严谨性与量力性相结合，实现科学与中学教育目的的协调关系

一般而言，数学教学是在基本的数学教学原则指导下进行的。在这里我们主要研究的是：抽象与具体相结合教学原则、归纳与演绎相结合教学原则、严谨性与量力性相结合教学原则、知情统一教学原则、发展性教学原则、寓教于乐教学原则、个性化教学原则、学生参与教学原则、反复渗透教学原则、鼓励创新教学原则和情景性教学原则。

（一）抽象与具体相结合教学原则

高度的抽象性是数学学科有别于其他学科的一大特点。数学的抽象性把客观对象的所有其他特性抛开不管，而只抽象出其空间形式和数量的关系进行研究。数学的抽象有着丰富的层次，它的过程是逐级抽象、逐次提高的，而且还伴随着高度的概括性，抽象程度越高，其概括性也越强。

数学的抽象性还表现为广泛而系统地使用了数学符号，具有字词、字义、符号三位一体的特性，这是其他学科所无法比拟的。例如“平行”这个词，其词义是表示空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的一种特定位置关系。

当然，数学的抽象性必须以具体素材为基础。任何抽象的数学概念和数学命题，甚至于抽象的数学思想和数学方法都有具体、生动的现实原型。

数学的抽象性还有逐级抽象的特点。一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，不仅可以具体对象作为基础，也可以一些相对具体的抽象概念作为基础。例如，数、式、函数、映射、关系等就是逐级抽象的。前一级抽象是后一级抽象的直观背景材料，尽管前一级本身就是抽象的。这样，所谓的直观背景材料，不仅是指实物、模型、教具等，而且还指所学过的概念、实例等。数学的这种逐级抽象性反映着数学的系统性。数学教学中充分注意这个特点，就能有效地培养学生的抽象概括能力。

数学的抽象必须以具体的素材为基础，任何抽象的数学概念、命题，甚至数学思想和方法都有具体、生动的现实原型。例如，对应是一个抽象的数学概念，也是一种重要的数学思想，它是以原始人的分配、狩猎或数数的具体活动为现实原型的。即使更高的抽象也不例外，函数是一个高度的抽象概念，它是在常量与变量这两个抽象的概念基础上抽象出来的；但当引入映射时，又作为一种特殊的映射而进一步抽象；再进一步上升到以复数为自变量的函数时，其涉及的具体对象又进一步扩大了。这说明抽象是相对的，以相对的具体作为基础。数学的抽象性不仅以具体性为基础，而且还以广泛的具体性为归宿。检验抽象数学理论是否正确的唯一标准是实践。所以，数学中的具体和抽象是相对的，相互区别又互相联系，在一定的条件下又互相转化。由感性的具体到抽象，又由抽象到思维的具体，这是人们认识数学事实的基本认识过程。

在数学教学中，贯彻具体与抽象相结合的原则，应从学生的感知出发，以客观事实为基础，从具体到抽象，逐步形成抽象的数学概念，上升为理论，进行判断和推理，再由抽象到具体，应用理论去指导实践。

一般说来，低年级学生的抽象能力要比高年级差些。抽象能力差主要表现在过分地依赖于具体素材，具体与抽象割裂，不能将抽象结论应用到具体问题中去，对抽象的数学对象之间的关系不易掌握。尽管出现这种现象是有多方面的原因的，然而就数学教学本身而论，主要是没有处理好具体与抽象的关系。

怎样处理好具体与抽象的关系呢？首先，数学概念的阐述，注意从实例引入。通过具体的实物进行直观演示，也可利用图像直观、语言直观等，形成直观形象。其次，对于一般性的数学规律，注意从特例引入。必须指出，直观是从具体上升到抽象的辅助工具，特殊化是认识抽象结论的辅助手段，即使高一级的抽象也往往依赖于较低一级的具体。第三，注意运用有关的理论，解释具体的现象，解决具体的问题。还应明确，从数学教学来说，具体、直观仅是手段，而培养抽象思维的能力才是根本目的。如果不注意培养学生的抽象思维能力，那么就不可能学好数学；相反，若不依赖于具体、直观，则抽象思维能力也难以培养。但如果只停留在感性阶段，那么必然会影响思维能力的进一步发展。只有不断做好具体与抽象相结合，才能使数学学习不断向纵深发展，使认识不断提高和深化。

