小学数学教学设计：小学数学整数知识的透析

◆学科维度

在小学数学的内容体系中，整数知识可以概括为4个基本方面：数的意义、计数方法、数的表示法和基本性质。从学科维度透析整数这4个方面的知识，有利于我们从内容本质和建构特点上对其进行归纳比较，梳理其纵向发展与横向联系的脉络，有助于我们对学科知识的理解更深刻，对教学内容的思考更深入，对教学方法的探讨更透彻。

1.整数的意义

数起源于“数”（shǔ），来自“量”（liàng）。远古时代，人类在与自然接触的过程中，逐渐产生了“有与无”“多与少”的数量朦胧意识。这种原始数觉对人类萌生数概念起到了奠基作用。

随着生产的发展和生活方式的变化，人类逐渐产生了比较多与少的需要。如在狩猎前，想知道狩猎工具是否够用，就需要比较工具个数与狩猎人数的多少；在狩猎后，想知道食物是否够分，就需要比较食物数量与人口数量的多少。在经历了很多数与量不断变化的具体情境后，人类借助原始数觉，创造了分辨数量（注：数量是有实际背景的、关于量的多少的表达）^[2]多与少的办法。

对于相同的物品，人们很容易分辨其数量的多与少。如比较4头牛与3头牛的多与少，可从4头牛中去掉一头牛得到3头牛，没有去掉牛的数量当然比去掉一头牛的数量多，即4头牛比3头牛多。

对于不同的物品，要分辨其数量的多少对古代人类来说就颇费周折了，如比较4头牛和3颗石子的数量。人类最初是借助对应关系来比较数量多少的。

古希腊著名的《荷马史诗》讲述了独眼巨人波吕裴摩斯放羊的故事。早晨从山洞里每出来一只羊，他就捡起一颗石子。晚上每返回一只羊，他就扔掉一颗石子。当早晨捡起的石子都扔光时，他就能确信所有的羊都返回了山洞。波吕裴摩斯使用的方法，是把羊和石子相对应。

借助对应方法，可以比较4头牛和3颗石子数量的多少。过程大致如此：把牛看作一个集合，把石子也看作一个集合。从牛的集合中拿出一个，同时也从石子的集合中拿出一个。重复这样的过程，最后牛的集合中还有剩余，说明牛的数量比石子多。

比较数量多少实现了对具体事物有关量的一种抽象。而当农业成为主要生产方式的时候，人类的活动不再限于能通过一一对应比较多少、分配物品，还需要获知物品的具体数目、记录日期等。于是，记数成为一种现实需要。

在记数的初期，人们用代表集合记录物体数目。人类在比较数量多少的过程中认识到，能够建立一一对应关系的不同集合的元素个数相同。于是，产生了把同样多的元素集合归为一类（等价集合类）的思想，并从中选用熟悉的、方便的、元素固定的集合作为代表集合，表示等价集合类的共同特征，交流“物体有多少个”。例如，用“一个人的耳朵”作为代表集合来表示元素个数是2的一类集合；用“一只手的手指”作为代表集合来表示元素个数是5的一类集合。

随着越来越大的数目不断出现，耳、手、足等有限的代表集合已难以满足记数需要。伴随着语言的发展，人类开始用代表集合的简称命名数。例如，将代表集合“一个人的耳朵”简称为“耳”，表示两个。继而，随着文字的产生和使用，创造了用符号表达数的便捷方式。例如，埃及人用“|”“||”“П”等象形数字符号分别表示“一”“二”“十”等数；古希腊人开始用“α”“β”“γ”等字母符号表示“一”“二”“三”等数，最终发展为用阿拉伯数字“1”“2”“3”等记录数。具体的代表集合最终以数字的抽象形式出现，至此，抽象的数概念已经形成。

对数量抽象的最初结果是自然数。这个标记一方面可以表示集合中元素的个数，通常称为基数；另一方面，由于自然数在自然数列中是有序的，所以自然数还可以用来给集合中的元素编号，表示某个有序集合中每个元素所占的位置，通常称为序数。因此，自然数具有表达数量和次序的双重意义：基数意义和序数意义^[3]。基数意义是自然数的本质属性，序数意义是自然数的序数属性，二者彼此相通，共同反映了离散事物的记数特征。

负数的创造也是日常生活和生产实践的需要，它的形成源于对生活中完全相反的事物数量的刻画，因而也有着明确的现实背景，本质上也是对数量的抽象。比如，用1500表示“收入1500元”，那么，就用-1500表示“支出1500元”。数学上约定：在自然数的前面加上符号“-”表示负数。负数与对应的自然数在数量上相等（绝对值相等），表示的意义相反。负数的出现使得“零”不仅可以表示“没有”^[4]，还可以作为正数和负数的界限。

