小学数学教学设计：数感培养案例研讨

案例1-1：“数数和千以内数的认识”教学设计

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教学内容

苏教版义务教育教科书《数学》（二年级下册）第28～29页。

教学目标

1.通过观察、操作、比较等活动，认识计数单位“千”，知道“10个一百是一千”，以及千以内的数位顺序；理解并掌握千以内数的组成，能按要求正确数数。

2.在认识计数单位“千”、千以内数的组成和顺序的过程中，进一步体验利用已有知识和经验获得新知的过程，培养初步的观察、比较、分析和类比等思维能力。

3.初步体会千以内的数在日常生活中的广泛应用，感受千以内数的实际大小，发展数感，激发对数学学习的兴趣。

教学重点

掌握千以内数的顺序，准确理解计数单位“千”的实际意义；渗透自然数最本质的性质，即任意一个自然数加上1后都能得到它的后继数。

教学难点

引导学生利用已有知识和经验获得新知，发展数感。

教学过程

一、激活认数经验，初步感知比100大的数的特点

生活中，我们经常要用数来表达信息。你见过比100大的数吗？

（出示教材截图例1的情境图）请看这两幅图，你能知道什么？

134和300都是比100大的数，这样的数究竟表示多少呢？今天，我们就来认识比100大的数。

【设计说明：生活中接触过的数，可以激活学生已有的认数经验，同时自然引入新课的学习内容。】

二、丰富认数活动，初步认识千以内的数

1.认识整百数、几百几十几和几百几十的组成，初步理解千以内数的意义。

（1）认识整百数。

（出示例1的方块图）每板方块中有多少个小正方体？数一数。

（课件演示：从1个小正方体起，10个摆成一排，10排摆成一板）10个一是1个十，10个十是1个百。

这是1个百，数一数图中一共有几个百？3个百是多少？在计数器上拨一拨。为什么要在百位上拨3个珠？

小结：3个百是三百。

【设计说明：由于学生是第一次接触用10乘10的方块表示一百，所以在出示方块图后，让学生亲自数一数一板方块里有多少个小正方体，并演示用小正方体摆出“一”“十”“百”的过程，既是整理已学过的计数单位，又帮助学生了解用10乘10的方块表示1个百。】

（2）认识几百几十几。

（出示324的方块图）这里一共有多少个小正方体？你是怎么数的？

在计数器上表示出三百二十四。

小结：百位上拨3个珠表示3个百，十位上拨2个珠表示2个十，个位上拨4个珠表示4个一；3个百、2个十和4个一合起来就是三百二十四。

【设计说明：认识整百数、几百几十几和几百几十的组成都是先用方块表示数，再用计数器表示数，但是活动的设计各有侧重。“认识整百数”的活动，重点在于突出千以内数的认识。“认识几百几十几”的活动，重点在于掌握数的组成，感悟十进制计数法的特点。“认识几百几十”的活动，重点在于强调计数器上某一位表示“0”的方法。】

2.感受计数单位“千”的形成过程，加深对十进制计数法进位规则的认识。

（1）在计数器上一十一十地数数。

（在计数器上拨出三百五十）如果再在十位上拨上1个珠（在计数器十位上拨上1个珠），现在计数器上表示的数是多少？如果继续在十位上拨上1个珠呢？

你能边拨珠边一十一十地数，从三百五十数到四百六十吗？

三百九十，再添上1个十，十位上正好满10，要向百位进1。所以，一十一十地数，三百九十后面是四百。

（2）在计数器上一个一个地数。

一边在计数器上拨珠，一边按要求数一数：一个一个地数，从九百八十九数到九百九十九。

九百八十九添上1是九百九十。

一个一个地数，数到了九百九十九，还能继续数下去吗？

【设计说明：再次安排学生借助计数器数数，结合数数过程中的难点“数到九百九十九后，还能继续数下去吗？”展开讨论，进而产生认识新的计数单位的心理需求。】

（3）认识计数单位“千”。

九百九十九添上1是一千，“千”是比“百”大的计数单位；从右边起，第四位是千位。

（出示10板由100个小正方体组成的方块）现在一百一百地数，从一百数到一千（课件相应演示把10板方块拼成一个大正方体的过程）。

你有什么发现？（板书：10个一百是一千。）

【设计说明：借助计数器探索、演示的过程是学生亲历新知产生的过程，进一步感受十进制计数法的特点。之后，再借助小正方体组成的方块，一百一百地数，从一百数到一千，旨在让学生从不同角度感受计数单位“千”的形成过程，发现“千”与“百”之间的进率。】