（二）归纳与演绎相结合教学原则

人们认识活动的一般过程总是由特殊到一般或由一般到特殊，归纳和演绎就是这一认识活动的两种思维方法。数学概念的讲解，定理的证明，解题的思路都离不开它们。所以，归纳和演绎相结合是数学教学的又一基本原则。

归纳是由特殊到一般或由个别到全体的思维方法，它在数学教学中具有一定作用。

归纳和演绎是必须相互联系的。贯彻归纳和演绎相结合的教学原则，首先，必须搞清两者的辩证关系。一般说来，演绎以归纳为基础，归纳为演绎准备条件；归纳以演绎为指导，演绎给归纳提供理论根据。两者互相渗透，互相联系，互相补充。其次，在教学实践中，通常总是将两者结合使用，先由归纳获得猜想，做出假设，通过鉴别，获得结论，再给予演绎证明。第三，必须看到，应用归纳和演绎进行推证，不都是先用不完全归纳法做出设想，然后对此进行演绎证明。有时，需对求证的问题进行分类，再对每一类情况分别地进行演绎证明。只有把各类情况都证明了，命题才能被证明。分类必须完全，又不能重复。有时，用演绎法进行推证，在获得结论时又必须分类归纳，这充分体现了归纳与演绎的相互渗透。

（三）严谨性与量力性相结合教学原则

数学科学是严谨的，中学生认识数学科学又要受量力性原则的制约。因此，在数学教学中，既要体现数学科学的本色，又要符合学生的实际，这就是严谨性与量力性相结合原则对数学教学的总要求。这条原则的实质就是数学教学要兼顾严谨性与量力性这两方面的要求，一方面对数学教学的各个阶段要提出恰当而又明确的目的任务，另一方面要循序渐进地培养学生的逻辑思维能力。

在数学教学中，主要是通过下列的各项要求来贯彻严谨性与量力性相结合的原则。

教学要求应恰当、明确。根据严谨性与量力性相结合原则，妥善处理好科学数学体系与作为中学教育目的数学体系之间的关系。

教学中要逻辑严谨，思路清晰，语言准确。在讲解数学知识时，要有意识地渗透形式逻辑方面的知识，注意培养逻辑思维，学会推理论证。数学中的每一个名词、术语、公式、法则都有精确的含义，学生能否确切地理解它们的含义是能否保证数学教学的科学性的重要标志之一，而学生理解的程度如何又常常反映在他们的语言表达之中。因此，应该要求学生掌握精确的数学语言。为了培养学生语言精确，教师在数学语言上应有较高的素养。

新教师在语言上要克服两种倾向：一是滥用学生还接受不了的语言和符号。例如，对七年级学生讲“每一个概念的定义中包含的判定性质是充分必要的”，并用双箭头符号表示。二是把日常流行而又不太准确的习惯语言带到教学中。如在讲授分式的约分时，常说“约去上面的和下面的公因式”。这些话容易引起学生的误解，以致出现错误。因此，数学教师的语言应该既简练又精确，力争达到规范化的要求。要防止随意制作定义、乱下判断的现象在教学中出现，不能为了通俗易懂，就用含义不十分确切的生活用语来代替数学术语。

教学中注意由浅入深、由易到难、由已知到未知、由具体到抽象、由特殊到一般地讲解数学知识，要善于激发学生的求知欲，但所涉及的问题不宜太难，不能让学生望而生畏，这样才能取得好的教学效果。

