七年级数学学习：一次方程组的应用

1514年,德国画家丢勒创作了一幅铜版画《忧伤》,画面右上方挂着一块4阶幻方,第四行中间两数组成“1514”,正是画家创作的年代．该画反映了人们对没有充分的知识与智慧去探索自然界奥秘的深深的“忧伤”．

知能概述

一次方程组是刻画现实数量关系的有效模型,在代数式的化简求值、解实际问题等方面有广泛的应用．

一些代数式化简求值问题,运用相关概念、性质、对题意的理解等,常可转化为解方程组或利用方程组探寻字母间的关系．

对于含有多个未知量的问题,运用方程组求解往往比只设一个未知数建立一元一次方程求解简单．

问题解决

例1　设x,y满足x＋3y＋|3x－y|＝19,2x＋y＝6,则x＝_________,y＝_________．

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路　两等式联立可得关于x,y的方程组,解题的关键是如何脱去绝对值符号．

货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本．

——波利亚

五猴分桃

20世纪80年代初,著名物理学家李政道向中国科技大学少年班的小学员们给出下面一个问题:

今有桃若干,将它们分成五等份时,正好多一个,取出其中一份又一个,将余下部分再分成五等份时,又恰好多一个……如此下去,到第五次分时,仍是五等份且多一个．试问:桃子至少有多少个?

例2　已知x,y,z满足,则的值为(　)．

(全国初中数学联赛题)

解题思路　将连等式拆开运用或引入参数．

例3　某项工程,如果由甲、乙两队承包,2天完成,需付180000元;由乙、丙两队承包,3天完成,需付150000元;由甲、丙两队承包,2天完成,需付160000元．现在该项工程由一个队单独承包,在保证一周完成的前提下,哪个队的承包费用最少?

(全国初中数学竞赛题)

解题思路　求出每队工作效率及每天需支付每队的费用,通过计算比较,进行决策判断．

例4　如图,长方形ABCD中,放置9个形状、大小都相同的小长方形,求图中阴影部分的面积．

(《时代学习报》数学文化节试题)

解题思路　从求出小长方形的长、宽入手．

在信息化社会,我们时刻面对着汹涌而来的各种数字、数据,对数据进行恰当分析处理,发现规律,作出判断,是现代人必备的基本素养．

20世纪90年代,美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝,曾写出一本畅销全球的书——《数字化生存》．他说:“在广袤浩瀚的宇宙中,数字化生存能使每个人变得更容易接近,让弱小孤寂者也能发出他们的心声．”

例5　如图①,三个圆两两相交成七个部分,将数字1,2,2,4,4,8,8分别填入这七个部分,使得每个圆内部四个数字之积均相等(此值记为P)．如图②的填法满足条件,此时,P＝64．对满足上述要求的所有填法,求P的最大值与最小值．

(上海市竞赛题)

解题思路　引入多个字母,建立相应字母的方程组,整体处理、恰当放缩是解题的关键．

例6　购买铅笔7支,作业本3本,圆珠笔1支共需30元;购买铅笔10支,作业本4本,圆珠笔1支共需40元．问购买铅笔11支,作业本5本,圆珠笔2支共需多少元?

(“希望杯”邀请赛试题)

分析　设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为a,b,c,则需求11a＋5b＋2c的值．

解法1　原方程变形为解得

∴11a＋5b＋2c＝11a＋5(10－3a)＋2×2a＝50．

解法2　把11a＋5b＋2c直接用7a＋3b＋c,10a＋4b＋c的式子表示．

11a＋5b＋2c＝3×(7a＋3b＋c)－(10a＋4b＋c)＝3×30－40＝50．

解法3　11a＋5b＋2c＝(10a＋4b＋c)＋(a＋b＋c)＝40＋a＋b＋c,

需求出a＋b＋c,原方程变形为

①×3－②×2,得a＋b＋c＝3×30－40×2＝10,

∴11a＋5b＋2c＝40＋10＝50．

当方程的个数少于未知数的个数时,未知数的值不能唯一确定,可视某个未知数为常量,实现变量与常量的互相转化,或视某些量的和为整体,促使问题的解决．

解法1　具有一般性,解法2从整体思考．

解数学问题需把题目给出的条件进行“组合”,组合的方式很多,“线性组合”就是最简单的方式,解法2就是运用线性组合解决问题的．

例7　龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格．这些笔中每两种笔(每种各一支)装一盒,它们的价格分别是250元、290元、320元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元．铅笔比彩笔便宜30元,签字笔比圆珠笔贵,荧光笔比签字笔贵,求出每种笔的价格．

