小学数学教学设计：案例正比例的意义

2023-08-11 理论教育版权反馈

【摘要】：教学目标1.使学生理解正比例的意义，掌握成正比例量的变化规律及特征。教学过程一、厘清上位概念，为正比例的意义奠基1.出示：（）÷（）=6。】二、把握本质内涵，为正比例的意义求解1.引导学生发现行程问题中变量与不变量之间的关系。

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教学内容

苏教版义务教育教科书《数学》（六年级下册）第56～57页。

教学目标

1.使学生理解正比例的意义，掌握成正比例量的变化规律及特征。

2.能根据正比例的意义判断两种相关联的量成不成正比例关系。

3.进一步培养学生观察、比较的能力，发展学生抽象、概括的能力，渗透变与不变的辩证思想。

教学重点

结合实际情境认识成正比例量的特点，加深对成正比例量的理解。

教学难点

能根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。

教学过程

一、厘清上位概念，为正比例的意义奠基

1.出示：（）÷（）=6。谁来说说在括号里可以填哪些数？观察大家填写的这几组数，你有什么发现？

揭示：除数变了，被除数也随之变化，像这样一种量变化，另一种量也随之变化，我们就说这两种量是相关联的量，被除数和除数是两种相关联的量。

2.练习：认真思考，看看下面的两种量是不是相关联的量？

（1）张师傅生产零件，生产的时间和生产的数量。

（2）用20元买笔记本，笔记本的单价与本数。

（3）一根绳子长20米，剪去的米数和还剩的米数。

（4）圆的周长和圆周率。

（5）小明的身高和体重。

3.指出：数学是研究关系的学问，不相关联的量之间没有内在的联系，而相关联的量则有着内在的规律。接下来，我们就一起来研究相关联量中的一种情况。

【设计说明：正比例的上位概念是相关联的量，只有为正比例提供广阔的背景，学生才能弄清知识的来龙去脉。对于何为相关联，学生会觉得很抽象，教师从一道简单的填空题入手，让学生感受到两个变量之间的依存关系，从而清楚认识了两种相关联的量，在此基础上，让学生进一步辨析，进而深刻理解两种相关联量的含义。】

二、把握本质内涵，为正比例的意义求解

1.引导学生发现行程问题中变量与不变量之间的关系。

一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表：

（1）判断：路程和时间是相关联的量吗？它们的变化有什么共同点？

（2）探究：为什么时间扩大几倍，路程也扩大相同的倍数？它们背后的原因是什么？你能写几组相对应的路程和时间的比，并求出比值吗？比值80表示什么意思？像这样的式子能写得完吗？如果用一道式子来概括这些算式，该怎么写？

（3）想象：下面哪幅图能表示汽车匀速行驶时的路程和时间之间的关系？

（4）阅读：在这种情况下路程和时间之间有什么关系呢？自学书本，圈一圈，画一画。

（5）归纳：路程和时间是相关联的量，当路程和相对应时间的比值总是一定（也就是速度一定）时，行驶的路程和时间成正比例关系，行驶的路程和时间是成正比例的量。

（6）揭题：这就是我们今天要学习的内容——“正比例的意义”。

【设计说明：正比例的概念是算术思维向代数思维的重大跨越，对于小学生而言非常抽象，因而让学生充分经历数据的变化过程，体会变化中的不变显得尤为重要。首先，教师引导学生借助表格中的数据，发现时间和路程的变化规律，即时间扩大几倍，路程也扩大几倍；其次，教师通过追问，让学生发现变化中的不变，即速度始终是一定的，并归纳出数量关系式；再次，借助直观图形，帮助学生建立成正比例的两种量的表象；最后，让学生自学书本，弄清路程和时间成正比例的两个必要条件。教师基于正比例的本质提出了核心问题，促使学生思维聚焦，很好地实现了知识建构。】