总之，在强调严谨性时，不可忽视学生的可接受性；在强调量力性时，又不可忽视内容的科学性。只有将两者有机地结合起来，才能提高教学质量。

（四）知情统一教学原则

知情统一原则是指在中学数学教学中教师要将教学过程中的认知因素与情感因素按学生已有的知情状况，以相互统一、相互协调的原则作用于学生，关注学生的知情协调发展。知、情的相互关系表明，要实现中学数学教学中的情感内容必须在教学过程中实施知情统一原则，不可将二者隔离或孤立地看待。

学生的情感变化很大程度上取决于教师。教师对教育事业的情感、对数学教学的情感、对学生的情感在与学生交流的过程中很有可能会真情流露而影响学生的情感变化。在初中的调查中发现，有些数学上的学困生来自教师负面情感的影响，如教师在课堂上忽视学生认知、情感上的差异而讽刺挖苦学生等。教师必须牢记，课堂上面对的是身心发展不成熟的求知的个体，必须以饱满的热情、健康的心态去面对学生，做到爱生乐教。

教师只有做到爱生乐教，才会在教学的各个环节不断钻研，提高学识水平和教学水平，以渊博的学识、高超的教学艺术和手段传道、授业、解惑；才会以愉悦的心态面对学生，真正的主体间的良性交流才会产生。

（五）发展性教学原则

发展性是指教师在教学中要用发展的眼光看待不断发展的学习主体——学生，根据其发展状况组织教学和评价教学。在教学设计中要根据其已认知的水平与经过教师的帮助和自我努力可能达到的水平促使其在取得成功体验的过程中向积极的方向发展。

学生是学习的主体、主动建构知识的主体，其认知与情感水平在相互促进的基础上是不断发展与进步的，并且呈螺旋上升之势。在教学过程中教师要根据学生的认知的对象——数学知识的不断变化、学生的认知、情感水平的不断发展调整自己的教学方法与策略，调整自己的情感与学生相适应。教师要时刻注意发现、分析学生发展过程中出现波折的原因，帮助学生尽快解决相应的问题，要用发展的眼光看待学生，有效地运用发展性原则进行教学。

第一，教师在课前要充分了解学生的心智发展水平，了解产生这些情况的原因，要有尊重学生发展现状和确定教学策略、教学方法的思想准备。

第二，在讲授新的数学内容之前和课堂教学中，应设置与教学内容有紧密联系的、有意义的且富于启发性，不能太容易，也不能太难，要让学生通过努力后可以解决的问题，激发学生的求知欲，使每一个学生处于最佳学习状态，尽量使每一个学生都得到相应的发展。

第三，关键性知识和“突变”性知识的教学要重点关注。

（六）寓教于乐教学原则

寓教于乐是指在中学数学教学中教师要通过实践、模型、变式等方式以及师生间积极的交流活动，将数学学习中认为比较枯燥的概念、定理、公理、证明等知识的学习过程在教师的操纵下转化为学生快乐的、主动的探索与建构过程，使学生达到“乐中学”。教师在教学中操纵各种教学变量，使学生怀着快乐的情绪进行学习。也就是说，使教学在学生乐于接受、乐于学习的状态下进行。

在情感教学中，教师不仅要注意学生学习数学过程中的接受与理解状况，而且要关心学生学习数学过程中的情感状况，努力使学生在快乐、兴趣中学习。这条原则包括两条教学原则：一是要让学生在快乐中学习；二是要让学生在兴趣中学习。

例如，三角函数中积化和差公式比较难记，于是让学生探索规律，一起总结出这样的顺口溜“括（括号）前一半，同（同名）夸（cos）异（异名）杀（sin），先减后加，有夸用加，无夸用减”；还有对倍半角公式，这里也有规律可循，如倍角公式记忆为“角度倍到半，幂次数半到倍”，半角公式记忆为“角度半到倍，幂次数倍到半”，这样还可以把万能置换公式视为倍角公式。