(汉城国际数学竞赛题)

解　设圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔、荧光笔的价格分别为a,b,c,d,e,则b－c＝30,e＞d＞a．

因为在题目中所给价格相差30元的有290,320;340,370;360,390,又由b－c＝30,e＞d＞a,得解得

即圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔、荧光笔的价格分别是180元、140元、110元、230元、250元．

完美长方形

1925年,数学家莫伦找到了一种把长方形分割成大小不同的正方形的方法,且给出了两个长方形的分割作为例子,这种长方形被后人称为“完美长方形”．

例8　如图,十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大长方形(其中有三个小正方形的边长已标出字母x,y,z)．试求满足上述条件的长方形面积的最小值．

解题思路　洞悉图形内涵,挖掘隐含信息,建立关于x,y,z的方程组．

1．如图,已知长方形ABCD恰好可分成七个形状大小相同的小长方形．如果小长方形的面积是3,则长方形ABCD的周长是_________．

(“宗沪杯”数学竞赛题)

(第1题)

2．已知x＋2y－z＝8,2x－y＋z＝18,则8x＋y＋z＝_________．

(重庆市竞赛题)

例7的困难不在于解方程,而在于对题意的理解与分析．解题的突破口在于:彩笔与圆珠笔谁贵?怎样运用条件“铅笔比彩笔便宜30元”?

数学发展的历史始终贯穿两条主线:数学知识的发展和思想方法的创新．数学思想方法对数学知识有巨大的凝聚力,是联系知识的纽带,是实现知识向能力转换的桥梁．

3．若有理数,则a＋b＝________．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景,甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成,乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成,丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花,3750朵紫花,则黄花一共用了________朵．

(重庆市中考题)

5．江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用2台抽水机抽水,40分钟恰可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟恰可抽完．如果要在10分钟抽完水,那么至少需要抽水机_________台．

(全国初中数学联赛题)

6．有一个正在匀速向上移动的自动扶梯,旅客A从其顶端往下匀速行至其底端,共走了60级,B从其底端往上匀速行至其顶端,共走了30级(扶梯行驶,两人也在梯上行走,且每次只跨1级),且A的速度(即单位时间所走的级数)是B的速度的3倍,那么自动扶梯露在外面的级数是_______．

(“五羊杯”竞赛题)

7．小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶,小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下:

则12:00时看到的两位数是(　)．

A．24　B．42　C．51　D．15

(湖北省恩施中考题)

8．满足式子|x－5|＋4|y＋2|＝10的整数对(x,y)有(　)对．

A．4　B．8　C．10　D．16

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

9．已知实数a,b,c满足2a＋13b＋3c＝90,3a＋9b＋c＝72,则＝(　)．

A．2　B．1　C．0　D．－1

(全国初中数学竞赛题)

10．如图,三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等,图①、②所示的两个天平处于平衡状态,要使图③中的天平也保持平衡,则需在它的右盘中放置(　)．

(第10题)

A．3个球　B．4个球　C．5个球　D．6个球

(湖北省黄冈市竞赛题)

11．如图,小明家的住房平面图呈长方形,被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长,则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为(　)．

A．①②　B．②③

C．①③　D．①②③

(第11题)

(浙江省宁波市中考题)

12．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度,首先按图①方式放置,再交换两木块的位置,按图②方式放置．测量的数据如图,则桌子的高度是(　)．

A．73cm　B．74cm　C．75cm　D．76cm

(英国中学生竞赛题)

(第12题)

(第13题)

13．如图,正方形中的每个小图形表示一个数字,相同的图形表示相同的数字,不同的图形表示不同的数字,正方形外的数字表示该行或该列的数字的和,求x,y的值．

(“希望杯”邀请赛试题)

14．甲、乙两班学生同时从学校A出发去距离学校75千米的军营B军训,甲班学生步行速度为4千米/时,乙班学生步行速度为5千米/时．学校有一辆汽车,该车空车速度为40千米/时,载人时的速度为20千米/时,且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生,问:他们至少需要多少时间才能到达?

