七年级2020数学教材第十讲：一元一次方程

2023-08-13 理论教育版权反馈

【摘要】：花剌子米(约783—约850)是阿拉伯最著名的数学家,《印度数字算术》《还原与对消的科学》是他的两本专著．“还原”是指使方程平衡而进行的移项,在拉丁文中被译成“代数”,代数一词源于此．左图是《还原与对消》今译本的封面,该书论述了6种类型的一元二次方程的求解方法．知能概述方程是刻画现实世界的有效数学模型,一元一次方程是方程中最基础的部分,其基本内容包括:解方程、方程的解及其讨论．当方程中的系数是用字

花剌子米(约783—约850)是阿拉伯最著名的数学家,《印度数字算术》《还原与对消的科学》是他的两本专著．“还原”是指使方程平衡而进行的移项,在拉丁文中被译成“代数”,代数一词源于此．左图是《还原与对消》今译本的封面,该书论述了6种类型的一元二次方程的求解方法．

知能概述

方程是刻画现实世界的有效数学模型,一元一次方程是方程中最基础的部分,其基本内容包括:解方程、方程的解及其讨论．

当方程中的系数是用字母表示时,这样的方程叫含字母系数的方程,字母系数决定方程解的个数．

我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程．

解字母系数方程、绝对值方程,常用到分类讨论法．

问题解决

例1　已知关于x的方程和＝1有相同的解,那么这个解是_________．

(北京市“迎春杯”竞赛题)

解题思路　建立关于a的方程,解方程,求出a的值．

例2　若k为整数,则使得方程(k－1999)x＝2001－2000x的解也是整数的k值有(　)．

A．4个　B．8个　C．12个　D．16个

(“希望杯”邀请赛试题)

我们需要数学,我们欣赏数学．

——陈省身

关于方程的欣赏

欣赏方程中的数学本质——方程是基于“式”的运算;

欣赏方程中的理性精神——方程是探寻“未知”的绝佳思维模式;

欣赏方程中深刻的数学模型——方程是“好”数学典范,缘于它的广泛应用;

欣赏方程中思维内在的和谐——方程是在还原与对消中寻找不变量．

含字母系数的方程,既可以讨论解的个数,又可以探究解的特征．如满足怎样的条件解是整数、解是正数或负数等,常用到整数基本知识及解不等式．

解题思路　把x用含k的式子表示,结合整除的知识确定k值的个数．

例3　解下列方程:

(1)

(广西壮族自治区竞赛题)

(2)

(“希望杯”邀请赛试题)

(3)

(北京市“迎春杯”竞赛题)

解题思路　解一元一次方程,既要能按部就班(严格按步骤)解方程,又要能随机应变(打乱步骤)解方程．对于(1),视为整体;对于(2),先去括号;对于(3),化小数为整数,均可获得简解．

例4　a为何值时,方程有无数多个解?无解?

解题思路　化简原方程,利用方程ax＝b各种解的情形所应满足的条件建立a的关系式．

例5　解下列方程:

(1)|5x＋6|＝6x－5;

(重庆市竞赛题)

(2)|x－|3x＋1||＝4;

(天津市竞赛题)

(3)|x－2|＋|x－3|＝1．

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

在数学学习中,既要注意解题技巧的积累,又要关注一般性方法的掌握,这样既能避免小题大做,又可避免弄巧成拙．

对于一般解题步骤与解题技巧来说,前者是通法,后者是技巧;前者是基础,后者是机智．只有真正掌握了一般步骤,才能“熟能生巧”．

方程ax＝b的解由a,b的取值范围确定,具体情形如下:

(1)当a≠0时,原方程有唯一解,x＝;

(2)当a＝0且b＝0时,原方程有无穷多个解;

(3)当a＝0且b≠0时,原方程无解．

解题思路　解绝对值方程的基本方法有:去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;数形结合,借助于图形的直观性求解,前者是通法,后者是技巧．

