小学数学教学设计：案例多边形在钉子板上

2023-08-11 理论教育版权反馈

【摘要】：教学重点探索钉子板上多边形的面积与多边形边上的钉子数、内部钉子数之间的关系。学生任意在方格纸上画一个多边形，老师迅速报出格点多边形的面积，学生计算验证。出示2个内部格点数为2的多边形，运用公式算出它们的面积。

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教学内容

苏教版义务教育教科书《数学》（五年级上册）第108～109页。

教学目标

1.利用格点图探索钉子板上围成的多边形的面积与多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2.经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，感悟归纳推理和演绎推理，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3.获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，激发学习数学的兴趣。

教学重点

探索钉子板上多边形的面积与多边形边上的钉子数、内部钉子数之间的关系。

教学难点

全面总结多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

教学过程

一、介绍格点多边形，揭示课题

出示钉子板，引导学生思考：用钉子板怎么玩？

介绍格点和格点多边形：在一张纸上纵向、横向画上一些平行线，相邻平行线之间的距离都是1厘米，这些平行线的交点称为格点。在格点图上，像这样依次连接一些格点，得到的封闭图形，称为格点多边形（课件中在格点图上画出一条金鱼形多边形）。

谈话：老师不用数方格或者面积公式，就能知道格点多边形的面积，你们相信吗？

学生任意在方格纸上画一个多边形，老师迅速报出格点多边形的面积，学生计算验证。

提问：你们想知道老师是怎么算格点多边形面积的吗？是老师直接告诉你们呢？还是你们自己探究？

提问：你觉得格点多边形的面积和它的什么有关？（周长、边上的格点数、内部格点数……）

这个图形比较复杂，让我们首先从比较简单的多边形开始研究。

【设计说明：课始将钉子板围多边形转移到在方格纸上画多边形，既节省围的时间，提高学习效率，也避免了学生有时难以区分围出多边形的钉子是在多边形内部还是多边形边上。通过学生任意画一个格点多边形，教师迅速报出其面积的过程，激起学生探究格点多边形面积计算技巧的兴趣。兴趣是最好的老师，当学生探究的热情被点燃，后续的研究就会变得积极主动，全情投入。】

二、探索格点多边形（内部格点数为1）面积与边上格点数的关系

1.计算面积，填写表格。

课件出示4个格点多边形（内部格点数均为1），学生计算它们的面积。

谈话：刚才同学猜测面积和多边形边上的格点数有关，你能数一数多边形边上格点数，然后将数据填在表格中，并找出多边形面积和边上格点数的关系吗？

学生计算并填表，寻找面积与边上格点数的关系。

2.寻找规律，交流发现。

提问：你发现这里的多边形面积和边上的格点数有什么关系？

学生交流：多边形的面积=多边形边上的格点数÷2，也即多边形的面积是多边形边上的格点数的一半。

提问：数学追求简洁美，如果面积用S表示，多边形边上的格点数用n来表示，那刚才发现的这个规律可以怎样表示？（板书：S=n÷2）

3.运用规律，反思质疑。

出示3个格点多边形，前两个内部格点数为1，最后一个内部格点数为2。学生运用刚才的发现计算多边形的面积并验证发现是否正确。

提问：前两个图形都可以用这个规律来计算面积，第3个图形怎么不对了？它和前面的图形有什么不一样的地方吗？

小结：看来，多边形的面积不仅和多边形边上的格点数有关，还与多边形内部的格点数有关。这个规律要成立，得有个前提，那就是多边形内部的格点数是1。

说明：我们可以用a表示多边形内部的格点数，也就是说当a=1时，S=n÷2（在刚刚得出的关系式前补充板书：a=1）。

提问：格点多边形内部点数的情况有多少种可能？为什么偏偏内部点数为1的时候有这个规律呢？老师这儿有个示意图，希望能给你们一点儿启示。

学生看图，小组内交流自己的发现，然后全班交流。

【设计说明：内部格点数为1的多边形面积与边上格点数的关系是学生最容易发现的，在这个环节，老师没有花过多的时间去指导和交流。在此发现的基础上，教师通过运用发现计算多边形面积的练习，让学生关注到多边形面积不仅与边上格点数有关，还与内部格点数有关。只有当内部格点数为1时，多边形面积才是边上格点数的一半。教师还借助内部格点为1的多边形切成若干个三角形的示意图，帮助学生理解这一规律的内在原因，让学生知其然且能体会其所以然。】