三、丰富认数练习，加深对数的意义及十进制计数法的认识

1.在计数器上一边拨珠一边数。

一十一十地数，从八百六十数到一千。

一个一个地数，从七百八十六数到八百零五。

小结：一十一十地数，八百九十后面是九百，九百九十后面是一千。一个一个地数，七百八十九后面是七百九十，七百九十九后面是八百，八百后面是八百零一。

2.接着下面各数再数出5个数：五百零七，二百九十八，九百九十五。

3.图中一共有多少个方块？你是怎么数出来的？

右图里有（ ）个百、（ ）个十和（ ）个一。

小结：4个百、2个十和6个一合起来是四百二十六。

4.观察左边计数器上7个粉色珠子和右边计数器上7个蓝色珠子，你有什么想法？

这个数是由4个（ ）和7个（ ）组成的。

这个数是由4个（ ）和7个（ ）组成的。

小结：在计数器上，百位上有几个珠就表示几个百，十位上有几个珠就表示几个十，个位上有几个珠就表示几个一。

【设计说明：练习设计围绕千以内数的意义，通过具体、丰富的活动，进一步熟练数数的方法，掌握数的组成，理解数的基数意义和序数意义以及十进制计数法，培养数感，发展思维。】

【问题与讨论】数感是对数的感悟，它表现为对数与量的一种直观认知能力。请结合课例谈谈，在小学低年级数学教学中，如何帮助学生建立关于数的直觉、形的直观，发展数感。

案例1-2：“初步认识负数”教学设计

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教学内容

苏教版义务教育教科书《数学》（五年级上册）第1～2页。

教学目标

1.初步学会描述生活中一些简单的具有相反意义的量，体会数学与日常生活的联系。

2.在熟悉的生活情境中初步了解正、负数，学会负数的读、写方法，知道0既不是正数，也不是负数，正数都大于0，负数都小于0。

3.经历创造符号表示相反意义量的过程，发展符号感，享受创造性学习的乐趣；通过人类认识和使用负数的历史的介绍，体会中国古代文明对于数学发展的卓越贡献，激发民族自豪感。

教学重点

结合具体的实例初步了解正数和负数的含义；知道正数、负数与0的关系。

教学难点

通过提供直观形象的模型让学生初步了解正数和负数表示具有相反意义的量。

教学过程

一、自主创造，引出新数

1.引入生活实例。

水果仓库正在运进和运出，运进苹果2吨，运出香梨2吨。

水果进出库情况记录单
2018年5月7日

这样记清楚吗？为什么？那有办法把水果运进和运出的情况记清楚吗？

【设计说明：数学的产生与实际生活息息相关。物品的运进和运出是学生熟悉的普通生活情境，通过观察情景，让学生体会生活中存在着具有相反意义的量。通过“想办法把水果运进和运出的情况记清楚”的探索性问题，将学生的思维置于“愤悱”状态，激发创新表达的强烈欲望。】

2.相反关系举例。

运进2吨和运出2吨意思正好相反。生活中还有像这样意思相反的事例吗？

它们叫做相反意义的量。怎样表示相反意义的量呢？历史上的数学家们对这个问题进行过长期的探索和研究。

1700多年前，我国古代数学家刘徽首创了两种方法，一种是用红、黑两种不同的颜色来区分，另一种是用摆放位置的正与斜来区分。之后又出现了划斜杠、加符号的方式。

400多年前，法国数学家吉拉尔创造的“+2”“-2”这种表示方法，被广泛认可，一直沿用到现在。

【设计说明：把0以外的数分为正数和负数，源于表示两种相反意义量的需要。在引出“运进2吨”和“运出2吨”这两个生活中常见的相反数量之后，让学生举出“上升与下降”“前进与后退”以及“收入与支出”等类似实例，旨在提取小学生日常生活中的相关储存，为理解相反意义的量提供经验支撑。适时引入数学史料，使学生初步感受用数学符号表示正、负数的发展历程，以获得思想的启迪与精神的熏陶。】