对于(3),给出下列不同解法．

解法1　(1)当x＜2时,原方程化为2－x＋3－x＝1,解得x＝2．

由于x＝2不在x＜2的范围内,此时无解．

(2)当2≤x≤3时,原方程化为x－2＋3－x＝1,1＝1,

∴2≤x≤3时,方程成立．

(3)当x＞3时,原方程化为x－2＋x－3＝1,解得x＝3．

由于x＝3不在x＞3的范围内,此时无解．

故原方程的解为2≤x≤3．

解法2　如图,求方程的解,即在数轴上找一点使它到A,B两点的距离的和为1．

显然,当点在A点的左边或B点右边时,这点到A,B两点的距离和大于1,只有当这点在线段AB上(包括A,B两点)符合条件,对应的x值为2≤x≤3．

故原方程的解为2≤x≤3．

例6　设a,b是有理数,且|a|＞0,方程||x－a|－b|＝3有三个不相等的解,求b的值．

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

解　由原方程,得|x－a|－b＝±3,

即|x－a|＝b＋3,　①　|x－a|＝b－3,　②

∵原方程只有三个不相等的解,

∴它的同解方程①、②总共也只有三个不相等的解．

∵b＋3＞b－3≥0,

∴必定使b＋3＞0,b－3＝0,才能符合要求．

故b＝3．

例7　将连续的自然数1～1001按如图的方式排列成一个长方形阵列,用一个正方形框出16个数,要使这个正方形框出的16个数之和分别等于:(1)1988,(2)1991,(3)2000,(4)2080．这是否可能?若不可能,试说明理由;若可能,请写出该方框16个数中的最小数与最大数．

(河北省竞赛题)

分析与解　正方形框出的16个数有规律,引入未知数,建立关于这个未知数的一元一次方程,将问题转化为讨论方程是否存在正整数解．

形如|||ax＋b|＋c|＋d|＝e的方程,含有多层的绝对值,可从外向内逐层去掉绝对值符号,将原方程化为形如|ax＋b|＝cx＋d的方程求解．

解法一称为“零点分段讨论法”,即在每一段上去掉绝对值符号解方程,求出每一段上的解,将它们合并,便得到原方程的全部解．

形如|ax＋b|＝cx＋d的绝对值方程可变形为ax＋b＝±(cx＋d)且cx＋d≥0才是原方程的根,否则必须舍去,故解绝对值方程时应检验．

早在三百多年前法国数学家笛卡儿在《指导思维的法则》一书中提出一个设想:把所有的数学问题转化为代数问题,再把所有代数问题转化为解方程．虽然笛卡儿的设想未能实现,但是也充分说明了方程的重要性．

设框中左上角数字为x,则框中其他各数可表示为:x＋1,x＋2,x＋3,x＋7,x＋8,x＋9,x＋10,x＋14,x＋15,x＋16,x＋17,x＋21,x＋22,x＋23,x＋24,由题意得:x＋(x＋1)＋(x＋2)＋(x＋3)＋…＋x＋24＝1988或1991或2000或2080,当16x＋192＝1988或1991时,x不为正整数,当16x＋192＝2000或2080,解得x＝113或118时,又113÷7＝16…1,即113是第17排第1个数,该框内的最大数为113＋24＝137;118÷7＝16…6,即118是第17排第6个数,故方框不可框得各数之和为2080．

思维品质

思维,简单地说就是想和做．

科学巨匠爱因斯坦曾说:“我们所创造的这个世界,是我们思维的产物,不改变我们的思维,就不可能改变我们的世界．”

思维品质是人的思维的个性特征,主要包括深刻性、灵活性、广阔性、周密性、批判性、独创性等．

例8　已知关于x的方程|x|＝ax＋2只有负数解,求a的取值范围．

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

分析与解　怎样准确理解“只有负数解”,这是解题的关键,需从正负解的情形周密地求出a的取值范围．

当x＜0时,则－x＝ax＋2,(a＋1)x＝－2,由a＋1＞0得a＞－1;

当x＞0时,则x＝ax＋2,(1－a)x＝2,由1－a＞0得a＜1．

故要保证方程|x|＝ax＋2只有负数的解,a的取值范围是a≥1．

1．若(3a＋2b)x2＋ax＋b＝0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,则x＝________．

(“希望杯”邀请赛试题)

2．如果关于x的一元一次方程有无数个解,那么k＝_________．

(北京市竞赛题)

3．使得关于x的方程2(3x－k)＝kx＋2有正整数解的整数k为________．

(“五羊杯”竞赛题)

“道通天地有形外,思入风云变态中．”

改变问题的形式或换一种说法,促使问题由复杂到简单、由陌生到熟悉、由抽象到具体的转化,是解代数问题最基本的思想．

与代数打交道一定会遇到x这个未知量,它是第一个闯入人类思维的,一旦建立起这样的符号体系,代数的研究就进入到了更高的抽象层次．

4．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:

(第4题)

则第5个图形有________颗黑色棋子;第________个图形有2013颗黑色棋子．

(浙江省宁波市中考题)

5．按下面的程序计算,若开始输入的值x为正数,最后输出的结果为656,则满足条件的x的不同值最多有________个．

(第5题)

(浙江省义乌市中考题)

6．已知关于x的方程||x－2|－b|＝a有四个不同的解,则＋的值为________．

(湖北省黄冈市自主招生试题)

7．已知关于x的方程(3a＋8b)x＋7＝0无解,则ab是(　)．

A．正数　B．非正数　C．负数　D．非负数

(海南省竞赛题)

8．若(y2－1)x2＋(y＋1)x＋9＝0是关于x的一元一次方程,则代数式(4x＋y)(2x－y)＋y的值为(　)．

A．54　B．56　C．169　D．171

(“五羊杯”竞赛题)

