整式的加减及化简方法

《周髀算经》成书于公元前1世纪初,这部天文学著作包含了丰富而深刻的数学知识,勾股定理和测量术是该书的主要成就,此外,还介绍了较复杂的分数运算和开方问题,这是世界上最早使用小数和分数的记载．

知能概述

我们把整式中那些所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类,称为同类项,一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项,整式的加减实质就是合并同类项,这样能使整式大为简化．

代数式的化简求值是代数式研究的一个重要课题,解这类问题的基本方法有:将字母的值代入或字母间的关系整体代入,而关键是对代数式进行恰当变形,其中去括号、添括号能改变代数式的结构,是变形求解的常用工具．

问题解决

例1　(1)设m,n均不为零,3x2y3和－5x2＋2m＋ny3是同类项,则＝________．

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

(2)如果代数式ax5＋bx3＋cx－5,当x＝－2时的值是7,那么,当x＝2时,该式的值是________．

(江苏省竞赛题)

解题思路　对于(1),由同类项的概念建立m,n的关系式,运用这一关系式求值;对于(2),将x两个值分别代入,从寻找两个多项式的联系入手．

代数是慷慨大方的,她所给予的远远超过她所索取的．

——达郎贝尔

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中的数学思维

如果你有两个桶,一个装的是红色颜料,另一个装的是蓝色颜料,两桶中装的颜料体积一样．你从蓝色颜料桶里舀一杯,倒入红色颜料桶,调匀后再从红色颜料桶里舀一杯倒入蓝色颜料桶,红桶中的蓝红颜料比和蓝桶中的红蓝颜料比哪个更大?

例2　如果对于某一特定范围内的x的任一允许值,p＝|1－2x|＋|1－3x|＋|1－4x|＋…＋|1－9x|＋|1－10x|为定值,则此值为(　)．

A．2　B．3　C．4　D．5

(安徽省竞赛题)

解题思路　p为定值,必然是各绝对值化简后,含x项全部抵消,即化简后的系数和为0,从2＋3＋4＋5＋6＋7＝8＋9＋10入手．

例3　已知x2＋2x＝3,求代数式x4＋7x3＋8x2－13x＋15的值．

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路　由条件等式可得x2＝3－2x,解题的关键是通过变形,把待求式中x4,x3两项用x2＝3－2x表示,降次整体代入．

例4　已知x＝2,y＝－4时,代数式ax3＋by＋5＝1997,求当x＝－4,y＝－时,代数式3ax－24by3＋4986的值．

(北京市“迎春杯”竞赛题)

解题思路　a,b的值无法求出,将给定的x,y值分别代入对应的代数式,寻找已知式与待求式之间的联系,整体代入求值．

数学概念是进行推理与论证的基础．

“回到定义中去”,这是著名数学家波利亚提示的一种解题方法,在解题遇到困难的时候,请记住这个重要的思考提示．

在解数学题时,我们既要能从局部入手,又要善于着眼于整体．即突出对问题的整体结构的分析和改造,把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为一个整体来考虑．

例5　(1)x,y均为整数,若5|(x＋9y),求证:5|(8x＋7y)．

(2)x,y,z均为整数,若11|(7x＋2y－5z),求证:11|(3x－7y＋12z)．

分析与解　尝试把待证式写成与已知式相关的代数和的形式．

(1)∵8x＋7y＝8(x＋9y)－65y,5|(x＋9y),5|65y,

∴5|(8x＋7y)．

(2)∵4(3x－7y＋12z)＋3(7x＋2y－5z)＝11(3x－2y＋3z),

而11|11(3x－2y＋3z),且11|(7x＋2y－5z),

∴11|4(3x－7y＋12z)．

又∵11和4互质,∴11|(3x－7y＋12z)．

例6　试证:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．

(全国初中数学联赛题)

证明　①若n为奇数,设n＝2k＋1,k为大于2的整数,则写n＝k＋(k＋1),由于(k,k＋1)＝1,故此表示合乎要求．

②若n为偶数,则可设n＝4k或n＝4k＋2,k为大于1的自然数．

当n＝4k时,可写n＝(2k－1)＋(2k＋1),并且易知2k－1与2k＋1互质,因为,若它们有公因子d≥2,则d|2,但2k－1与2k＋1均为奇数,此不可能．

当n＝4k＋2时,则可写n＝(2k－1)＋(2k＋3),且易知2k－1与2k＋3互质,因为,若它们有公因子d≥2,设2k－1＝nd,2k＋3＝md,m,n均为自然数,则得(m－n)d＝4,可见d|4,矛盾．

整体思考

整体思考是将问题看成一个完整的整体,从大处着眼,由整体入手,突出对问题的整体结构的分析与改造,从整体上把握问题的特征和解题方向．

例7　(1)把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为mcm,宽为ncm)的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,则图②中两块阴影部分的周长和是(　)．

A．4mcm　B．4ncm

C．2(m＋n)cm　D．4(m－n)cm

(浙江省宁波市中考题)

(2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an,令Tn＝,称Tn为a1,a2,…,an这列数的“理想数”,已知a1,a2,…,a500的“理想数”为2004,求8,a1,a2,…,a500的理想数．

