高中数学教学：解读模型与数学模型概念

2023-08-12 理论教育版权反馈

【摘要】：从广义上讲，一切数学概念、数学公式、法则、原理、各种函数关系式、方程式及算法系统都可称为数学模型。因此，按不同的标准可以对数学模型进行不同的划分。若根据数学本身和事物发展的特点，还可以把数学模型分为确定性数学模型、随机性数学模型、突变性数学模型、模糊性数学模型四个种类。

模型是人们为了某种特定的目的，而对客体原型所作的一种在特性、结构或功能行为等方面具有某种相似关系简化的描述，这种描述可以是定性的，也可以是定量的；可以借助于具体的实物，也可以通过抽象的形式来表达。模型是对现象系统地抽象或模仿，它由那些与研究问题有关的部分或全部因素构成，在认识过程中能够被当作客体原型的替代物而便于进行研究，通过模型进行模拟实验，能够得到关于原型的信息。

数学模型是使用数学符号、数学式子以及数量关系对实际问题的简化而得出的关系或规律的描述；是指对实际问题（客体原型）的主要特征、主要关系进行分析，经过抽象、概括后所得出的数学结构。这里的数学结构有两个方面的具体要求：第一，这种数学结构必须是一种纯关系结构，也就是必须经过数学抽象，舍弃与关系无本质联系的一切属性；第二，这种结构必须是借助于数学概念和数学符号来描述的结构形式。因此，数学模型就是用数学语言去描述和模拟实际问题中的数量关系、空间形式，这种模拟是近似的，但又尽可能逼近实际问题，数学模型包含数学结构以及该结构中的元素定义、命题、公式、法则、算法等与实际研究对象之间的对应关系。

数学模型的含义比较广泛，通常有广义和狭义两种解释。从广义上讲，一切数学概念、数学公式、法则、原理、各种函数关系式、方程式及算法系统都可称为数学模型。因为它们都是从各自相应的现象原型中抽象出来的，数学与它的各个分支，都可以看作不同层次的数学模型或模型的有机组合，狭义的数学模型是指只有反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，在现代应用数学中，对数学模型都做狭义的理解，构造数学模型的目的主要是为了解决具体的实际问题。

由于客观事物的存在形式和发展变化千头万绪，对它进行研究的数学模型也是多种多样的。因此，按不同的标准可以对数学模型进行不同的划分。比如，按照表现形态的不同，可以将数学模型分成概念型模型、方法型模型和结构型模型三个种类。第一，概念型模型，例如实数、函数、向量等数学概念。第二，方法型模型，例如方程、运算法则、列表、图等。第三，结构型模型，例如数系等。若根据数学本身和事物发展的特点，还可以把数学模型分为确定性数学模型、随机性数学模型、突变性数学模型、模糊性数学模型四个种类。

数学模型方法是模型方法中的一种重要方法，它本是处理数学问题的一种经典方法，后来逐渐渗透到物质世界的各个领域，成为处理各种实际问题的一般数学方法。20世纪40年代以来，由于科学技术的数学化趋势，特别是控制论的产生和电子计算机的广泛应用，数学模型方法在广度和深度上都得到了迅速的发展，被广泛地应用于自然科学、社会科学和思维科学的一切领域之中。

高中数学教学：解读模型与数学模型概念

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