突出思维方式、注重学生数学能力培养

2023-08-12 理论教育版权反馈

【摘要】：目前，关于数学思想方法问题的研究是数学教学的一个热门话题，但大都采取列举和描述的叙述方法。[3]高中数学新教材是培养数学思想方法，提高学生数学素养和能力的一个良好的载体，这主要体现在以下几个方面。

新的高中数学实验教材是一个良好的载体，它把数学思想方法问题融于数学基础知识和基本技能之中，使你既看得见、摸得着（例如基础知识），又可以透过教材体会到它内含的思想方法，从而理解到基础知识和思想方法之间不可分割的密切关系，以及两者之间存在的质的不同和量的差异，这就为我们在数学教学中进行能力培养创造了良好的条件。

目前，关于数学思想方法问题的研究是数学教学的一个热门话题，但大都采取列举和描述的叙述方法。使人看后颇有“只闻其声，不见其人”的感觉，对于到底什么是数学思想、什么是“数学方法”、两者之间是什么关系等问题很少有人涉足。其实，从心理学意义上说，所谓思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，或者说是一种念头、想法。我们无论做什么事，首先在头脑中都有个根本出发点或总的想法，这就是思想。所谓数学思想就是在数学研究活动中解决问题的照本想法，是对数学规律的理性认识，也是在对数学知识和方法做更进一步认识和概括的基础上形成的一般性观点。因此，数学思想是在数学思维结果的基础上概括出具有指导意义和普遍思维价值的思想精髓，它更具有本质性、概括性和指导性的意义。所以，我们可以说数学思想是数学的灵魂。

数学方法是数学的行为。人类在认识世界和改造世界的过程中，总要根据一定的目的为自己确定各式各样的任务，并为实现这个任务而寻求各种各样完成任务的方法。譬如，我们的任务是过河，但是没有桥或没有船就不能过。而解决数学问题所采取的数学方法就相当于这里的桥或船。显然，数学方法为数学问题的求解和数学知识的获取提供了可能，没有数学方法，可以说就没有数学的进展。因此，我们进行新课程改革实验，首先应明确新教材所蕴含的数学思想以及为实现总设想、总目标而提供和安排的数学方法，从这个总的构想出发去安排内容。设计数学方法，才能使实验工作沿着正确的方向发展。否则就有可能因某项具体内容的增制、某个题目的取舍等一些枝节问题而陷入无休止的争论中去。^[3]

高中数学新教材是培养数学思想方法，提高学生数学素养和能力的一个良好的载体，这主要体现在以下几个方面。

（一）坚实基础——数学符号语言的系统化、规范化、经常化

高中数学新大纲明确规定：“要随着学生对基础知识的理解的不断加深……培养学生独立获取新知识和正确运用数学语言进行数学交流的能力。”关于数学语言的培养，我国数学教学从初中用字母表示数，并以数的运算性质为依据来进行数、字母以及字母表达式的运算开始；到高中，对学生使用数学语言的要求比初中有明显的提高，即要求表达问题时更准确、更简练、更规范，而且语言更抽象。因此，数学语言的符号化就成为高中数学语言的一个最显著的特征。新教材从集合语言的符号化开始，到简易逻辑中命题语言及命题关系的符号化，就为高中代数和几何语言及图形的符号化打下了坚实的基础。同时，也为从代数到几何的推理论证格式的符号化做好了准备。一般来说，符号化思想就是用符号化语言（包括字母、数字、图形与图表以及各种特定的符号）来表述数学的内容，它是一种重要的数学思想，在新高中数学教材的各个章节中都明显地注意了它们的引入与使用，这为学生抽象思维能力的培养，以及完成整个高中阶段的学习任务乃至后续部分的学习都打下坚实的基础。

（二）突出主线——确立函数和方程在中学数学中的主体地位

20世纪70年代的数学教改，曾有人提出高中数学应以函数为纲的设想，但由于种种原因，未能如愿。但从这些年教材的变革来看，函数的地位越来越突出，函数思想作为数学思想的重要组成部分已成为共识，而作为与函数相伴而生的方程，无论作为一种数学思想，还是作为处理某些数学问题的方法或工具，都在中学数学教学中起着举足轻重的作用，所以把它们放在中学数学的主体地位是无可非议的。大家都知道，函数在中学教材中是分三个阶段安排的。第一阶段是在初中代数课本中初步讨论了函数的概念，因数的表示方法以及函数的作图等，并具体地学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。第二阶段是在新教材中安排了函数和三角函数的内容。这一阶段是函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，并在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图像和性质，从而使学生在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生函数应用的意识，为今后学习打下良好的基础。按照新大纲的要求，第三阶段的函数教学是在高三年级的限定选修课中安排的，理科有极限、导数和积分，文科有极限与导数，这些内容是函数及其应用研究的深化与提高。在新教材的试验中使我们感受到了广泛的函数内容和深刻的函数思想，使我们的教学如鱼得水，在处理很多数学问题时，既可以看到量，又可以看到形，既有抽象的思考，又有直观的表示。从而给数学教学注入了生机，激发学生的学习兴趣，

