精英数学大视野-第5讲：数轴的应用

在历史上,许多著名的哲学家,非常重视对数学的学习与研究,并积极推动数学知识的传播．左图是古希腊哲学家柏拉图(约公元前427—前347)．他在他所创建的学院里研究哲学和数学,并在学院大门上刻着铭文:“不懂几何者不得入内．”

知能概述

数学一开始就是研究“数”和“形”的,从古希腊时期起,人们就已试图把它们统一起来．

数轴的建立,赋予了抽象的代数概念以直观表象．

借助数轴,直观地表示有理数,形象地解释相反数,准确地比较有理数的大小;运用数轴,直观而简捷地解决与绝对值相关的问题．

数轴,数与形的第一次碰撞．运用数轴,可以化复杂为简单,把抽象问题直观化、生动化．

设数轴上两点A,B表示的数分别为x1,x2,则

(1)A,B两点间的距离为|x1－x2|;

(2)线段AB中点表示的数为．

问题解决

例1　(1)数轴上有A,B两点,如果点A与原点的距离为3,且A,B两点的距离为1,那么点B对应的数是________．

(广西壮族自治区竞赛题)

(2)点A,B分别是数－3,－在数轴上对应的点,使线段沿数轴向右移动到A′B′,且线段A′B′的中点对应的数是3,则点A′对应的数是_________,点A移动的距离是________．

(“希望杯”邀请赛试题)

数缺形时少直观,形少数时难入微．数形结合百般好,隔离分家万事休．

——华罗庚

以图示数

1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝?

如图,毕达哥拉斯早已利用图形给出了几何解释．

…

解题思路　对于(1),确定A,B两点在数轴上的位置,充分考虑A,B两点的多种位置关系;对于(2),在平移的过程中,线段AB的长不变,即AB＝A′B′．

例2　如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A,B,C,D对应的数分别是整数a,b,c,d,且d－2a＝10,那么数轴的原点应是(　)．

A．A点　B．B点　C．C点　D．D点

(江苏省竞赛题)

解题思路　从寻找d与a的另一关系式入手．

例3　如图,已知数轴上点A,B,C所对应的数a,b,c都不为0,且C是AB的中点．如果|a＋b|－|a－2c|＋|b－2c|－|a＋b－2c|＝0,试确定原点O的大致位置．

(江苏省竞赛题)

解题思路　化简等式,而c＝是解题的关键．

例4　电子跳蚤落在数轴上的某点K0,第一步从K0向左跳1个单位到K1,第二步由K1向右跳2个单位到K2,第三步由K2向左跳3个单位到K3,第四步由K3向右跳4个单位到K4,……按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是19．94,试求电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数．

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路　设K0点所表示的数为x,分别把K1点,K2点,…,K100点所表示的数用x的式子表示,建立方程．

有效地从文字、图形、图表获取信息是信息社会的基本要求．

从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧,主要包括:

(1)数轴上的点所表示的数的正负性;

(2)数轴上点到原点的距离．

例5　求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－1997|的最小值．

(天津市竞赛题)

分析与解　由于x具有任意性、无限性,所以通过逐个求出代数式的值来解题显然较难,不妨借助数轴,从绝对值的几何意义入手．

从数轴上看,求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－1997|的最小值,即在数轴上找出表示x的点,使它到表示数1,2,3,…,1997的点的距离之和最小．如图所示,当x＝999时,原式的值最小,从数轴上看这个最小值为:

(1997－1)＋(1996－2)＋(1995－3)＋…＋(1000－998)＋(999－999)＝1996＋1994＋1992＋…＋2＝997002,也可将x＝999代入上式求值．

想一想:求|x－1|＋2|x－3|＋3|x－4|的最小值．

例6　如图,数轴上标有2n＋1个点,它们对应的整数是－n,－(n－1),…,－2,－1,0,1,2,…,n－2,n－1,n．为了确保从这些点中可以任取2006个,而且其中任何两个点之间的距离都不等于4,求n的最小值．