总之，寓教于乐是课堂知识传授渠道的良好润滑剂，教师只有从教学的实际出发，充分挖掘好的教学方法，使每位学生对数学怀有“要学”“易学”“会学”“好学”的积极情感，才能切实体现当前对教育所提出的要求，使教学素质真正得到提高。

（七）个性化教学原则

个性化指学生是个性发展不同的个体，严格地说，有多少个学生，就有多少种不同的个性。多元智能理论告诉我们，学生的心智发展是多元化的，每个学生的心智发展在多元化的各个方面是不平衡的。个性化要求在教学过程中不要强调统一模式，而要在尊重学生个性发展的同时，使其心理朝着相互关联、协调发展的方向努力。学生是具有个性的个体，即使是同一学段的学生个体也会在知情下产生差异，其结果是在数学学习的成绩上产生差异。这一原则要求教师在教学中使具有差异的个体在自己的基础上均有最大的发展，应注意做到如下几点。

教师要设法帮助学生寻找产生个体知情差异的原因。对于成绩较差的学生，教师在设法了解学生个性特征的同时，要设法在教学的各个方面因材施教，给以解决。

教师在教学中，要尊重学生的个性化差异，因为个体不同，产生差异的原因不同。教师要多鼓励、帮助学生，少挖苦、讽刺学生，要以人格的魅力和良好的师德感召和影响学生。

在教学上，通过多层次的设计，使每个学生均在其“最近发展区”取得成功的体验。采取小步伐、多步骤符合学生实际的教学方法，使学生在成功中得到快乐。

教师在教学中应注重让有个性差异的学生进行充分的交流与沟通，而不只是进行分类，使其在交流中互相补充、互相促进、共同发展、缩短差距。尤其应注意的是个性差异的个体均有其长处和短处，要扬长避短。

（八）学生参与教学原则

数学是一种活动，数学活动教学的基本特征之一是学生作为主体，应该积极地参与获取数学知识的活动过程。这种数学活动观不仅对具体数学知识的教学，而且对数学思想方法的教学都具有重要的指导作用。数学思想方法教学作为数学活动的教学，应重在让学生亲身感受、体会、思索、提炼。教师的提示、讲解和引导固然是重要和必要的，但只有组织学生积极参与教学过程，学生通过自己的内化，才能逐步领悟，形成，掌握数学思想方法。正如波利亚所说：“思想应该在学生头脑中产生出来，教师仅仅只起一个产婆的作用。”

建构主义的数学教学观则更加强化了上述观点，表明学生是数学认知活动的主体，数学学习是学生在已有知识和经验基础上的建构活动，教师应当成为学生学习活动的促进者等观点。这种建构是一种社会建构，它需要通过师生之间、学生之间的交流，在数学学习共同体内完成。一切高层次的认知能力都源于个体与其他人的交流，并且通过内化的过程得到发展。数学思想方法的学习是一种高层次的学习，它的教学必须要求学生亲身参与，贯彻学生参与原则。下面说明如何在教学中实施学生参与的原则。

1.创设学生参与的气氛

教师和学生是平等的伙伴关系，是朋友、是教学的合作者，是协同完成同一任务的人，因此课堂上的教师应有轻松自如的表现，从而使学生在宽松的环境中积极敏捷地思维，充分地表现自己。

2.给每个人提供成功的机会

针对学生的实际，为每个学生，特别是学困生创造成功的机会和条件，让大多数学生都有机会获得优异成绩，用以强化学生学习数学的自信心，促使他们产生可以学好也一定能学好的心理意识。

（九）反复渗透教学原则

所谓渗透性原则是指在具体数学知识（概念、性质、法则、公式、公理、定理以及解题知识的应用）的教学中，一般不直接点明所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的教学过程，采用教者有心、学者无意的方式引导学生逐步领会蕴含其中的数学思想方法。