(安徽蚌埠市中考题)

合与分是一个互逆的思维过程．解整式加减相关问题,既要善于合并同类项简化代数式,又要注重把一个代数式分拆为几个代数式的和差形式,以沟通已知与未知的联系．

在微观上重析理,在宏观上看结构．既看局部,又看整体;既见树木,又见森林,两者互用,这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法．

印度诗人泰戈尔说:“采摘花瓣你将无法得到一朵美丽的花朵．”

例7(2)以式的形式定义“新数”,着眼于新知识与已有知识的联系与转化,对阅读理解、符号运算、整体代入、逻辑推理等能力提出了较高要求．

解题思路　整体思考具体体现为:整体观察,整体变形,整体代入,对于(1),为表示图②中相关量,还需知道什么?对于(2),从理解“理想数”的意义入手,导出Tn与a1,a2,…,an的关系,要求的是T501的值．

1．已知多项式2ax4＋5ax3－13x2－x4＋2021＋2x＋bx3－bx4－13x3是二次多项式,则a2＋b2＝_________．

(“希望杯”邀请赛试题)

2．设,则[P(2)－P(－2)]＝_________．

(“希望杯”邀请赛试题)

3．当x＝2时,代数式ax3－bx＋1的值等于－17,那么当x＝－1时,代数式12ax－3bx3－5的值等于________．

(北京市“迎春杯”竞赛题)

4．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象,则称n为“可连数”,例如32是“可连数”,因为32＋33＋34不产生进位现象;23不是“可连数”,因为23＋24＋25产生了进位现象,那么小于200的“可连数”有_________个．

(湖北省黄石市中考题)

5．秦九韶算法

当x＝5时,求多项式3x3＋5x2＋2x＋2的值,如果用计算机计算,计算机会算6次乘法,3次加法．具体如下所示:

而当把这个多项式转化成[(3x＋5)x＋2]x＋2的形式时,计算机只需要做3次乘法和3次加法,大大缩小了计算量．

这种优化了的计算方法,被称为秦九韶算法．

问题:

(1)直接计算多项式anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0在x＝m时的值时,需要做的乘法和加法次数分别是_________和_________．

(2)如果用秦九韶算法来简化计算量,可以把(1)中的这个多项式写成____________________________________________的形式．此时需要做的乘法和加法的次数分别为________和________．

(《时代学习报》数学文化节试题)

6．将1,2,3,…,100这100个自然数,任意分为50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一数值记作a,另一个记作b,代入代数式(|a－b|＋a＋b)中进行计算,求出其结果,50组数代入后可求得50个值,则这50个值的和的最大值是_________．

(四川省竞赛题)

7．红光中学初一年级有3个班,已知一班、二班的平均人数与三班人数的和为45;二班、三班的平均人数与一班人数的和为48;一班、三班的平均人数与二班人数的和为47．则三个班的总人数为(　)．

A．68　B．70　C．72　D．74

(“希望杯”邀请赛试题)

8．已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e,其中a,b,c,d,e为常数,当x＝2时,y＝23;当x＝－2时,y＝－35,那么e的值是(　)．

A．－6　B．6　C．－12　D．12

(陕西省竞赛题)

9．若x2＋x－2＝0,则x3＋2x2－x＋2007＝(　)．

A．2009　B．2008　C．－2008　D．－2009

(“希望杯”邀请赛试题)

10．最多有(　)个连续整数,使得其和为45．

A．9　B．25　C．45　D．90　E．120

(美国数学竞赛题)

11．设P(x)是一个三次多项式,且P(0)＝k,P(1)＝2k,P(－1)＝3k,则P(2)＋P(－2)＝(　)．

A．0　B．k　C．6k　D．7k　E．14k

(美国数学竞赛题)

12．已知关于x的整系数二次三项式ax2＋bx＋c,当x取1,3,6,8时,某同学算得这个二次三项式的值y分别是1,5,25,50．经验算,只有一个是错误的,这个错误的结果是(　)．

A．x＝1时,y＝1　B．x＝3时,y＝5

C．x＝6时,y＝25　D．x＝8时,y＝50

(“创新杯”竞赛题)

13．已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5,当x＝2时的值为－17,求当x＝－2时,该多项式的值．

(北京市“迎春杯”竞赛题)

14．证明:若三位数能被27整除,则均能被27整除．

(爱尔兰竞赛题)

15．在一次游戏中,魔术师请一个人随意想一个三位数(a,b,c依次是这个数的百位、十位、个位数字),并请这个人算出5个数与的和N,把N的值告诉魔术师,于是魔术师就可以说出这个人所想的数

现在设N＝3194,请你当魔术师,求出数来．

(美国数学奥林匹克试题)

16．求所有的五位数,该数能被9整除,且＝760．

(斯洛文尼亚数学奥林匹克试题)

17．对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”．

(1)请任意写出三个“极数”,并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;

(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”,记D(m)＝．求满足D(m)是完全平方数的所有m．

(重庆市中考题)