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

解　首先注意8个连续的点,例如0,1,2,3,4,5,6,7．从中可取前4个点0,1,2,3,其中任何两个点的距离都不等于4．

又由于这8个点可以分为4组,每组两个点的距离为4:(0,4),(1,5),(2,6),(3,7),所以每一组只能选一个点,8个点中只能选出4个点,任何两个点之间的距离都不等于4．

因为2006＝4×501＋2,8×501＋2＝4010,故当n＝2005时,2n＋1＝4011,从左到右,每8个连续的点中取前4个点,剩下的3个点中取2个点,共取2006个点,任何两点间的距离都不等于4．

另一方面,如果n≤2004,那么2n＋1≤4009．从左到右,第8个连续点一组,至多502组,其中最后一组只有1个点．因此不论怎么取2006个点,前501组中总有一组取的点多于4个,从而有两个点的距离为4．

综上所述,n的最小值是2005．

例7　把数轴上的每一个点染成红色或蓝色．求证:在这条数轴上一定有两个同色点,它们的距离为1或2．

(陕西省西安市竞赛题)

分析与解　本例是存在性证明问题,构作出符合结论的点即可．

在数轴上取三点A,B,C,使AB＝BC＝1,AC＝2．因为这三个点只染有两种颜色,所以必有两个点的颜色相同,若点A与点B或点C同色,则有距离为1的两点同色;若点A与点C同色,则有距离为2的两点同色．

(1)|a－b|的几何意义是数轴上表示数a,b两点间的距离．

(2)如图,当a≤x≤b时,|x－a|＋|x－b|的值最小．

如图,当x＝b时,|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的值最小．

(3)一般地,设a1,a2,a3,…,an是数轴上依次排列的点表示的有理数,则:

当n为奇数时,若时,则|x－a1|＋|x－a2|＋…＋|x－an|值最小;

当n为偶数时,若,则|x－a1|＋|x－a2|＋…＋|x－an|值最小．

质点运动

运动与静止是哲学中的一对矛盾体,运动中蕴含了事物的相对静止,而在静止中又蕴含了事物的绝对运动．质点在数轴上运动,使点表示的有理数、线段的长、分类讨论、建立方程等知识方法有机融合在一起,使问题呈现动态之美．

例8　已知数轴上A,B两点对应数分别为－2和4,P为数轴上一点,对应数为x．

(1)若P为线段AB的三等分点,求P点对应的数．

(2)数轴上是否存在点P,使P点到A点,B点距离和为10?若存在,求出x值;若不存在,请说明理由．

(3)若点A、点B和点P(P点在原点)同时向左运动,它们的速度分别为1,2,1个长度单位/分,则第几分钟时,P为AB的中点?

解题思路　以静制动,即考察特定时间或位置、建立方程,是解质点运动的关键．

1．数轴上有A,B两点,如果点A对应的数是－2,且A,B两点的距离为3,那么点B对应的数是________．

(江苏省竞赛题)

2．如图,点O,A,B,C,D,E分别对应数轴上相应的坐标．则以O,A,B,C,D,E中任意两点为端点的所有线段的长度的和为________．

(第2题)

(“希望杯”邀请赛试题)

3．纸上画一数轴,将纸对折后,若表示4的点与表示－1的点恰好重合,则此时与表示－3的点重合的点所表示的数是_________．

(《时代学习报》数学文化节试题)

4．对数轴上的点P进行如下操作:先把点P表示的数乘以,再把所得数对应的点向右平移1个单位,得到点P的对应点P′．

点A,B在数轴上,对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′,其中,点A,B的对应点分别为A′,B′．如图所示,若点A表示的数是－3,则点A′表示的数是________;若点B′表示的数是2,则点B表示的数是_________;已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合,则点E表示的数是________．

(第4题)

(北京市中考题)

数学与文学意境

初唐诗人陈子昂诗云:“前不见古人,后不见来者,念天地之悠悠,独怆然而涕下．”