对方程的处理，新教材剔除了一些过于传统和烦琐的方程的解法，如指数方程、对数方程、三角方程等。从量上都做了较大的删减。但是作为一种思想方法，它则时时都有，随处可见。教学中只要在讲解指数函数、对数函数、三角函数时能把方程作为一种思想方法与函数思想融为一体，那么学生就可以做到无师自通、心领神会，而不必再让学生做大量烦琐的习题去浪费时间。由此看来，方程作为一种思想方法，没有因为高中教材对某些内容的从轻处理而有所减弱，而是在教学中揭示其内在功能，发挥它在实际应用中的作用。

（三）揭示本质——重视数形结合思想方法的培养

数与形是数学研究的主要对象。但在实际教学中形数分家的现象持续了多年，几何、代数分家的现象一直持续到高中新教材实验之前。近年来，作为解决数学问题的一种思想方法而广泛引起广大数学教育工作者的重视，但作为中学数学教材，在体现这一数学的本质特征和重要的思想方法的努力似乎还嫌不够。这次正在实验的高中数学新教材在这方面大大地迈进了一步。它不但从形式上把代数、几何统一编排，而且在内容的处理上也提出明确的要求。例如，在新教材函数一章就明确提出，通过观察图像，对函数是否具有某种性质，做出一种猜想，然后通过推理的办法证明这种猜想的正确性，并指出这是发现和解决问题的一种常用数学方法。在解析几何内容的处理上，也明确提出，由于几何研究的对象是图形，而图形的直观性会帮助我们发现问题、启发思路，从而找到解决问题的有效方法。所以在解本章的题目时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来。特别是在新教材的直线、平面、简单几何体一章，把形、数结合的思想，提到了一个更高的水平，在教材章小结中写道，通过学习本章内容，要特别注意提高空间想象能力和逻辑思维能力，使自己的画图、识图、解释图的水平不断得到提高，把对问题的图形表示、符号表示、文字表示联系起来，形成整体认识，使自己能正确运用所学概念和定理、公式等进行合理的论证与计算。这样，数与形被自然地结合在一起，使它不但成为解决某些数学问题的方法，而是作为一种数学思想溶于高中数学教学之中，这正像华罗庚教授说过的：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”以“形”的直观启迪思路，导致发现，以“数”的严谨表述来论证发现的正确，图形能帮助学生插上想象的翅膀。从而，新教材把高中数学教学引导到一个更高的层次。

（四）殊途同归——注意化归能力的培养

化归的实质是把新问题转化为已经解决的问题来解决，把复杂问题转变为简单问题来解决，它是处理数学问题的一种基本思路。从化归思想的角度来看，我们在解决数学问题所采用的各种数学思想方法，实质上都是数学模式之间化归的一种手段。新教材在各章数学内容的选择上都充分注意了化归思想的渗透，教材安排由简到繁、由特殊到一般、由具体到抽象、由已知到未知。而化归恰恰是正向思维过程和逆向思想过程的一种体现，这正像新教材在第四章的小结中所指出的：化归是一种重要的数学思想。而我们用过的化归主要有“把未知化归为已知”、把“特殊化归为一般”以及“等价化归”等三类。新教材正是为了突出数学思想方法的体现而大量删减了三角中过于传统的内容和题目，如三角式的恒等变形、三角式的化简、反三角函数及三角方程等，却增加了体现数学思想方法的内容，如图像变换和应用型的内容等。

（五）立意创造——注重归纳与类比方法的培养，激发建模与构造意识

培养创造型人才是当前素质教育的一个重要目标，在数学教学中应该从哪些方面入手，这确实是我们应该研究的一个问题。可喜的是，这次新编高中数学教材在这方面做了很大的努力，新教材从一开始就在函数一章中提出了要培养学生“观察、归纳、分析、发现”的思想方法，接着在函数的应用中又提出建模与构造的思想，尤其在数列一章，教材中提出了更高的要求——培养学生“观察、归纳、猜想、证明”的研究问题的科学方法。这就是说，数学思想方法的培养已由隐形的渗透，明确地写到了教材中，从而变成看得见、摸得着的具体要求了。

突出思维方式、注重学生数学能力培养

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