二、初识新数，学会读写

统一用“+2”和“-2”的表示方法，把刚才举出的一些相反意义的量都这样表示出来。

这些数与我们以前学习和运用的数好像不一样。中国是最早认识和使用这些数的国家，据早在两千多年前的《九章算术》中记载，那时的人就有了“粮食入仓为正，出仓为负；收入的钱为正，付出的钱为负”的思想，后来数学家统一了它们的读法和写法。比如运进2吨记+2吨，读正二吨；运出2吨记-2吨，读负二吨。+2是正数，-2是负数。“+”是正号，“-”是负号。

由于生产和生活的需要，人们创造了这样的新数：正数和负数。

【设计说明：在数的前面加上“+”和“-”表示正数和负数，是数学中的约定。教学中没有简单直接地告诉学生这样的约定，而是让学生在自主探究用怎样的形式表示相反意义量的基础上，充分体验用数学符号表示正数和负数既简明易懂，又便于交流沟通，感受数学符号的便利。这时，“负数”概念的揭示就显得水到渠成了。在记录数据和数学史料的介绍中，让学生感悟正、负数的意义，学习正、负数的读写方法，体验由具体到抽象的符号化、数学化过程，同时也在亲历中感受到负数的价值。这一过程力求呈现数域扩展的清晰脉络，建构学生认知的发展线索。】

三、沟通联系，丰富认识

1.联系气温读数，直观形象地了解负数。

温度计上0刻度上面和下面的两个刻度10表示的气温一样吗？

这样一组相反意义的量可以分别用什么数来表示？

【设计说明：教学用正数和负数表示气温，旨在帮助学生进一步感受相反意义的量，了解负数的意义。学生在科学课上已经认识了温度计，教师在此基础上充分把握学生已有的经验，提出两个问题：“0刻度上面和下面的两个刻度10表示的气温一样吗？”“这样一组意义相反的量就可以分别用什么数来表示？你们会吗？”可以使学生清楚地看到零上10℃与零下10℃不同的表示方法，帮助学生在新旧知识衔接处架起思维桥梁，有利于他们实现认知结构的自我完善、自我扩展。】

请你用今天学的方法表示3个城市的气温。

3个城市去年冬季某一天的最低气温

显示杭州、洛阳气温的温度计上水银柱都指着刻度4，为什么一个是+4℃，另一个却是-4℃呢？

【设计说明：通过杭州、南京、洛阳3个城市某天的气温，使学生认识到：在温度中，0℃是区分零上温度和零下温度的分界点，比0℃高的温度用正数表示，比0℃低则用负数表示，既实现了对0的再认识（0的意义已经不仅是表示“没有”），又初步将正数、负数、0有机地整合到一个新的数系——有理数之中。】

2.联系海拔高度，进一步丰富对负数的感知。

我国的新疆吐鲁番盆地是地球上海拔最低的盆地，大约比海平面低155米。它的海拔高度大约是多少米？（-155米）

地球表面海拔最高的珠穆朗玛峰，大约比海平面高8844.43米。它的海拔高度大约是多少米呢？（+8844.43米）

3.沟通新旧知识的内在联系。

正数前面的正号可以省略不写，比如海拔+8844.43米也可以记作8844.43米，读作八千八百四十四点四三米。前面大家记录在黑板上的哪些数前面的符号可以省略？（正数前面的正号都可以省略。）

去掉正号，这些数你们熟悉吗？负数中的负号能省略吗？为什么？

【设计说明：“温度计上0℃这个分界点清晰可见”，而海拔高度却以海平面为分界，稍微抽象一些。用正、负数来表示海拔高度，让学生对相反意义量再一次感知。介绍“海平面”“比海平面高”“比海平面低”等概念，突出以海平面为基准，有利于学生体会正数与负数分别表示具有相反意义的数量。这样，学生又一次联系“高于海平面为正、低于海平面为负”的情形体会正数与负数的实际意义，丰富他们对负数的感性认识。学生在小学认识负数是初步的，为了让学生对负数的内涵与外延有比较完整的认识，调用珠穆朗玛峰海拔高度米数8844.43这一小数，让学生体会过去学过的数（整数、分数、小数）除0之外都是正数，沟通新旧知识的内在联系，实现认知顺应。】

