精英数学大视野·七年级2020：不等式的应用

自然界的许多现象都与斐波那契数列有关．如左图所示,树枝的排序也是斐波那契数列．向日葵的花盘上,种子的排列组成了两组嵌在一起的螺旋线,它们一般是34根、55根、89根、144根．

知能概述

现实世界中不等关系是普遍存在的,通过求出或确定某个量的变化范围或变化趋势,从而对所研究的问题有一个较清晰的估算或认识,这就是不等分析的思想．

不等式应用主要表现在:比较数的大小;求代数式的取值范围;求代数式的最值;列不等式解实际问题等．

适当放缩、有效夹逼是运用不等式解相关问题的常用技巧．

问题解决

例1　若a,b满足3a2＋5|b|＝7,s＝2a2－3|b|,则s的取值范围是_________．

(广西壮族自治区竞赛题)

解题思路　用s的代数式表示a2,|b|,由a2≥0,|b|≥0建立关于s的不等式组．

数学的作用比以往任何时期都大,而且在将来将起更大的作用,对学生的数学要求随时间而剧烈地增加．

——《为新世纪学习数学》

柯西不等式

柯西(1789—1857),著名的勤奋且多产的法国数学家,在研究数学分析中的“流数”问题时曾得到如下的一个重要不等式,史称“柯西不等式”．

例2　设a,b是正整数,且满足56≤a＋b≤59,0.9＜≤0．91,则b2－a2等于(　)．

A．171　B．177　C．180　D．182

(全国初中数学竞赛题)

解题思路　通过放缩,化二元一次不等式组为一元一次不等式组是解本例的关键．

例3　已知a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7是彼此互不相等的正整数,它们的和等于159,求其中最小数a1的最大值．

(北京市竞赛题)

解题思路　设a1＜a2＜a3＜…＜a7,则a1＋a2＋a3＋…＋a7＝159,解题的关键是怎样把多元等式转化为只含a1的不等式,这里要用到整数的如下性质:设a,b为整数,若a＜b,则a＋1≤b．

例4　有甲,乙两台计算机,甲计算机完成一项计算任务需要8个小时;乙计算机完成同样计算任务需要16小时;如果甲和乙同时计算,由于存在数据交换等方面的原因,它们的计算速度都会降低九分之一．已知甲计算机工作每小时耗电3度,乙计算机工作每小时耗电1度．而电表中仅有20度电,问:完成该项计算任务最少需要多少小时?

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

解题思路　设乙单独工作x小时,甲单独工作y小时,甲和乙两台计算机同时工作z小时,完成此项计算任务需要时间为(x＋y＋z)小时,则x,y和z满足．

怎样求解混合关系式?解方程①,代入不等式②及(x＋y＋z)．

在解一些涉及多个变元的数学问题时,题设条件并没有给出变元的大小顺序,若给它们假设一个大小顺序,并不影响命题的成立,且给问题的解决增加了一个可供使用的条件,从而降低问题的难度,这种方法叫排序法．

例5　货轮上卸下若干只箱子,其总重量为10吨,每只箱子的重量不超过1吨,为了保证能把这些箱子一次性运走,问:至少需要多少辆载重3吨的汽车?

(江苏省竞赛题)

分析与解　因为每只箱子的重量不超过1吨,所以每辆汽车一次可运走的箱子重量不会少于2吨,否则还可再放一只箱子．设共需n辆汽车,它们运走的重量依次为a1,a2,…,an,则2≤ai≤3(i＝1,2,…,n)且箱子总重量为a1＋a2＋…＋an＝10,将各个不等式相加,得

即2n≤10≤3n,解得≤n≤5,正整数n＝4或5．

但是4辆汽车是不够的,比如,有13只箱子,每只箱子的重量为吨,而3×＜3,4×＞3,即每辆车只能运走3只箱子,4辆汽车只能运走12只箱子,还剩一只箱子,故至少需5辆汽车．

例6　在边防沙漠地带,巡逻车每天行驶200千米,每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油．现有5辆巡逻车同时从驻地A出发,完成任务后再沿原路返回驻地,为了让其中3辆尽可能向更远的地方巡逻,然后一起返回,甲、乙两车行至途中B处后,仅留足自己返回驻地所必需的汽油,将多余的汽油留给另外3辆使用,问其他3辆车可行进的最远距离是多少千米?