三、探究内部格点数不为1的多边形面积与格点数的关系

1.运用归纳法研究内部格点数为2的多边形的面积。

提问：刚才我们发现了内部格点数是1的多边形面积与边上格点数的关系。那接下来我们该研究什么样的多边形？（板书：a=2）

课件出示2个内部格点数为2的多边形，提问：我们可以怎样研究内部格点数为2的情况？

学生运用a=1时的方法，从数据当中找规律，发现内部格点数为2的多边形面积与边上格点数、内部格点数之间的关系。

2.运用演绎法研究内部格点数为2的多边形的面积。

提问：我们已经知道了内部格点数为1的多边形面积与边上格点数的关系，我们能不能想办法把内部格点数为1的多边形在边上格点数不变的情况下，拉伸成内部格点数为2的多边形？让我们观察一下，在多边形内部格点数增加的过程中，面积到底是怎么变化的？

提问：在边上格点数不变的情况下，内部格点数增加1个，多边形的面积增加多少？以小组为单位，用这样的方法再研究一下这2个多边形，在小组内交流各自的发现。

指名同学汇报，教师板书：S=n÷2+1。

3.运用规律计算面积。

出示2个内部格点数为2的多边形，运用公式算出它们的面积。

【设计说明：对于内部格点数为2的多边形的面积与格点数的关系，学生一般都是通过继续举例寻找规律的方法得出结论。本环节的教学，教师在学生运用归纳法得出结论之后，继续带领学生向更深处思考，内部格点数增加1多边形的面积会怎样变化？能不能抓住这个变化，直接从内部格点数为1的面积公式推导出内部格点数为2的面积公式？学生在观察、操作、思考的过程中，不仅发展了合情推理能力，也发展了演绎推理能力。】

四、探究一般情况下多边形面积与格点数的关系

1.提出猜想，进行验证。

提问：请同学们猜一猜，当a=3时，S=？当a=4时，S=？……

你是怎么想的？根据学生的回答进行课件演示。

板书：a=4，S=n÷2+3，

a=5,S=n÷2+4,

……

如果a=0呢？板书：a=0，S=n÷2-1。

2.归纳发现，建模。

提问：同学们发现了这么多公式，非常厉害！但是数学家皮克在描述这些规律时却只用了一个公式，你们能把这些规律概括成一个公式吗？

学生讨论，交流汇报。然后教师板书：S=n÷2+a-1。

五、运用规律解决问题

谈话：有了这个皮克定理，我们再回头看看课一开始的格点图上那个小鱼，你们能迅速求出它的面积吗？

六、课堂总结，拓展延伸

提问：今天这节课，我们一起研究了什么？你有什么收获？

延伸：这个公式得出以后，数学家又对其进行了推广，还进一步研究了长方形格点图、三角形格点图中格点多边形的面积公式，感兴趣的同学可以自己探究。

【设计总评：钉子板上的多边形一课所研究的规律与学生已有的面积计算的经验相去甚远，学生学习这一内容有一定的难度。本节课一开始教师通过快速计算不规则多边形的面积的展示，激起学生探究格点与面积的关系的欲望。在研究规律的过程中，教师除了带领学生经历教材所安排的举例、列表、观察、猜想、验证过程，运用归纳法发现规律外，还借助多媒体课件动态展示内部格点数变化过程，引领学生发现内部格点数增加多边形面积随之如何变化的规律。归纳与演绎穿插进行，相映成辉，学生的推理能力在充分的探究中得到很好的提升。】

【问题与讨论】《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求将推理能力的发展贯穿在整个数学学习过程中，推理一般包括合情推理和演绎推理，你觉得小学阶段应如何处理合情推理与演绎推理的关系？

小学数学教学设计：案例多边形在钉子板上

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