幸福的时刻,几何学不仅是发展智慧的手段,而且也是医治心灵和肉体的良药．

——依·沙雷金

质数角度的直角三角形

罗巴切夫斯基(1792—1856),俄国数学家,他一生的重要贡献是创立了“非欧几里得几何”,他曾思考过下面的问题:

有无锐角角度均为质数的直角三角形?若有,有多少个?进一步问:三个角度均为质数的不等边三角形存在吗?这样的等腰三角形存在吗?

例2　已知△ABC的三个内角的比是m∶(m＋1)∶(m＋2),其中m是大于1的正整数,那么△ABC是(　)．

A．锐角三角形　B．直角三角形

C．钝角三角形　D．等腰三角形

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路　设∠A＝mt,则∠B＝(m＋1)t,∠C＝(m＋2)t(t＞0),比较∠A＋∠B与∠C的大小．

例3　若三角形一个角与90°相差不大于15°,称之为几乎直角三角形;若三角形两个角相差不大于15°,称之为几乎等腰三角形．任一锐角三角形是否要么几乎直角要么几乎等腰?

(环球城市数学竞赛试题)

解题思路　从肯定或否定切入,解题的关键是建立或导出与定义相关的不等式．

例4　(1)已知三角形的三边a,b,c的长都是整数,且a≤b＜c,b＝7,问:这样的三角形有多少个?

(湖北省武汉市竞赛题)

(2)周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?

(河南省竞赛题)

解题思路　对于(2),不妨设三角形三边为a,b,c,且a＜b＜c,由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围,以此作为解题的突破口．

确立三角形个数是与三角形三边关系相关的一类重要问题,解题的基本方法有:

(1)已知边长(次长边或最长边),通过穷举确定三角形个数;

(2)已知周长确定三角形个数,解题的关键是先求出最长边的取值范围,可以证明:三角形的最长边介于周长的和之间．

三角形是一个从简单情形出发,逐步走向深刻的最具典型性的数学研究对象,人们一定是掌握了某些三角学知识,才能建造起宏伟的金字塔,让它历经千年风雨依然威严耸立．

例5　在三角形纸片内有2008个点,连同三角形纸片的3个顶点,共有2011个点,在这些点中,没有三点在一条直线上．问:以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形?

(天津市竞赛题)

解法1　我们不妨先退一步,考察三角形内有一个点,两个点,三个点…的简单情形,有下表所示的关系:

不难发现,三角形内有一个点时,连线可得到3个小三角形,以后每增加一个点,这个点必落在已连好的某一个小三角形内,它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形,从而增加了两个小三角形,于是可以推出,当三角形内有2008个点时,连接可得到小三角形的个数为:3＋2×(2008－1)＝4017(个)．

解法2　整体核算法．设连线后把原三角形分割成n个小三角形,则它们的内角和为180°·n,又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时,能为小三角形提供360°的内角,2008个点共提供内角2008×360°,于是得方程180n＝360×2008＋180,解得n＝4017,即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形．

例6　(1)用长度相等的100根火柴杆,摆放成一个三角形,使最大边的长度是最小边长度的3倍,求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．

(山西省太原市竞赛题)

(2)现有长为150cm的铁丝,要截成n(n＞2)小段,每段的长为不小于1cm的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形,试求n的最大值,此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?

(江苏省竞赛题)

分析与解　对于(1),设三角形各边需用火柴杆数目分别为x,y,3x,综合运用题设条件及三角形三边的关系等知识,建立含等式、不等式的混合组,这是解本例的突破口;对于(2),因n段之和为定值150cm,故欲n尽可能的大,必须每段的长度尽可能的小,这样依题意可构造一个数列．

(1)依题意,有

由①,②得≤x≤20,由③得x＜,因x为正整数,故x＝15或16．所以,满足条件的三角形有两组,需用火柴杆数目分别为15,40,45或16,36,48．

华罗庚曾说:“善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到原始而不失去重要的地方,是学好数学的一个诀窍．”

对于例5,如果用剪刀沿着这些小三角形的公共边剪开来(一条公共边算一刀),那么要剪成这些小三角形要剪几刀?