9．关于x的一元一次方程的解(　)．

A．是一个大于1000的数　B．是一个两位的自然数

C．是一个大于0且小于2的数　D．不存在

(“五羊杯”竞赛题)

10．适合关系式|3x－4|＋|3x＋2|＝6的整数x的值有(　)个．

A．0　B．1

C．2　D．大于2的自然数

(四川省竞赛题)

11．设|xi|＜1(i＝1,2,…,n),若|x1|＋|x2|＋…＋|xn|＝2016＋|x1＋x2＋…＋xn|,则n的最小值为(　)．

A．2018　B．2017　C．2016　D．2015

(北京市数学竞赛题)

12．如果关于x的方程|x＋1|＋|x－1|＝a有实根,那么a的取值范围是(　)．

A．a≥0　B．a＞0

C．a≥1　D．a≥2

(湖北省武汉市竞赛题)

13．解下列方程:

(1)

(“希望杯”邀请赛试题)

(2)

(“创新杯”竞赛题)

(3)

(“希望杯”邀请赛试题)

(4)

(“五羊杯”竞赛题)

14．解下列方程:

(1)|x－5|＋2x＝－5;

(2)|x－2005|＋|2005－x|＝2006;

(莫斯科市竞赛题)

(3)|x－|2x＋1||＝3;

(陕西省西安市竞赛题)

(4)|x＋3|－|x－1|＝x＋1．

(加拿大中学生竞赛题)

15．已知关于x的方程

(1)当a取什么值时,方程无解?

(2)当a取什么值时,方程有无穷多个解?

(3)如果方程的解是－2,那么a的值是多少?

(重庆市竞赛题)

16．始此转化

我们知道有限小数可转化为分数,如,－0．36＝同样,无限循环小数也可转化为分数,如:将2．145145 145…转化为分数,设a＝2．145145145…,两边同乘以1000得1000a＝2145．145145145…,则1000a－a＝999a＝2145－2＝2143,故有a＝2．145145145…＝

(1)依照以上方法,请你将4．14141414…化为分数为________．

(2)依照以上方法,请你将0．1454545…化为分数为________．

(《时代学习报》数学文化节试题)

(3)将乘积化为小数,则小数点后第2014位数字是(　)．

A．0　B．7　C．9　D．1

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

17．将自然数1至2010按图中的方式排列:

(第17题)

如图,用一个长方形框出9个数(3行3列),已知这9个数的和为17991,求这9个数中最小的数．

(世界数学团体锦标赛试题)

18．已知a－b＝7,且ax＋2≠0,若不论x取何值,代数式的值都相等,求a,b的值．

(浙江省湖州市竞赛题)

19．已知有理数a1,a2,…,a2013满足a1＋a2＋…＋a2013＝0,且|a1－2a2|＝|a2－2a3|＝…＝|a2012－2a2013|＝|a2013－2a1|,求证:a1＝a2＝…＝a2013＝0．

(北京大学自主招生试题)

例3　(1)x＝0　(2)x＝90　(3)x＝1

例4　原方程化为0x＝6a－12．

(1)当6a－12＝0,即a＝2时,原方程有无数个解;

(2)当6a－12≠0,即a≠2时,原方程无解．

例5　(1)x＝11　原方程化为5x＋6＝±(6x－5)或分5x＋6≥0、5x＋6＜0讨论．

(2)或原方程化为x－|3x＋1|＝4或x－|3x＋1|＝－4．

3．4或5为大于等于3的整数．

4．18,670

5．4　由5x＋1＝656,得x＝131,由5x＋1＝131,得x＝26,由5x＋1＝26,得x＝5,由5x＋1＝5,得x＝,由5x＋1＝,得x＝－,与题设不符．

故满足条件的x的不同值最多有4个．

6．4　由条件得a＞0,|x－2|＝a＋b,|x－2|＝－a＋b,只有当a＋b＞0且－a＋b＞0时,原方程才有四个解,从而有b＞a＞0．

7．B　8．D

9．C　原方程可化为,即,显然它的解是x＝1．

10．C　由数轴知－2≤3x≤4,x＝0,1．

11．A　设x1,x2,…,xn中,所有非负数的和为a,所有负数的和为b,则a＋b＝2016＋|a－b|．若a≥b,则得b＝1008,因为|xi|＜1,i＝1,2,…,n,所以负数的个数至少有1009个,由a≥b可得非负数的个数也至少有1009个,∴n≥1009＋1009＝2018．若a＜b,同理可得n≥2018,而当xi＝…＝x1009＝－x1010＝…＝－x2018＝时,有|x1|＋|x2|＋…＋|xn|＝2016＋|x1＋x2＋…＋xn|,故n的最小值为2018．