诗人的位置是原点,作为一个思古想今的学者,感天地之宏大,时间之遥远,觉人生之短暂,视野之狭隘,遂有上述诗情．

许多人误以为学习数学等同于了解定理的证明、背诵及套用公式、熟读例题及操练习题．其实,数学既是一门抽象的学科,亦与生活息息相关;它既是理性的追求,又是充满美感的．

5．(1)如图所示,点A,B所代表的数分别为－1,2,在数轴上画出与A,B两点的距离和为5的点(并标上字母)．

(2)若数轴上点A,B所代表的数分别为a,b,则A,B两点之间的距离可表示为AB＝|a－b|,那么,当|x＋1|＋|x－2|＝7时,x＝_________;当|x＋1|＋|x－2|＞5时,数x所对应的点在数轴上的位置是_________．

(第5题)

(《时代学习报》数学文化节试题)

6．如图,在数轴上,点A表示1,现将点A沿数轴做如下移动:第1次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第2次从点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第3次从点A2向左移动9个单位长度到达点A3,……,按照这种移动规律进行下去,第n次移动到达点An．如果点An与原点的距离为20,那么n的最小值为_________．

(第6题)

(广西壮族自治区南宁市中考题)

7．如图,数轴上的A,B,C三点所表示的数分别为a,b,c,其中AB＝BC,若|a|＞|c|＞|b|,则该数轴的原点O的位置应该在(　)．

A．点A的左边　B．点A与点B之间

C．点B与点C之间　D．点C的右边

(第7题)

(山东省菏泽市中考题)

8．在数轴上,表示的数是整数的点称为“整点”．设数轴的长度单位是厘米,若在这个数轴上随意画出一条长2008厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点至少有(　)．

A．2006个　B．2007个　C．2008个　D．2009个

(“希望杯”邀请赛试题)

9．在数轴上,点A和点B分别表示数a和b,且在原点的两侧．若|a－b|＝2016,且AO＝2BO,则a＋b＝(　)．

A．6048　B．－6048　C．±672　D．0

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

10．如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A,B,C,D对应的数分别是整数a,b,c,d,且b－2a＝9,那么数轴的原点对应的点是(　)．

A．A点　B．B点　C．C点　D．D点

(广西壮族自治区竞赛题)

(第10题)

(第11题)

11．有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,O为原点,则代数式|a＋b|－|b－a|＋|a－c|＋c＝(　)．

A．－3a＋2c　B．－a－ab－2c

C．a－2b　D．3a

(“希望杯”邀请赛试题)

12．一个机器人从数轴原点出发,沿数轴正方向,以每前进3步后退2步的程序运动,设该机器人每秒钟前进或后退1步,并且每步的距离为1个单位长,xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数,给出下列结论:

①x3＝3;②x5＝1;③x103＜x104;④x2007＜x2008．

其中,正确结论的序号是(　)．

A．①③　B．②③　C．①②③　D．①②④

(江苏省镇江市竞赛题)

13．数轴上有一动点A,从原点出发沿着数轴移动,每次只允许移动1个单位,经过10次移动,A点移动到距离原点6个单位处．问:点A的移动方法有多少种?

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

14．试求|x－2|＋|x－4|＋|x－6|＋…＋|x－2000|的最小值．

(“希望杯”竞赛题)

15．已知|x＋2|＋|1－x|＝9－|y－5|－|1＋y|,求x＋y的最大值与最小值．

(江苏省竞赛题)

16．已知数轴上有A,B,C三个点,分别表示有理数－24,－10,10,动点P从A出发,以每秒1个单位的速度向终点C移动,设移动时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示P到A点和点C的距离:PA＝_________．PC＝________．

(2)当点P运动到B点时,点Q从点A出发,以每秒3个单位的速度向C点运动,Q点到达C点后,再立即以同样的速度返回,运动到终点A,在点Q开始运动后,P,Q两点之间的距离能否为2个单位?如果能,请求出此时点P表示的数;如果不能,请说明理由．

(第16题)

17．一个动点从数轴的原点出发,连续不断地一左一右来回跳动(第一次向左跳),跳动的距离依次为,…

(1)如果n是正整数,那么第n次跳动的距离是_________;

(2)第5次跳动的落点位置所对应的有理数是_________;

(3)第100次跳动后所处位置在原点的________侧;

(4)会不会有相邻两次跳动的落点位置在原点的同侧?会不会有某次跳动正好回到原点?为什么?