数学思想方法教学贯彻渗透性原则是由数学思想方法本身的特点所决定的。数学思想方法概括性、本质性等特点，还使得它对学习者的心理水平要求较高，学生的知识经验、心理发展都受到年龄特征的影响和限制，不可能将教材具体内容所蕴含的数学思想方法一下子就彻底领悟，只能采取早期渗透、逐步渗透、反复渗透的方法，将数学思想方法的因素与其相关教材内容有机地结合起来，使处于自发状态的隐性思想方法转化为自觉状态。数学教学必须通过数学知识的教学和适当的解题活动突出数学思想方法。

1.渗透数学思想方法是高中数学解题教学的需要

解题是人类最富有特征的一种活动，是学生学习数学的中心环节，是一种实践性技能，是发展数学思维能力、培养良好心理素质的重要手段。正因为如此，解题在数学教学中具有重要的地位。但是由于长期以来人们对解题概念的不科学的理解，导致人们认为“解题＝解题类型+方法”。这种模式忽视了解题目标、过程的分析，以及解题中数学思维方法的培养，导致学生创造能力下降，缺乏独立开拓的创新意识与本领。

2.渗透数学思想方法的教学有利于提高教师的教学水平

只有注意思想方法的分析，才能把数学课讲活、讲懂、讲深。另外，只有数学思想方法与具体数学知识的教学有机结合，并真正渗透其中，才能不断提高教学质量。这就对教师从专业素养、教育理论、能力水平诸方面都提出了更高的要求。

3.渗透数学思想方法的教学有利于学生思维品质和能力培养

引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证，也是现代教学思想与传统教学思想的根本区别之一。

（十）鼓励创新教学原则

《数学课程标准》指出：“在学习活动中，要使学生自主学习，培养学生的创新精神和应用意识。”要让学生积极主动地探索，发现解决数学问题的方法，发现数学的规律。这也是现代教育价值观的一个彻底的转变。如何鼓励学生进行创新学习，培养学生的创新能力，应注意实施以下创新教学策略。

1.创设乐学情景，激发创新热情

“知之者不如乐之者，乐之者不如好之者。”“热爱是最好的老师。”古往今来无数科学家的成长道路已证明了这一点。而培养乐学兴趣则是热爱的先导。所以，教师在教学中要致力于创设学生乐学的教学情境，还应重视和尊重学生的主体地位。只有教师尊重学生，以“以人为本”的理念去建立“民主、平等、和谐”的师生关系，才能激起学生的求知欲、好奇心。学生才能畅所欲言、大胆质疑，才能唤起学生的主体意识、创新意识，也才能使学生的思维纵横驰骋，无拘无束，激起学生的智慧火花和创新热情。

2.鼓励猜想、预测，培养创新意识

“学起于思，思源于疑”，要引导学生大胆猜想质疑。调动直觉思维去推测是培养创新能力的前提。猜想不是空想，而是根据已有知识经验对未来的发展方向做出的一种推测，其前提是要敢想。试想，没有猜想怎么会有飞机上天等伟绩。猜想、预测是创新的前提与动力，也是萌发学生思维火种、点燃智慧火花的手段。所以，教师一定要注重点燃猜想的火花，创造成功的预感。“教学艺术不在于传授，而在于激励、唤醒、鼓励”（第斯多慧），在这一点上也正是我们教师要努力做到的。猜想、预测是学生创新意识的重要表现，也是学生创新活动的前提，因而我们在教学中应大力倡导。

