小学数学教学设计：量的内容体系与教学要求

2023-08-11 理论教育版权反馈

【摘要】：小学数学的内容体系中，常见的量主要包括货币、时间、质量、长度、面积、体积（容积）等。数量关系是数学研究的基本对象，量与计量本身就是对现实数量的刻画。考虑到小学生生活经验和认知水平以及度量衡的统一和国际单位制的推行等因素，小学数学教材中只出现了各计量类型中在日常生活中常见的量。因此，从教学的角度看，又不宜恣意拔高教学要求和学习难度。

小学数学的内容体系中，常见的量主要包括货币、时间、质量、长度、面积、体积（容积）等。相应的计量单位主要有：

货币单位——分、角、元；

时间单位——秒、分、时、日、月、年；

质量单位——克、千克、吨；

长度单位——毫米、厘米、分米、米、千米；

面积单位——厘米2、分米2、米2、公顷、千米2；

体积（容积）单位——厘米3（毫升）、分米3（升）、米3。

这些量之所以称为“常见的量”，是因为它们在日常生活中常见常用。因而，在它们身上，很好地体现了数学来源于生活，又应用于生活的基本原理。当然，要准确把握“常见的量”所蕴含的数学思想、内涵、价值、意义等，也并非一件简单的事。

首先，每一个量（计量单位）都有其特定的数学含义（意义），同时也具有确定的量值（大小）。除了元、角、分是人们创造出的便于交换和流通的货币单位外，其余计量单位大多是用于对现实世界中的事物某种属性的具体描述，因而，它们的意义确定都与现实生活中的具体事物、实物、场景等有关。

例如，长度的主单位是米（meter），1795年法国人最初提出“米”的定义是采用当时最稳定而不变的自然物——通过巴黎的地球子午线的四千万分之一^[2]。标准的米尺用铂铱合金制成，在0℃时米尺两端的刻线之间的距离为1米（m）。1870年，马克士威（JamesClerk Maxwell）提出以原子光谱的波长定义长度单位，罗兰德（Rowland）首先使用光栅测量一公尺长度中的波长。1960年以后，用激光定义“米”。目前，国际上采用的长度单位是在1983年10月确定的，即第十七届国际权度大会重新把国际标准制（SI）中的长度单位“米”定义为：光于1/299792458秒内在真空中所走的长度。“米”被严格定义后，它的倍数单位十米（dam）、百米（hm）、千米（km）和分数单位分米（dm）、厘米（cm）、毫米（mm）等都是按照十进制原则规定的。

再如，质量的主单位是千克，标准千克的砝码是用铂铱合金制成的圆柱体，它在纬度45°的海平面上的重量为1千克。容积的主单位是升，1升等于1千克的纯水在标准大气压下4℃时的体积。

这些规定性，并不一定都要作为教学内容教给学生。不过，恰当地利用好这些史料，可以使学生更好地感受到“量与计量”所蕴含的数学文化。

其次，要准确把握计量单位的逻辑体系。把握逻辑体系，最为重要的是关系和结构。数量关系是数学研究的基本对象，量与计量本身就是对现实数量的刻画。然而，“无论是认识数量还是认识数都不是数学的本质，数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系”“数量关系的本质是多与少，抽象到数学内部就是数的大与小”。^[3]从这个角度来看常见的量，可以看到一个更加丰富的世界。比如，认识人民币，必不可少的要学习3个货币单位——元、角、分。如果只是知道人民币有这3个单位，还只是“点状”思维。关键还要懂得元与角之间的关系（进率）是10，即1元等于10角，反过来，10角就是1元；角与分之间的关系（进率）是10，即1角等于10分，反过来，10分就是1角。根据这两个10，又可以推出元与分之间的关系（进率）是100（10个10是100），即1元等于100分，反过来，100分就是1元。这样，处在“点状”的元、角、分就变成了一个有着逻辑关联的整体结构。生活中各种各样的人民币应用和转换（比如，购买价格1元的物品，可以直接付1元的人民币，也可以付两个5角，或者1个5角、1个2角、3个1角等），都是以这个结构为基础。

带着联系的眼光，可以发现，不同类型的计量单位之间有时也存在着密切的联系。“如计量专家之所以规定1厘米=10毫米，是由于他们统一规定的长度单位系列是十进制。即每两个相邻的长度单位之间的进率都是十。而我们所用的计数制也是十进制，这就使得长度用不同单位时，换算变得非常方便。”^[4]基于这样的逻辑体系，结合“长度是对一维空间图形的度量，面积是对二维空间图形的度量，体积是对三维空间图形的度量”的关联性，小学教材中的长度单位、面积单位、体积单位之间就存在着如下相互独立又彼此呼应的逻辑体系。

长度单位：毫米、厘米、分米、米、十米、百米、千米。

面积单位：毫米2、厘米2、分米2、米2、公亩、千米2。

体积单位：毫米3、厘米3、分米3、米3。

由于上面加着重号的3个单位（十米、百米、公亩）在现行教材中不再出现，因而，“每相邻两个长度单位之间的进率为10、每相邻两个面积单位之间的进率为100的特征”就变得不明显、不连贯，完美的链条出现了“断裂”。这种“断裂”常常会让我们把教学目光局限到“点”（单一的计量单位）上，而不能深入揭示其内在的关联性。

当然，这样的判定还只是就所列举的计量单位而言。其实，对计量单位之间关联性的认识，并不能太绝对。比如，小学阶段接触到的质量单位也就3个——吨、千克、克，毫无疑问，它们相邻两个单位之间的进率是1000。事实上，如果将一些未列入课本的质量单位也考虑到，这样的规律又会被另一种样态取代。

毫克（mg）　　　　百万分之一千克（1/1000000千克）

厘克（cg）　　　　十万分之一千克（1/100000千克）

分克（dg）　　　　万分之一千克（1/10000千克）

克（g）　　　　　　千分之一千克（1/1000千克）

十克（dag）　　　　百分之一千克（1/100千克）

百克（hg）　　　　十分之一千克（1/10千克）

千克（公斤）kg　　主单位

公担（q）　　　　　千克的百倍（100千克）

吨（t）　　　　　　千克的千倍（1000千克）

由于计量在人类社会发展中历史久远，加之计量的种类比较多，因此，计量单位的世界非常广阔，像时间单位不仅涉及12进制（钟面上12个数字）、24进制（记时法）、60进制（时分秒），还和大自然中的天体运行（365天、366天）、历法的演变等有着紧密的联系，就显得更为复杂了。考虑到小学生生活经验和认知水平以及度量衡的统一和国际单位制的推行等因素，小学数学教材中只出现了各计量类型中在日常生活中常见的量。因此，从教学的角度看，又不宜恣意拔高教学要求和学习难度。但是，作为教育者心中要有数，特别是建立其基于关系和结构的思维非常重要。“数量关系是一切数学研究的核心。从‘关系’上认识数学，可以居高临下，在数学结构、数学思想和数学观的高度审视小学数学。”^[5]

小学数学教学设计：量的内容体系与教学要求

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