4.拓展练习。

海边一座灯塔高出海平面50米，一段堤岸高出海平面10米，海里一处暗礁在海平面以下18米，分别说出它们的海拔高度。

海平面以上的高度都是用什么数表示的？海平面以下的高度呢？海平面的高度又该用哪个数表示呢？

回看温度计，零上温度用什么数表示？零下温度呢？

0既不是正数也不是负数。在数学上我们把0叫做正数与负数的“分界点”。

正数比0大，负数比0小。

5.小结。

实际生活中，大量存在着零上和零下的温度、海平面以上和海平面以下的高度、运进和运出货物的质量等一些具有相反意义的数量。为了表示这些具有相反意义的数量，就产生了正数、负数。今天我们一起认识了正数和负数，正数是我们以前就认识的，而负数就是我们今天这节课的学习成果。（板书：认识负数）

能很快地再说出几个负数吗？正数呢？（画集合圈）

【设计说明：用正数和负数分别表示灯塔、堤岸、暗礁的海拔高度，加深学生对正、负数的认识。正数、负数与0进行的比较，帮助学生将负数和已经认识的数联系、相互比较，帮助学生更好地理解正数、负数与0三者之间的关系，实现数系知识的重组建构。】

四、适当扩展，深化认识

1.神七与负数。

我国成功发射的神舟七号载人飞船在太空中向阳面的温度会高于（ ）℃，背阳面的温度会低于（ ）℃，太空舱内的温度能始终保持在（ ）℃。

①-100 ②21 ③100

2.羽毛球与负数。

比赛用的羽毛球规定了标准重量。右图3只羽毛球分别称重后和标准重量比较作了这样的记录，你知道了什么？

3.赛场上的正、负数。

游泳赛场上运动员打破世界纪录，所用时间与世界纪录相比记作-4.22秒；田径赛场上的风速是+1.25米/秒。“-4.22秒、+1.25米/秒”分别是什么意思？

希望同学们能带着数学的眼光走进生活、观察生活，更好地认识生活中的数学问题。

【问题与讨论】本教学设计在引入负数概念时没有采用教材给出的气温情境，而是运用“水果进出仓问题”进行了重新设计，请分析新设计背后的教学思考。

案例1-3：“倍数和因数”教学设计

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教学内容

苏教版义务教育教科书《数学》（五年级下册）第30～31页。

教学目标

1.使学生初步理解因数和倍数的含义，会有序列举出100以内非0自然数的所有因数和10以内非0自然数的倍数，了解一个数因数的特点及一个数倍数的特点。

2.使学生经历用同样大的正方形拼长方形、寻找一个数因数、倍数的操作过程，进一步体验有序思考在解决实际问题中的作用，提升数学类比、归纳能力。

3.在操作、思考、交流、辨析的过程中，进一步感受数学学习的方法，了解数学的应用价值，体验成功的乐趣，提高学好数学的信心。

教学重点

理解因数和倍数的含义，会有序列举100以内一个数的所有因数、10以内数的倍数；了解一个数因数的特点及一个数倍数的特点。

教学难点

有序列举一个数的因数和倍数。

教学过程

一、动手操作，借助直观理解抽象的数学概念：因数和倍数

1.通过操作活动，初步感受两数的整除关系。

用这样的小正方形（出示一个正方形），你能玩出智慧，玩出数学的味道吗？

出示例1：用12个同样大的正方形拼成一个长方形。每排摆几个，摆了几排？用乘法算式表示自己的摆法，并与同学交流。

拿出作业纸，在方格纸上尝试画图表示拼成的长方形，并列算式表示。

2.通过交流活动，为认识因数和倍数做准备。

交流一下，你们拼成了哪些长方形？

（如果学生反馈“3×4=12”和“4×3=12”是两种不同的长方形，引导学生讨论辨析，明确它们表示的是同一种长方形，只是摆放的位置不同。）

3.揭示因数和倍数的意义。

通过刚才的操作、交流，用12个同样大的正方形拼一个长方形，一共有3种拼法（出示拼成的3种长方形），你们能说出对应的算式吗？（出示算式。）

今天要研究的数学问题就蕴含在这样的算式中。这里“4×3=12”，我们就说“4是12的因数，12是4的倍数；3是12的因数，12是3的倍数。”