(河北省竞赛题)

分析　解答本例的关键是列出汽车行驶路程的关系式,运用不等式分析量的取值范围,进而求最大值．

解　设5辆巡逻车行到途中B处时用了x天,从B到最远处用y天,则有2[3(x＋y)＋2x]＝14×5,即5x＋3y＝35．

又由题意,得x＞0,y＞0,且14×5－(5＋2)x≤14×3,即x≥4,

从而问题即是在约束条件下,求y的最大值,解得y＝5．

∴其他3辆车可行进的最远距离是:200×(4＋5)＝1800(千米)．

例7　已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量和成本如下表:

某食品公司欲用这三种食物混合配制100千克食品,要求配制成的食品中至少含36000单位的维生素A和40000单位的维生素B．

方程表示相等关系,不等式表示不等关系,二者是对立统一的．在解决许多相等问题时,若能充分挖掘问题中的有用的不等关系,则能降低问题的难度．

一千七百多年前,著名数学家刘徽在他的名著《九章算术注》的序文里指出,数学的功用可以达到“虽幽遐诡伏,靡所不入”．

解例7的关键是怎样解含相等关系的多元一次不等式组,用到代入消元、放缩等方法技巧．

(1)配制这100千克食品,至少要用甲种食物多少千克?丙种食物至多能用多少千克?

(2)若限定甲种食物用50千克,则配制这100千克食品的总成本S的取值范围是多少?

(四川省竞赛题)

解(1)设配制这100千克食品中,至少要用甲种食物x千克、乙种食物y千克,丙种食物至多能用z千克．

所以至少要用甲种食物35千克,乙种食物20千克,丙种食物至多能用45千克．

(2)由于限定甲种食物用50千克,则乙、丙两种食物之和为50．

所以当乙种食物y＝20时,S最小＝50×6＋20×4＋30×3＝470;当乙种食物y＝50时,S最大＝50×6＋50×4＋0×3＝500．所以配制这100千克食品的总成本S的取值范围大于或等于470而且小于或等于500．

放缩法

放缩法,即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小,从而得到相应的不等式,以达到解决问题的目的．

放缩法的实质是构造不等式,通过缩小范围逼近求解．放缩法体现了化“相等”为“不等”,以“不等”求“相等”的策略和思想．

例8　求最小的正整数n,使得存在n个不同的正整数s1,s2,…,sn满足

(国际数学奥林匹克试题)

解题思路　面对多元不定方程,要求“最小的正整数n”,考虑连续正整数,通过放缩化相等为不等．

数学是科学的皇后,数学是科学的女仆;数学是推动生产发展的知识杠杆,数学是人类思想革命的有力武器．

数学的力量是潜在的,数学的作用是无形的．

如何把握放缩的“度”,使得放缩“恰到好处”,是运用放缩法解题的关键,放缩的技巧和方法有:

(1)添加或舍去一些项;

(2)把分子放大或缩小;(3)运用常用结论．

1．已知a,b,x,y都为实数,且,|x－4|＝3y－3－b2,则a＋b＋x＋y的值为________．

(安徽师大附中自主招生试题)

2．已知a＋b＋c＝0,a＞b＞c,则的取值范围是________．

(江苏省竞赛题)

3．按如图所示的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487”为一次操作．如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是_________．

(第3题)

(全国初中数学竞赛题)

4．100名少年运动员胸前的号码分别是1,2,3,…,99,100,选出其中的k名运动员,使得他们的号码数之和等于2008,那么k的最大值是_________．

(少年数学精英邀请赛试题)

5．设x1,x2,x3,x4,x5是正整数,任取其中四个求和后得到的结果是44,45,46,47,则这五个正整数的和是________．

(清华大学自主招生试题)