(湖南省长郡中学自主招生试题)

15．有理数a,b,c,d,e满足a＜b＜c＜d＜e,且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32,36,37,最大的两个数是51,48,试求e的所有可能值．

(意大利数学奥林匹克试题)

16．甲、乙、丙三人共解出100道数学题,每人都解出了其中60题．将其中只有1人解出的题叫作难题,3人都解出的题叫作容易题．试问:难题多还是容易题多?多的比少的多几道题?

(江苏省竞赛题)

17．如图,乙地是甲、丙两地的中点,A从甲地,B从丙地,C,D从乙地分别沿图示的方向同时出发．若A出发后70分钟时遇到C,84分钟时遇到B,140分钟时追上D,求B出发后多久遇到D?多久追上C?

(第17题)

(“希望杯”邀请赛试题)

18．(1)6个篮子中装着李子、苹果和梨子,每个篮子中的李子个数等于另外5个篮子中的苹果总个数,每个篮子中的苹果个数等于另外5个篮子中的梨子总个数．求证:6个篮子中所有水果的总个数是31的倍数．

(2)2010只货船从南美运送香蕉、柠檬及菠萝去俄罗斯．已知每只船上香蕉的根数等于其他所有船上柠檬的总个数,而每只船上柠檬的个数等于其他所有船上菠萝的总个数．求证:所有船上所有水果的总个数能被31整除．

(环球城市数学奥林匹克试题)

∴S阴影＝22×(7＋3×3)－9×10×3＝82．

例5　如图①,设a～g表示1,2,2,4,4,8,8的一个排列,且使图①的填法满足条件．

则P＝abce＝abdf＝acdg．

注意到,abcdefg＝1×2×2×4×4×8×8＝212．

∴P3＝a3b2c2d2efg＝212a2bcd,

(例5)

又P3为立方数,则a2bcd也应为立方数,而a2bcd为2的正整数次幂,且24＝12×2×2×4≤a2bcd≤82×8×4×4＝213,得26≤a2bcd≤212．

图②、图③分别为a2bcd＝26和212的填法,

故

例8　如图,由三个小正方形边长x,y,z可分别表示出其余正方形边长,得

消去z得18x＝49y,

∵(18,49)＝1,∴x＝49,y＝18是最小的正整数解,于是z＝38．

从而长方形面积的最小值为593×422＝250246．

8．C　由|y＋2|≤2得|y＋2|＝0,1,2,再进一步讨论．

9．B　原等式可变形为2(a＋2b)＋3(3b＋c)＝90,3(a＋2b)＋(3b＋c)＝72,得a＋2b＝18,3b＋c＝18．

10．C

11．A　如图,设原住房平面图长方形的周长为2l,①的长和宽分别为a,b,②、③的边长分别为c,d,

根据题意,得

(第11题)

①－②,得a－c＝c－b⇒a＋b＝2c．

将a＋b＝2c代入③,得4c＝l⇒2c＝l(定值)．

将2c＝l代入a＋b＝2c,得a＋b＝l⇒2(a＋b)＝l(定值),

而由已列方程组得不到d,

∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②．故选A．

12．C

13．易知y＝28,设第一行所表示的数依次是a,b,c,b,第2行第4列的数字是d,则有

(第13题)

②－③,得c＝b＋5　⑥

⑥代入④,得a＋b＋(b＋5)＋b＝28,即a＋3b＝23,故x＝23．

14．∵两班同时到达用时最少,

∴如图所示,设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行,乘车xkm,汽车空车返回至C处,乙班同学于C处上车,此时已步行了ykm．

(第14题)

所以至少需要6小时才能到达．

15．由题意知32＝a＋b,36＝a＋c,48＝c＋e,51＝d＋e．

由上述式子不难得到c－b＝4,d－c＝3,d－b＝7,故a＋d＝(a＋b)＋(d－b)＝39．

因此,37一定是b＋c,于是,2a＝(a＋b)＋(a＋c)－(b＋c)＝31,

所以,a＝15．5,b＝16．5,c＝20．5,e＝27．5,d＝23．5．

经检验,上述取值满足条件,故e只有一种可能取值27．5．

16．设甲、乙、丙三人分别解出的难题数为y1,y2,y3,y＝y1＋y2＋y3,3人都解出的“容易题”为x道,恰有2人解出的题分别为a,b,c道,则

得y－x＝20,即难题比容易题多20道．

17．设甲、丙两地间的距离为2s,A,B,C,D的速度分别为a,b,c,d,依题意得