(《时代学习报》数学文化节试题)

例1　(1)4或2或－2或－4

例2　B　由图知d－a＝7,又d－2a＝10,得a＝－3．

例3　将a＋b＝2c代入已知等式得|a＋b|＝|b|－|a|,则ab＜0,|b|＞|a|,故原点O在线段AC上．

例4　k1,k2,…,k100点所表示的有理数分别为x－1,x－1＋2,x－1＋2－3,…,x－1＋2－3＋4…－99＋100,由题意得x－1＋2－3＋4…－99＋100＝19．94,解得x＝－30．06．

例8　(1)0或2

(2)当x＝4或6时,PA＋PB＝10．

(3)设t分钟后,P为AB的中点,A,B,P运动t分钟后对应的数分别为－2－t,4－2t,－t,由－t＝得t＝2．

1．1或－5

2．105

3．6　设该点所表示的数为x,则

4．0,3,设E点表示的数为x,则E′点表示的数为,由得

5．(1)如图所示,点C,D两点即为所求．

(2)x＝－3或4,点C的左边或点D的右边．

6．13　序号为奇数的点在点A的左边,A1,A3,A5,…,An对应的数分别为－2,－5,－8,…,;序号为偶数的点在点A的右边,A2,A4,A6,…,An对应的数分别为4,7,10,…,,当＝20时,得n＝13;当＝20时,n＝(舍去),故n的最小值为13．

(第5题)

7．C

8．C

9．C　A,B两点与原点位置关系不确定,故应分类讨论．

10．C

11．A

12．D　设a为正整数,当n＝5a时,xn＝a;当n＝5a＋1时,xn＝a＋1;当n＝5a＋2时,xn＝a＋2;当n＝5a＋3时,xn＝a＋3;当n＝5a＋4时,xn＝a＋2．由此可得x103＝23,x104＝22,x2007＝403,x2008＝404．

13．设10次移动中有x次向正方向移动1个单位,则有(10－x)次向负方向移动1个单位．根据题意,移动结果有两种情况:或原点右侧6处,或原点左侧－6处．那么,先向右侧的有:x＋(10－x)×(－1)＝6,x＝8,即10次中有8次向正方向,2次向负方向移动,有45种．同理,向左侧的也有45种．因此,点a有90种不同的移动方法．

14．当1000≤x≤1002时,原式有最小值,这个最小值为:(1002－2)＋(1004－4)＋…＋(2000－1000)＝500000．

15．原式化为|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9,

∵|x＋2|＋|1－x|≥3,|y－5|＋|y＋1|≥6,当－2≤x≤1,－1≤y≤5时等号成立．

∴x＋y的最大值＝1＋5＝6;x＋y的最小值＝－2－1＝－3．

16．(1)t,34－t

(2)当P点在Q点右侧,且Q点还没有追上P点时,3(t－14)＋2＝t,解得:t＝20,∴此时点P表示的数为－4．

当P点在Q点左侧,且Q点追上P点后,相距2个单位,3(t－14)－2＝t,解得:t＝22,∴此时点P表示的数为－2．

当Q点到达C点后,当P点在Q点左侧时,t＋2＋3(t－14)－34＝34,解得:t＝27,∴此时点P表示的数为3．

当Q点到达C点后,当P点在Q点右侧时,t－2＋3(t－14)－34＝34,解得:t＝28,∴此时点P表示的数为4．

综上所述:点P表示的数为－4,－2,3,4．

由此可知,从两个加数起,每增加一个加数,和的符号都会改变,故不会出现相邻两次跳动的落点位置在原点的同侧,也不会有某次跳动正好回到原点．