6．设a,b为正实数,m为正整数,且满足则m的值是_________．

(四川省竞赛题)

7．已知正数a,b,c满足则(　)．

A．a＜b＜c　B．a＜c＜b　C．b＜c＜a　D．c＜a＜b

(“希望杯”邀请赛试题)

8．某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的加工任务,于是安排15名工人每人每天加工a个零件(a为整数),开工若干天后,其中3人外出培训,若剩下的工人每人每天多加工2个零件,则不能按期完成这次任务,由此可知a的值至少为(　)．

A．10　B．9　C．8　D．7

(无锡市中考题)

9．已知a,b,c,d都是整数,且a＜2b,b＜3c,c＜4d,d＜50,那么,a的最大值是(　)．

A．1157　B．1167　C．1191　D．1199

(“希望杯”邀请赛试题)

10．宜宾市某化工厂,现有A种原料52千克,B种原料64千克,现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克,B种原料2千克;生产1件乙种产品需要A种原料2千克,B种原料4千克,则生产方案的种数为(　)

A．4　B．5　C．6　D．7

(四川省宜宾市中考题)

11．某班同学参加社区公益活动——收集废旧电池,其中,甲组同学平均每人收集17个,乙组同学平均每人收集20个,丙组同学平均每人收集21个．若这三个小组共收集了233个废旧电池,则这三个小组共有学生(　)人．

A．12　B．13　C．14　D．15

(天津市竞赛题)

12．下表是小洁打算在某电信公司购买一支MAT手机与搭配一个门号的两种方案．此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下:若通话费超过月租费,只收通话费;若通话费不超过月租费,只收月租费．若小洁每个月的通话费均为x元,x为400到600之间的整数,则在不考虑其他费用并使用两年的情况下,要使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜,x至少为(　)．

(第12题)

A．500　B．516　C．517　D．600

(台湾地区中考题)

13．设x1,x2,…,x7为自然数,且x1＜x2＜…＜x6＜x7,又x1＋x2＋…＋x7＝159,求x1＋x2＋x3的最大值．

(安徽省竞赛题)

14．请回答:能否表示为3个互异的正整数的倒数和?能否表示为3个互异的完全平方数的倒数和?如果能,请给出一个例子;如果不能,请说明理由．

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

15．将38个苹果放到一些盒子中,除去几个放有10个苹果的盒子外,其余每个盒子放6个,一共有多少个盒子?

(日本数学奥林匹克试题)

16．加工某型号零件,有三道工序,要求先加工第一道工序,然后加工第二道工序,最后加工第三道工序,其工作量分别是2a,a,4a．甲、乙两人同时加工该型号的一批零件,单位工作时间内甲完成的工作量是5b,乙完成的工作量是4b,当甲做完第m(m＞2)个零件的第二道工序时,乙在做第n个零件的第一道工序,问此时乙最少加工完了多少个零件?(结果用数字表示)

(“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题)

17．是否存在正整数a,b,c,使得(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝4242?

(俄罗斯圣彼得堡数学奥林匹克试题)

18．数学与体育

400米跑道是怎样划分的?如何用数学来证明足球比赛对上场人数的规定?在多数人眼里,体育与数学往往只能擦肩而过,但数学与体育实际上却联系密切．

(1)在一次球类比赛中有八个队参赛,每两队要进行一场比赛,胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分．若一个队要确保进入前四名(即积分至少要超过其他四个队),问该队的积分最少是多少?

(四川省竞赛题)

(2)有A,B,C,D四个排球队进行单循环赛,记分规则是:两队比分为3∶0或3∶1时,胜队积3分,负队积0分;比分为3∶2时,胜队积2分,负队积1分．比赛结果是A队和B队并列第一,C队和D队分别获得第三和第四．问:四个队的总积分有几种不同的情况?并对每种情况,列出各队每场的积分．

(国际城市邀请赛试题)

19．试求满足下列方程式所有的正整数

(青少年国际城市数学邀请赛试题)