通过刚才的介绍，我们知道了4和3都是12的因数，12是4的倍数，也是3的倍数。

根据“1×12=12”和“2×6=12”两个式子，你也能说出谁是谁的因数、谁是谁的倍数吗？

今天我们要学习的内容就是“因数和倍数”（板书课题）。

4.在辨析中进一步理解倍数和因数的含义。

（1）明确讨论范围。

想一想，可以说8是12的因数，12是8的倍数吗？为什么？

能再举个例子说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？

目前说的都是乘法算式，除法行吗？谁来试试？

相机指出：研究因数和倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。

学生举例，教师板书。

（2）明晰相互依存关系。

可以说“4是因数，12是倍数”吗？

小结：因数和倍数是指两个数之间的一种关系，因此在表达时一定要说清楚“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。也就是说，因数和倍数相互依存，缺一不可。

二、探索“求一个数的因数”的方法，发现并归纳一个数的因数的基本特点

1.合作寻找“求一个数的所有因数”的方法。

如果给你一个数，你能找出它的所有因数吗？找出36的所有因数，说说你是怎样找到的。

小结：要找全一个数的所有因数，可以用乘法，也可以用除法，关键是列举要有序。我们一起再来有序地回顾一遍，好吗？（依次出示乘法算式或除法算式及相应结果。）

介绍用集合图表示一个数因数的方法。

2.独立思考并解决“求一个数所有的因数”。

你能找出15的所有因数，16的所有因数吗？（独立完成，交流讨论。）

3.归纳类比，发现一个数因数的基本特点。

在学习的过程中，适时地回顾，往往会让我们有更多的收获。

（用课件同时出示36，15，16的因数）你有什么发现吗？

“一个数的最小因数是1”（课件中依次圈出36，15，16的最小因数）。是不是所有数的最小因数都是1？

“一个数的最大因数是它本身”（课件中依次圈出36，15，16的最大因数）。是不是所有数的最大因数都是它本身？一个数因数的个数是有限的。

三、探索“求一个数的倍数”的方法，发现并归纳一个数的倍数的基本特点

通过刚才的学习，我们学会了如何有序地找一个数的所有因数，还在对比观察中发现了一个数因数的特点。那么，如何找一个数的倍数呢？一个数的倍数又有什么特点呢？

1.调动已有经验，自主研究。

（用课件呈现研究内容：你能用列举的方法找出3的倍数吗？想一想，能找出多少个？）

再找出两个10以内的数，用列举的方法找出它的倍数。

2.交流研究成果，形成共识。

（1）用列举的方法求一个数的倍数。

通过交流明确方法：可以通过用这个数依次和1，2，3……自然数相乘，找这个数的倍数；一个数的倍数个数是无限的，在表示时可以按顺序写出前5个，再加上省略号。

（2）归纳一个数倍数的特点。

“一个数的最小倍数是它本身”“没有最大的倍数”“一个数倍数的个数是无限的”。

四、巧设练习，深化认识

1.强基固本。

（1）24个同学表演团体操，每排人数都是24的因数吗？排数呢？先把下表填写完整，再说一说。

（2）旅游团乘坐小艇游玩，每人应付4元，该团应付元数都是4的倍数吗？先把下表填写完整，再说一说。

现实生活中，我们经常会遇到像（1）（2）两题中的情况和问题，今后我们就可以用因数和倍数的相关知识来解决。

2.提升能力。

（1）填空。

一个数的最大因数是12，这个数是（ ）；一个数的最小倍数是9，这个数是（ ）；非零自然数a的最小因数是（ ），最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。

（2）在6的因数上画“△”，在6的倍数上画“○”。

6的因数中最大的是6，6的倍数中最小的是6；6既是它本身的因数，也是它本身的倍数。

3.拓展思维。

根据要求写数：（1）写出几个2的倍数；（2）写出几个5的倍数；（3）写出一个数，既是2的倍数，又是5的倍数。

五、回顾反思

知识收获与方法收获。

【问题与讨论】好的数学教学应当有引发知识“生长”的过程。谈谈本节课是如何帮助学生“长”知识的？再选一课题，尝试设计一个让知识“长”起来的教学过程。