解与三角形的边与角相关的问题时,常常要根据等式和不等式的性质,用不等值替换,通过放缩(放大求下界、缩小求上界)确定三角形的边或角的范围．

(2)这些小段的长度只可能分别是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89…但1＋1＋2＋…＋34＋55＝143＜150,1＋1＋2＋…＋34＋55＋89＝232＞150,故n的最大值为10,共有以下7种方式:(1,1,2,3,5,8,13,21,34,62),(1,1,2,3,5,8,13,21,35,61),(1,1,2,3,5,8,13,21,36,60),(1,1,2,3,5,8,13,21,37,59),(1,1,2,3,5,8,13,22,35,60),(1,1,2,3,5,8,13,22,36,59),(1,1,2,3,5,8,14,22,36,58)．

规形探究

例7　(1)如图①,凹四边形ABDC形似圆规,这样的凹四边形称为“规形”,易证∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C．

(2)如图②,在凹四边形ABDC中,已知∠ABD与∠ACD的平分线交于点E．求证:∠E＝．

拓展

“规形”有四个内角,任取两个内角的平分线,有六种组合情形,于是,可提出下列问题:

(1)如图③,若∠ABD,∠BAC的平分线交于点E,则∠C,∠D与∠E之间有怎样的数量关系?

(2)如图④,若∠BAC,∠BDC的平分线交于点E,则∠B,∠C与∠E之间有怎样的数量关系?

解题思路　当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通性的组图．引入字母,设而不求,充分体现代数化方法在解与角平分线相关问题时的广泛应用．

角是平面图形的基本元素,突破角的关系是解平面几何问题的关键,你熟悉下列图形中角的关系吗?

1．如图,在△ABC中,O是△ABC三条角平分线的交点,若∠AOB∶∠BOC∶∠AOC＝4∶5∶6,则∠ABC＝________度．

(“希望杯”邀请赛试题)

2．如图,加油站A和商店B在马路MN的同一侧,A到MN的距离大于B到MN的距离,AB＝7米,一个行人P在马路MN上行走．问:当P到A的距离与P到B的距离之差最大时,这个差等于_________米．

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

(第1题)

(第2题)

(第5题)

3．将长度为25cm的细铁丝折成边长都是质数(单位:厘米)的三角形,若这样的三角形的三边的长分别是a,b,c,且满足a≤b≤c,则(a,b,c)有_________组解,所构成的三角形都是_________三角形．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．已知△ABC的三边长分别为a,b,c,有以下四个命题:

(1)以为边长的三角形一定存在;

(2)以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在;

(3)以为边长的三角形一定存在;

(4)以|a－b|＋1,|b－c|＋1,|c－a|＋1为边长的三角形一定存在．其中,正确的命题是_________(填序号)．

(北京大学博雅计划数学测试题)

5．三角形内角平分线的交点称为内心．如图,D是△ABC的内心,E是△ABD的内心,F是△BDE的内心．若∠BFE的度数为整数,则∠BFE至少为_________度．

(上海市竞赛题)

6．长为的三条线段可以构成一个三角形,则自然数n＝_________．

(世界数学团体锦标赛试题)

7．如图,∠ABD与∠ACD的角平分线交于点P．若∠A＝50°,∠D＝10°,则∠P的度数为(　)．

A．15°　B．20°

C．25°　D．30°

(第7题)

8．已知△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C满足3∠A＞5∠B,3∠C≤2∠B,则这个三角形是(　)．

A．锐角三角形　B．直角三角形

C．钝角三角形　D．等边三角形

(“希望杯”邀请赛试题)

9．如图,将纸片△ABC沿着DE折叠展平,则(　)．

A．∠A＝∠1＋∠2

B．∠A＝(∠1＋∠2)

C．∠A＝(∠1＋∠2)

D．∠A＝(∠1＋∠2)

(第9题)

(北京市竞赛题)

10．已知一个三角形的三条边长均为正整数,若其中仅有一条边长为5,且它又不是最短边,则满足条件的三角形有(　)．

A．4个　B．6个　C．8个　D．10个

(天津市竞赛题)

11．7条长度均为整数的线段a1,a2,…,a7满足a1＜a2＜…＜a7,且这7条线段中的任意三条线段都不能构成三角形,若a1＝1,a7＝21,则a6＝(　)．

A．18　B．13　C．8　D．5

(浙江省竞赛题)

12．边长为整数,周长为20的三角形共有(　)个．

A．4　B．6　C．8　D．12

(江西省南昌市竞赛题)

13．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长．

(美国数学邀请赛试题)

14．有长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9(单位:cm)的细木棒各一根,利用它们(允许连接加长但不允许折断)能够围成多少种周长不同的等边三角形?