例1

例2　B　由条件得0．9b＋b＜59,0．91b＋b＞56,则29＜b＜32,b＝30,31．当b＝30时,由0．9b＜a≤0．91b,得27＜a＜28,这样的正整数a不存在;当b＝31时,由0．9b＜a≤0．91b,得27＜a＜29,故a＝28,b2－a2＝177．

例3　设a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7,因a1,a2,…,a7为正整数,故a1＋1≤a2,a1＋2≤a3,a1＋3≤a4,a1＋4≤a5,a1＋5≤a6,a1＋6≤a7,上面不等式相加,得7a1＋21≤159,a1≤19,故a1的最大值为19．

上式表示:z取值越大,(x＋y＋z)取值越小．

从④可知,当y＝0时,z取最大值3,所以x＋y＋z≥11,从③,y＝0,z＝3,x＝8,得到:x＋y＋z＝11．

例8　假设正整数n满足条件,且设s1＜s2＜…＜sn．

则si≥i＋1(i＝1,2,…,n)．

注意到,

从而,n≥39．

下面举例说明n＝39满足条件．

取39个不同的正整数:2,3,…,33,35,36,…,40,67,

其满足题设等式．

综上,n的最小值为39．

5．57　44＋44＋45＋46＋47≤4(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)≤44＋45＋46＋47＋47．即226≤4(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)≤229．

8．B　设原计划m天完成,由15ma＝2160得am＝144　①,设开工n天后有3人外出,则15an＋(15－3)×(a＋2)(m－n)＜2160　②,把①代入②,得a(n－m)＜8(n－m),∴a＞8．

9．B　a≤2b－1,b≤3c－1,c≤4d－1,d≤50－1＝49．　10．B

11．A　设甲、乙、丙三个小组的人数分别为x,y,z,则17x＋20y＋21z＝233,因为233＝17x＋20y＋21z＞17(x＋y＋z),所以,又因为233＝17x＋20y＋21z＜21(x＋y＋z),所以x＋y＋,于是,得x＋y＋z＝12或x＋y＋z＝13．

因为m,n均为正整数,所以5n＝4m＋2．

于是n＝4k＋2,m＝5k＋2(k＝0,1,2,…)．

由题意k≠0,当k＝1时,n＝6．

因此,乙最少完成了5个零件．

17．4242＝42×101,101是素数．不妨设101|(a＋b),则a＋b≥101,

但(b＋c)(c＋a)＝c2＋ab＋c(a＋b)＞a＋b≥101,矛盾．因此不存在满足条件的a,b,c．

18．(1)总共得×2＝56分．

如果积分前五名的队彼此战平,且分别战胜积分后三名的队,而积分后三名的队彼此战平,那么,就会有五个队各积10分,其余三个队各积2分．因此,积10分不能确保进入前四名．

若某队积分为11分,但该队是第五名,则积分前五名的队得分总和大于或等于55．从而,积分后三名的队得分总和至多为1．然而,这三个队彼此之间进行的三场比赛得分总和应为6,导出矛盾．

故积11分一定能够确保进入前四名．

(2)按照记分规则,一场比赛产生3分,四队单循环比赛,有6场比赛,共产生18分．设A,B,C,D四支排球队总积分分别为x,x,y,z,由题意可知:

由(*),可得:18＝2x＋y＋z≤2x＋x－1＋x－2＝4x－3,得到:x≥6;

由第1个方程可得:y＋z是偶数,且C队和D队之间必须进行一场比赛,所以,y＋z≥4,则有2x＋4≤2x＋y＋z＝18,得到:x＜7．

①当x＝7时,y＝3,z＝1,

②当x＝6时,y＝4,z＝2或y＝5,z＝1．

所以,四个队的总积分有3种不同的情况:

各队每场积分和总积分

注:横排表示各场积分和总积分．

当b＝3时,c＝8;

当b＝4时,c＝5,均是符合题意的解．

综上所述,原方程的所有正整数解为(2,4,15)(及其排列,共6组解),(2,5,9)(及其排列,共6组解),(2,6,7)(及其排列,共6组解),(3,3,8)(及其排列,共3组解)以及(3,4,5)(以及排列,共6组解),共有27组解．