3.营造思维时空，为创新创设时机

“营造思维时间”包含两个方面：一是从时间上营造，这里的时间指教师提出问题不要急于公布答案，要给学生充分考虑的时间。教师要有足够耐心去等待学生智慧火花的点燃，这一点许多老师平时都没有注意到，往往花好长时间编出一个好的题目，结果匆匆收场，不光没有使学生的创新能力得到开发，反而束缚了学生思维能力、创新能力的发展。二是从空间上营造，教师提出的问题要有空间上的跨度即要有纵深感，要注意学生的求异思维、创新能力的发展。要充分调动学生的思维活动，鼓励学生有所创新、有所突破，哪怕只是一点点。所提出的问题要有利于发展学生的创新能力，这当然不是指那些难、繁、偏、旧的题目。教师要经常设计一些开放性的、有利于培养求异思维的练习和使学生能有所创新的题目。总之，教师要为学生的创新学习创设时机。

4.培养创新人格，以利于开展创新学习

在现实生活中由于教育的功利性的影响，不少教师、家长对学生的要求近乎苛刻，要他们循规蹈矩、言听计从、百依百顺。完全按照他们的模式培养孩子，孩子因此完全处于被动状态。久而久之，学生也完全变成学习机器。教师教什么学什么，怎么教就怎么学，学生不敢越雷池半步，表现在学生在做具体的题目时，完全按照教师的思维模式，没有半点新意。而专家经过研究发现，创造性不仅受认知因素影响，而且受学生个人心理、性格、品质的影响也非常大。研究成果还显示，凡具有高度创造性的儿童与成人，在家庭中都有充分的自由，有较多的解决问题的机会。这难道不能给我们一点启示？这也证明人格因素在一个人的成长中所处的地位。要培养良好的创新人格必须做到独立性、兴奋性、冲动性、幻想性同时与顺从性、情绪稳定性、自制性、反对现实性的有机结合与统一。总之，我们要培养的是活泼、好动，既注重实际又不囿于传统，敢于突破常规的具有否定精神的良好个性人格，以利于开展创新学习。

（十一）情景性教学原则

“让学生在生动具体的情境中学习数学”是课标的一个重要理念。新教材最大的特点和优点之一就是许多知识的引入和问题的提出、解决都是在一定的情境中展开的。因此，情境教学是提高数学教学有效性的一项重要教学策略。贯彻情景性教学原则，在教学中要实施以下三方面策略。

1.用好新教材中教学情境的文本资源

新教材特别注意选取生动有趣、密切联系儿童生活的素材，精心设计了单元主题图或重要课题的情境图，体现了“数学问题生活化”的理念。教师要充分发挥教学情境图的作用，一是用放大的教学挂图，或运用现代教育技术将静态的情境动态化、具体化。二是要给学生提供观察思考的时间，让学生看懂图意，获取和选择信息，以利于新知识的引入或发现问题。这有别于语文的“看图说话”，这里要突出数学的特点，要引导学生学会用数学的方式去观察思考，从数学的角度去发现问题、提出问题。

2.教师应是教学情境的直接创设者

教师应根据教学的需要和学生的实际，从学生身边的事物和现象中选取素材，创设新的教学情境，如现实生活情境或模拟现实生活的情境、操作情境、趋近学生思维最近发展区的问题情境、探究情境等，使学生不仅感到生活中处处有数学，而且能激发学生认知的需要、学习的兴趣和探索的动机。

3.正确认识和适度运用情境教学策略

在公开课中，有的教师创设了太多、太杂的教学情境，多媒体课件使人眼花缭乱、目不暇接，人为地降低思维要求。这需要进一步明确情境教学的目的和作用，科学适度地进行情境教学。

总之，我们不要约束学生的个性发展，不要给他们条条框框，要让学生活起来、动起来。既要注重点，更要注重面。生活是丰富多彩的，事物是千变万化的，为何要我们的孩子不拘一格呢？给学生一片自由天空，让学生插上想象的翅膀才能有利于创新能力的发展。

以上这些教学原则并不是孤立的，而是彼此密切联系的，相辅相成的。因此，在教学过程中，教师要深刻理解这些教学原则的整体作用。结合教材和学生特点，配合运用，才能实现教学目的，提高数学教学的有效性。