18．完美长方形

若一个长方形能分割成若干个大小不同的正方形,则说这个长方形是完美长方形．

1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形,它恰能被分割成10个大小不同的正方形．

(1)如图①,有一个完美长方形被分割成11个大小不同的正方形,其中最小正方形的边长是9,求此长方形的边长．

(2)7张如图②的长为a,宽为b(a＞b)的小长方形纸片,按图③的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,求a,b满足的关系式．

(第18题)

例1　(1)由2＋2m＋n＝2,得n＝－2m,代入原式,原式＝．　(2)－17

例2　B　当时,原式＝(1－2x)＋(1－3x)＋(1－4x)＋…＋[－(1－9x)]＋[－(1－10x)]＝3．

例3　原式＝(3－2x)(3－2x)＋7x(3－2x)＋8x2－13x＋15

＝9－12x＋4x2＋21x－14x2＋8x2－13x＋15

＝－2x2－4x＋24＝－2(x2＋2x)＋24＝－2×3＋24＝18．

例4　1998　由已知得4a－b＝996,待求式＝－3(4a－b)＋4986．

例7　(1)设小长方形的长为a,宽为b,

∴上面的阴影周长为:2(n－a＋m－a),下面的阴影周长为:2(m－2b＋n－2b),

∴总周长为:4m＋4n－4(a＋2b)．

又∵a＋2b＝m,∴4m＋4n－4(a＋2b)＝4n．

故选B．

(2)由定义得

即

又

500a1＋499a2＋498a3＋…＋2a499＋a500＝2004×500．

故8,a1,a2,…,a500的“理想数”为T501＝[501×8＋500a1＋499a2＋498a3＋…＋2a499＋a500]＝[501×8＋2004×500]＝2008．

1．13　2．6　3．22

4．24　当“可连数”为一位数时,n＋(n＋1)＋(n＋2)≤9,解得n≤2,由于n为自然数,所以n＝0或n＝1或n＝2,即一位数的“可连数”有3个．

当“可连数”为两位数时,设它的个位数字为a,十位数字为b,则a＋(a＋1)＋(a＋2)≤9,解得a≤2,由于个位数字相加时“不产生进位现象”,所以十位上的数字b必须满足b＋b＋b≤9,解得b≤3．从而两位数的“可连数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32,共有9个．

当“可连数”为三位数时,由于我们只求小于200的“可连数”,所以它的百位数字为1,设它的个位数字为a,十位数字为b,则a＋(a＋1)＋(a＋2)≤9,解得a≤2．由于个位数字相加时“不产生进位现象”,所以十位上的数字b必须满足b＋b＋b≤9,解得b≤3．从而三位数的“可连数”有100,101,102,110,111,112,120,121,122,130,131,132,共有12个．

综上所述,小于200的“可连数”的个数为3＋9＋12＝24个．

5．(1),n　(2)((((anx＋an－1)x＋an－2)x＋an－3)x＋…＋a1)x＋a0,n,n

6．3775　不妨设a＞b,原式＝a．由此知每组数的两个数代入代数式运算后的结果为两个数中较大的一个,从整体考虑,只要将51,52,53,…,100这50个数依次代入每一组中,便可得50个值的和的最大值．

7．B　8．A　9．A

10．D　设有n个连续整数a,a＋1,…,a＋n－1,得a＋a＋1＋…＋a＋n－1＝na＋＝＝45,即n(2a＋n－1)＝90,n|90,n＝90,a＝－44．

11．E　设三次多项式为P(x)＝a3x3＋a2x2＋a1x＋a0(a3≠0),由条件得a0＝k,a2＝．

③－②,得27a＋3b＝20,此式左边是3的倍数,而右边不是3的倍数,所以在②、③两式中必有一式错误;

④－③,得28a＋2b＝25,此式左边是偶数,而右边不是偶数,所以在③、④两式中也必有一式错误．故③式错误．

13．整理原多项式得(a＋1)x3＋(2b－a)x2＋(b＋3a)x－5,由题意得a＋1＝0,得a＝－1,b＝－1．

∴33≤3(10x＋y＋1)≤330．

∵D(m)为完全平方数且D(m)是3的倍数,

∴讨论可得D(m)＝36,81,144或225,进一步得m＝1188,2673,4752,7425．

18．(1)如图①,设与最小的正方形相邻的小正方形的边长为x,其他9个正方形边长依次可用x的代数式表示．又设长方形的边长分别为a,b,则a＝11x,b＝15x－63,b＝6x＋81,由15x－63＝6x＋81,得x＝16,从而a＝176,b＝177．

(2)如图②,左上角阴影部分的长为AE,宽为AF＝3b,右下角阴影部分的长为PC,宽为a．∵AD＝BC,即AE＋ED＝AE＋a,BC＝BP＋PC＝4b＋PC,∴AE＋a＝4b＋PC,即AE－PC＝4b－a,∴阴影部分面积之差S＝AE·AF－PC·CG＝3bAE－aPC＝3b(PC＋4b－a)－aPC＝(3b－a)PC＋12b2－3ab,则3b－a＝0,即a＝3b．

(第18题)