(江苏省竞赛题)

15．如图,在△ABC中,已知三条内角平分线AD,BE,CF相交于I,IH⊥BC,求证:∠BID＝∠HIC．

(湖北省武汉市竞赛题)

(第15题)

(第16题)

16．如图,已知射线Ox⊥Oy,A,B为Ox,Oy上两动点,∠A平分线与∠B的外角平分线交于C,试问:∠C的度数是否随A,B运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,求出∠C的值．

(四川省竞赛题)

17．从1,2,…,2004中任选k个数,使所选的k个数中,一定可以找到能构成三角形边长的3个数(这里要求三角形三边长互不相等)．试问:满足条件的k的最小值是多少?

(山东省竞赛题)

18．若三角形的三条边长a,b,c为整数,且一边上的高恰为另两条边上的高之和,则称这样的三角形为“玲珑三角形”．证明:

(1)存在玲珑三角形;

(2)玲珑三角形中,a2＋b2＋c2为完全平方数．

(北京市竞赛题)

19．如图①,点D,点E分别在△ABC边AB,AC上,∠CBD＝∠CDB,DE∥BC,∠CDE的平分线交AC于F点．

(1)求证:∠DBF＋∠DFB＝90°;

(2)如图②,如果∠ACD的平分线与AB交于G点,∠BGC＝50°,求∠DEC的度数;

(3)如图③,如果H点是BC边上的一个动点(不与B,C重合),AH交DC于M点,∠CAH的平分线AI交DF于N点．当H点在BC上运动时,的值是否发生变化?如果变化,说明理由;如果不变,试求出其值．

(第19题)

20．在边长都是正整数的三角形中,周长是2009的三角形与周长是2012的三角形哪一种的个数多?说明理由．

(北京市竞赛题)

21．给定n(n＞4)条线段,已知用其中任意的n－1条线段均可作成一个n－1边形．求证:可用其中的某三条线段为边作成一个三角形．

(俄罗斯圣彼得堡市竞赛题)

22．是否存在这样的三角形,其三边之长x,y,z满足x3＋y3＋z3＝(x＋y)(y＋z)(z＋x)?

(俄罗斯数学竞赛题)

例1　(c＋d)　在△ADE和△EPB中有:a＋d＝∠P＋b,在△BCF和△PAF中有:b＋c＝∠P＋a,两式相加,得c＋d＝2∠P,∠P＝(c＋d)．

例2　A　∠A＋∠B＝(2m＋1)t＝(m＋2)t＋(m－1)t．因m＞1,t＞0,故∠A＋∠B＞∠C,∠C＜90°,∠C是△ABC最大的角．

例3　是．设三个角A≥B≥C,若不是几乎等腰,则A－B,B－C＞15°,A－C＞30°,由180°＝A＋B＋C＜A＋A－15°＋A－30°＝3A－45°,A＞75°,|A－90°|＜15°,故是几乎直角．

例4　(1)分a＝1,2,…,7情形讨论,又a＋b＞c,列表如右:

(2)不妨设a＜b＜c,则

得10＜c＜15．

因c为整数,故c＝11,12,13,14．

当c＝11时,b＝10,a＝9．当c＝12时,b＝11,a＝7;b＝10,a＝8．当c＝13时,b＝12,a＝5;b＝11,a＝6;b＝10,a＝7;b＝9,a＝8．当c＝14时,b＝13,a＝3;b＝12,a＝4;b＝11,a＝5;b＝10,a＝6;b＝9,a＝7．

例7　(1)略

(2)题图②可分解为两个“规形”,

∵BE,CE分别平分∠ABD,∠ACD,

∴可设∠ABE＝∠DBE＝x,∠ACE＝∠DCE＝y．

由(1)得∠E＝∠A＋x＋y,　①

∠D＝∠E＋x＋y,　②

②－①得∠D－∠E＝∠E－∠A,

∴∠E＝

拓展:略

1．108　2．7　|PA－PB|≤AB,当A,B,P在一条直线上时,等号成立．

3．两　等腰　最长边介于周长的和之间,故最长边可取整数12,11,10,9,又三边长都是质数,则最长边为11,另两边的和为14．其中符合条件的有11＋11＋3＝25,7＋7＋11＝25．