2.自主探究购物情境中变量与不变量的关系。

购买一种铅笔的数量和总价如下表：

自学提示：

（1）填一填，并说说总价和数量的变化情况。

（2）算一算，总价和对应数量比值的大小相等吗？

（3）写一写，你能用式子表示总价和对应数量之间的关系吗？

（4）判一判，铅笔的总价和数量成正比例吗？为什么？

【设计说明：教科书中的“试一试”，旨在引导学生在另一组数量关系中继续感知正比例关系。虽然它与教科书中“例1”的认知线索相似，但留给学生的自主空间更大。因此，教师在教学方式上选择由扶到放，让学生在模仿、借鉴中独立完成预先设计的系列问题，进而在交流中抓住成正比例量的核心要素，即铅笔总价和数量是相关联的量，总价和数量的比值一定，顺理成章地得出铅笔总价和数量成正比例的结论。】

3.比较归纳两种成正比例量的字母表达式。

（1）异中求同：在前面的两个问题中，成正比例的两种量都有什么共同特点？

（2）丰富感知：生活中还有类似于这样的变化中蕴含不变的规律吗？

（3）抽象概括：如果用x、y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以如何表示？k保持不变，可以怎么说明？

（4）适时追问：如果x、y成正比例，y、x成正比例吗？

【设计说明：在研究前两个问题的基础上，让学生归纳成正比例的两种量的共同特点。到生活中寻找相似的例子，可以进一步为成正比例的量寻找例证。例证的无法穷尽，促使学生寻求更为一般的表达方法，用字母表达式表示正比例关系便成为顺理成章的结果。最后的追问通过变式训练，使学生对正比例关系本质内涵的认识达到了一个新的高度。】

三、深化理性认识，为正比例的意义扩容

1.在游戏中深化理解正比例的意义。

（1）还记得《数青蛙》的儿歌吗？一起来说说看：一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛四条腿……

（2）形成表格。

（3）观察表格，想一想表格中哪两种量是成正比例的量？2.在比较中深化理解正比例的意义。

（1）出示材料。

（2）对比交流：左图和右图中的长和宽都是成正比例的量吗？为什么？

（3）归纳小结：成正比例的量必须符合两个条件，这两种量必须是相关联的量，而且它们对应的比值必须是一定的。

3.在联想中深化理解正比例的意义。

（1）出示几本同样的数学书，追问：这几本数学书有哪些量是一定的？

（2）你能想到成正比例的量吗？（数学书的体积和数学书的本数成正比例，数学书的总价和数学书的本数成正比例，数学书的总页数和数学书的本数成正比例，数学书的厚度和数学书的本数成正比例，数学书的总重量和数学书的本数成正比例……）

4.在回顾中深化理解正比例的意义。

我们再回到课始的几种量，他们是成正比例的量吗？为什么？

【设计说明：学生概念的形成离不开多样的、富有层次的练习。游戏环节使得数学知识“好吃又有营养”，“好吃”是因为儿歌是儿童喜欢的形式，“有营养”是因为这则儿歌有着丰富的内涵，有利于儿童深化对正比例的理解。正例和反例的运用，一方面可以让学生抓住正比例的核心要素“比值一定”；另一方面让学生意识到正比例不仅存在于数量之中，也存在于图形之中。通过几本数学书让学生联想成正比例的量，既拓展了学生的思维空间，从封闭到抽象；又提高了抽象的程度，从表格到文字。而对于课始问题的判断，使得课堂首尾呼应，又加深了学生对于正比例的理解。】

四、提炼核心内容，书写心得

通过这节课的学习和研究，你对正比例的意义有怎样的认识？请用下面的形式写下你的收获，然后再汇报：同学们，今天我探究了……，我明白了……，我还想探究……

【设计说明：采用书写个人心得、集体汇报的方式结课，有利于学生静心与自我展开对话，有利于学生生发新的问题，进而产生强烈的探究欲望。好的结课不仅要让学生带着对问题解决的满足感走出课堂，而且要让学生带着探究问题的好奇心走出课堂。】

小学数学教学设计：案例正比例的意义

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