引入负数，既是实际的需要，用以刻画现实世界中具有相反意义的量，也是数学自身发展的需要，用以解决数集与运算封闭性的矛盾。

从数的起源和发展来看，正如史宁中教授所说，数量是对现实生活中事物量的抽象，数是对数量的抽象。数量关系的本质是多与少，数之间最基本的关系是大与小。

2.整数的表示

随着认识数的范围不断扩大，人类不可能总以“逐个点数”为基础，给每个新数都起一个新名称，而是创造了“按群点数”，逐次引进更高级计数单位的计数方法，并以此为基础建立计数规则，完全解决自然数的表示问题。

例如，一开始人类以自然单位“一”为基本计数单位，逐个点数；当点数比10更多的物体时，每点满10就扎一捆，然后一捆一捆地按群点数，在事实上选择了比“一”更高级的计数单位“十”（即10个一）；当点满10捆再扎一大捆，然后一大捆一大捆地点数……这样，以自然单位“一”为基本计数单位，再按十进制（满十进一）规则逐次生成更高级的辅助计数单位：十个一叫做十，十个十叫做百，十个百叫做千，十个千叫做万，十个万叫做十万，十个十万叫做百万，十个百万叫做千万，十个千万叫做亿……一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位，相邻两个计数单位之间的进率是十。当然，也可以“一”为基本计数单位，按二进制（满二进一）、六进制（满六进一）等规则生成更高级的其他辅助计数单位。不同进制的计数单位不同，一般地，X（X＞1）进制的计数单位就是X0，X1，X2，X3，……例如，二进制的计数单位是20，21，22，23，……六进制的计数单位是60，61，62，63，……

以“按群点数”得到的一系列计数单位为基础，通过如下计数规则，就可以用有限个数字符号表示任意一个自然数。

以十进制为例。将计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……按从左到右顺序依次排列，它们所占的位置分别称为个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位……，统称为数位；规定每个数位上数字表示的数值，由数字本身表示的数值和数字所处数位的计数单位共同确定。如数字5本身表示的数值是5个一，在个位上仍然表示数值5个一，但在十位上则表示5个十、在万位上则表示5个万。这样的计数规则称为位值原则。

根据位值原则，任意一个自然数都可以按十进制规则，用10个数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9以及一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……等计数单位表示成按权10k（k为整数）展开的多项式：，其中an，an-1，…，a2，a1∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}。一般地，根据位值原则，任意一个自然数都可以按X进制规则，用X个数字以及相应的计数单位表示成按权Xn（n为整数）展开的多项式，其中X称为基数。为了区分不同进制，写数时通常在数的右下角标注进位制的基数。例如，102表示二进制数10，2718表示八进制数271，十进制数一般不标记基数。

读数和写数时，通常采用四位分级法，即每4个计数单位组成一级，个、十、百、千称为个级，万、十万、百万、千万称为万级，亿、十亿、百亿、千亿称为亿级，等等。同样是十进制，西方很多国家采用三位分级法：个、十、百是个级，千、十千、百千是千级，密、十密、百密是密级，等等。不同的分级法，虽然称呼不同，但表示数的符号是相同的。如，一万和十千，符号表示都是10000。

读自然数的法则是：数字符号+计数单位。读万以内的数，从最高位起，顺次读出数名和计数单位名。比如，36表示3个十和6个一，读作三十六。读更大的数时，先从右往左四位分级，再从最高位起，顺次读出各级里的数和级名。除个级不读级名外，其他每一级的级名在这一级的末尾读出。每一级末尾的0不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个零。

由此看来，数的符号反映着进制、计数单位以及一个量中分别包含几个不同的计数单位等信息^[5]。表示数的基本原理就是一个量中含有几个计数单位。

3.整数的性质

下面对整数性质的讨论，仅在自然数范围内进行。

（1）自然数列及其性质。

现代数学中，普遍采用皮亚诺算术公理体系来定义自然数。这一体系利用“直接后继”的概念，在已经定义的自然数后面再加1，得到后继自然数，从而清晰地揭示：数是一个一个大起来。

像0，1，2，3……这样，全体自然数依次排列的一列数叫做自然数列。

自然数列有如下性质：

有始：自然数列最前面的一个是零。

有序：在自然数列里，每一个自然数后面都有且只有一个后继数；除零以外，每一个自然数都有且只有一个先行数。在自然数列里，排在后面的数，比前面任何一个数都大；排在前面的数，比后面任何一个数都小。