4．(1)(3)(4)　对于(3)(4),设a≥b≥c,则,|c－a|＋1分别大于或等于其余两边,只需说明＋,|a－b|＋1＋|b－c|＋1＞|c－a|＋1．

9．B

10．D　当5是最长边时,有(2,4,5),(4,4,5),(3,4,5),(3,3,5);当5是次长边时,有(2,5,6),(3,5,6),(3,5,7),(4,5,6),(4,5,7),(4,5,8),共10个．

11．B　只有当a2＝2,a3＝a1＋a2＝3,a4＝a2＋a3＝5,a5＝a3＋a4＝8,a6＝a4＋a5＝13时,7条线段中的任意三条都不能构成三角形．

12．C　参见例4．

13．设长度为4和12的高分别是边a,b上的,边c上的高为h,△ABC的面积为S,则a＝,b＝,c＝ ,由,得3＜h＜6,故h＝5．

14．因所有线段的和为45,故最大的等边三角形边长为15．依据周长列表如下:

15．设∠CAB＝2α,∠ABC＝2β,∠BCA＝2γ,则α＋β＋γ＝90°．因为∠BID＝α＋β,∠HIC＝90°－γ＝α＋β,故∠BID＝∠HIC．

16．不变化,∠C＝90°－∠AOB＝45°为一定值．

17．这一问题等价于:在1,2,…,2004中选k－1个数,使其中任何3个数都不能成为一个三角形三边(互不相等)的长．试问:满足这一条件的k的最大值是多少?

符合上述条件的数组中,当k＝4时,最小的3个数就是1,2,3,由此可不断扩大该数组:只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和．所以,为使k达到最大,可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和,于是得到:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597…①共16个数,对符合上述条件的任一数组a1,a2,…,an,显然,总有ai大于或等于①中的第i个数,所以,n≤16≤k－1,从而,k的最小值为17．

18．(1)如:三边长为6,10,15的三角形为一个玲珑三角形．

(2)设玲珑三角形的三边长为整数a,b,c,面积为S,三条边上的高分别为ha,hb,hc．

不妨设ha＝hb＋hc．

由关系式aha＝bhb＝chc＝2S,得

⇒bc－(ac＋ab)＝0

⇒a2＋b2＋c2

＝a2＋b2＋c2＋2[bc－(ac＋ab)]

＝(b＋c－a)2．

从而,a2＋b2＋c2为完全平方数．

19．(1)略　(2)∠DEC＝100°　(3)原式的值不变,为2．

20．两种三角形的个数相等．

设正整数k≥n≥m是周长为2009的三角形边长．则正整数k＋1,n＋1,m＋1是周长为2012的三角形边长．这样的三角形存在,因为由m＋n＞k⇒(m＋1)＋(n＋1)＞(k＋1),即每个周长为2009的三角形都有周长为2012的三角形与之对应．

下面证明:每个周长为2012的三角形都有周长为2009的三角形与之对应．

设K≥N≥M是周长为2012的三角形边长．

(1)其所有边长大于1．

事实上,三角形的每条边大于另两边的差,若某边长为1,则另外两条边应当是彼此相等的,并且在这种情形下三角形的周长是奇数．

(2)M＋N＞K．

由此得(M－1)＋(N－1)≥(K－1)．

当等式成立时,得M＋N＋K＝2K＋1(奇数),它等于2012,这意味着数M－1,N－1,K－1中两个较小数的和大于第三个,且这些数是某个三角形的三边长．

故周长是2009的三角形与周长是2012的三角形的个数一样多．

21．设a1,a2,a3,…,an－1,an表示题设的n条线段,不妨设a1≤a2≤a3≤…≤an－1≤an,

假设以所给的n条线段中任三条为边均不能构成三角形,则有

a3≥a1＋a2,a4≥a2＋a3,a5≥a3＋a4,…,an≥an－2＋an－1,

相加得　an≥an－2＋an－3＋an－4＋…＋a3＋2a2＋a1,

更有　an≥an－2＋an－3＋an－4＋…＋a3＋a2＋a1,

这表明,以an,an－2,an－3,an－4,…,a3,a2,a1这n－1条线段为边不能构成一个n－1边形,与已知矛盾!因此,可用其中的某三条线段为边作成一个三角形．

22．不存在

假设存在这样的三角形,不妨设x≥y≥z,则y＋z＞x．

∴(x＋y)(z＋x)(y＋z)＞(x＋y)(z＋x)x

＝x3＋x2y＋x2z＋xyz

＞x3＋x2y＋x2z

≥x3＋y3＋z3．

这与题设矛盾．