回归方程最有效的用途就是在给定自变量数值x=x0的前提下，推算因变量的数值y=y0。点估计方法是指将自变量数值x=x0代入回归方程，用计算的回归估计值=直接作为因变量y0的估计值。值得注意的是，回归方程只能以自变量x推算因变量y，而不能反过来以因变量y推算自变量x。......
2023-08-13
一元线性回归模型的估计和检验：应用统计学中的成果
【摘要】：对两个具有线性关系的变量，配合线性回归方程，并根据自变量的变动来测定因变量平均发展趋势的分析方法，称为一元线性回归分析，也称简单直线回归分析。（三）一元线性回归分析的特点两个变量的地位不是对等关系。估计的结果表明，该社区居民月消费支出随可支配收入的增加而增加。估计的结果表明，该地交通事故数随机动车辆数的增加而增加。
在相关图分析的基础上，可以选择一定的回归方程式进行定量分析。对两个具有线性关系的变量，配合线性回归方程，并根据自变量的变动来测定因变量平均发展趋势的分析方法，称为一元线性回归分析，也称简单直线回归分析。它是回归分析中最基本、最常用的方法。
（一）构建一元线性回归方程应具备的条件
一般情况下，构建一元线性回归方程应具备以下几个条件。
1.现象间存在数量上的相互依存关系
只有当两个变量存在比较密切的相关关系时，所构建的回归方程才有意义，用此进行分析和预测才有价值。
2.现象间存在线性相关关系
一元线性回归方程在图形上表现为一条直线。因此，只有当两个变量的相关关系表现为直线相关时，所配合的直线方程才是对客观现实的真实描述，才可用此进行统计分析。如果现象间的相关关系表现为曲线，却配合为直线，就必然会得出错误的分析结论。
3.具备一定数量的变量观测值
一元线性回归方程是根据自变量和因变量的样本观测值求得的，因此，变量x和变量y都应有一定数量的对应观测值，这是构建直线方程的依据。如果观测值太少，受随机因素的影响较大，就不易观察出现象间的变动规律性，所求出的回归方程也就没有意义。
（二）一元线性回归方程
设x为自变量，y为因变量，y与x之间存在某种线性关系，其一元线性回归方程为：
式中，b0和b1是两个待定参数，也称回归系数。其中b0是直线在y轴上的截距，当x=0时，
=b0；b1是直线
的斜率，它表明自变量增加（或减少）一个单位，因变量相应增加（或减少）多少。当b1＞0时，x与y为正相关；当b1＜0时，x与y为负相关。
（三）一元线性回归分析的特点
（1）两个变量的地位不是对等关系。在进行回归分析时，必须根据研究目的确定哪个变量是自变量、哪个变量是因变量。
（2）因变量为随机变量；而自变量为非随机变量，是可以预先给定或控制的变量。
（3）回归方程可以利用自变量的给定值来推算因变量的相应值，它反映的是自变量与因变量之间的具体变动关系。
（4）回归系数b1可正可负，正号说明两变量为正相关；负号说明两变量为负相关。
（四）OLS估计
估计方程的回归系数有许多方法，其中使用最广泛的是最小平方法（Ordinary Least Square，OLS），下面我们采用最小平方法来估计方程的回归系数。
最小平方法的中心思想，是通过数学方程配合一条较为理想的趋势线，这条趋势线必须满足两个条件：原数列的观测值与方程的估计值的离差平方和为最小；原数列的观测值与方程的估计值的离差总和为零。
现以公式表示如下。
式中，y代表原数列的观测值，
代表回归估计方程的估计值。
，根据极值原理，为使Q具有最小值，对b0和b1分别求偏导数，并令其等于零，即：
整理出两个标准方程：
对上面两等式联立求解，解出回归系数b0、b1分别为：
【例5-3】根据表5-2居民家庭的月可支配收入和消费支出的调查资料，进行一元线性回归分析，确定回归方程。
根据消费支出与可支配收入之间的关系，令消费支出为因变量y，可支配收入为自变量x，直线回归方程参数计算如表5-8所示。
表5-8 居民家庭的月可支配收入和消费支出的回归方程参数计算
所以，回归方程为
=-0.208 9+0.717 7x
上式说明，该社区2019年居民月可支配收入x每增加100元，消费支出y就平均增加71.77元；在月可支配收入x=0的情况下，消费支出为-0.208 9元。根据这个方程，可以估计该社区居民月可支配收入对消费支出的影响。估计的结果表明，该社区居民月消费支出随可支配收入的增加而增加。
【例5-4】某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料如表5-9所示。请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程。
表5-9 某地近几年机动车辆数与交通事故数统计资料
这里，我们可以借助Excel，根据数据得到散点图，如图5-2所示，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关性。
图5-2 机动车辆数与交通事故数的散点图
严格来讲，应先计算出相关系数R，再根据计算结果判断是否可进行回归分析，在相关关系显著的情况下再计算出回归方程，以下为严格的解题过程。
根据交通事故数与机动车辆数之间的关系，令交通事故数为因变量y，机动车辆数为自变量x，相关系数计算如表5-10所示。
表5-10 机动车辆数与交通事故数的相关系数计算
续表
计算结果说明，交通事故数与机动车辆数之间存在高度正相关关系。所以，x和y线性相关关系显著，可进行回归分析。
再依据表5-10中的数据，可以计算出b1和b0，进而得到线性回归方程。
所以，回归方程为
=-1.024 1+0.077 4x
上式说明，该地近几年机动车辆数x每增加1 000辆，交通事故数y就平均增加0.077 4千辆。根据这个方程，可以估计该地机动车辆数对交通事故数的影响。估计的结果表明，该地交通事故数随机动车辆数的增加而增加。
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