无限：自然数通过加1，不断生成更大的自然数。自然数列里没有最后一个自然数，因此，它是一个无限的数列。

（2）整除、倍数和因数。

对于整数a和正整数b，如果存在一个整数k，使得a=b×k，那么就说a能被b整除，也可以说成b整除a。

如果整数a能被正整数b整除，商为k，那么称a是b的倍数（a是b的k倍）；b是a的因数（约数）。

（3）自然数的分类。

小学数学教学内容中对自然数的分类主要有两种：一种是奇数与偶数；一种是质数（素数）与合数。

偶数与奇数：能被2整除的数是偶数，记作2n（n为整数）。不能被2整除的数是奇数，记作2n+1（n为整数）。自然数中最小的偶数是0，最小的奇数是1。偶数和奇数都有无限多个。

质数与合数：在大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的自然数叫做质数，也称素数。在大于1的自然数中，除了1和它本身，还有其他因数的自然数叫做合数。1只有一个因数，它既不是质数，也不是合数。0有无限多个因数，不便于讨论。所以，自然数按其因数有1个、2个、有限多个和无限多个，分成0、1、质数和合数4类。最小的质数是2，最小的合数是4。质数和合数都有无限多个。

在所有的质数里只有2是偶数，其余都是奇数，但奇数不都是质数。在所有的偶数里，只有2是质数，其他的都是合数，但合数不都是偶数。

◆课标维度

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称为《课标（2011年版）》）将“整数的认识”分散安排在两个学段，主要内容在第一学段完成，第二学段重点梳理十进制计数法。两个学段的课程内容如下：

第一学段（1～3年级）：

1.在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。

2.能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数。

3.理解符号＜、=、＞的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小。

4.在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计。

5.能运用数表示日常生活中的一些事物，并能进行交流。

第二学段：

1.在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数。

2.结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计。

3.会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用。

4.知道2，3，5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数；在1～100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。

5.了解公因数和最大公因数；在1～100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。

6.了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数。

7.在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量。^[6]

从课标维度透析“整数的认识”的课程内容，需要关注“认数情境”“目标要求”两个问题。

1.认数情境

《课标（2011年版）》两个学段都要求在情境中认数，但认数的范围、要求、学段不同，对应的情境要求也不同。

第一学段“理解万以内数的意义……”，要求现实情境。一般认为，现实是与理想相对的概念，因此，“现实世界中客观存在”是现实情境最本质的特征。一方面，“万以内的数”属于认数知识模块的起始内容，它是客观存在的物体数量的直接抽象，因此与现实世界的关系十分密切，在现实情境中认识万以内的数客观上存在可能性。另一方面，第一学段学生的思维水平较低，总体上以具体形象思维为主，因此，认数学习只有联系学生身边具体的现实事物，才能让学生在现实背景中理解数的意义。

第二学段“认识万以上的数……”，要求具体情境。具体是与抽象相对的概念，具体情境的最大特点就是形象、易感。与第一学段相比，第二学段学生思维水平有了较大发展，抽象思维能力逐渐增强。但是，万以上的数对小学生来说属于大数，因为在日常生活中很少用到，因而不易找到与之匹配的直观原型，在认识这些大数时小学生仍感到抽象。在教学中，创设“用方块表示数”“用计算器或算盘表示数”等具体情境，有利于学生直观理解相应的计数单位、十进制计数法的数位顺序和位值原则，让抽象的学习对象看得见、摸得着。

“感受大数意义，并能进行估计”比较特殊，它不仅被安排在两个学段，而且两个学段对认数情境的要求也不同。第一学段要求在生活情境中感受和估计，如《课标（2011年版）》附录2中的例3：“1200张纸大约有多厚？你的1200步大约有多长？1200名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？”^[7]第二学段要求在现实情境中感受和估计，如《课标（2011年版）》附录2中的例23：“如果一个人的寿命是76岁，这个人一生的心跳大约有多少次？光速大约是30万千米/秒，光从太阳到达地球大约需要多长时间？如果把100万张纸叠加起来，会有珠穆朗玛峰那么高吗？”^[8]这样的安排，具有一定的合理性和科学性。第一学段的大数，指的是万以内的相对大数；第二学段的大数，则是指万以上的绝对大数。因为两个学段给出的大数标准不同，所以学习难度和认数情境也存在差异性。认识1200这个万以内的相对大数，只要通过1200张纸的厚度、1200步的长度、1200个人排成广播操队形占地的面积等学生熟悉的生活情境，就可以获得对这个大数的直观感受。但对于认识32亿这个绝对大数，因为小学生生活中几乎没有用到，无法通过创设生活情境，让学生感受其意义。因此，必须扩大认数的情境范围，即把32亿这个绝对大数的认数情境，拓展到人一生的心跳次数这个现实情境。它虽然不是小学生熟悉的生活情境，但基于第二学段小学生的思维发展水平，借助计算、推理、想象完全能够成为可理解、可感受的现实情境。

2.目标要求

数学课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。”^[9]因此，《课标（2011年版）》在表述“整数的认识”课程内容时，既使用了表示结果目标的行为动词，又使用了表示过程目标的行为动词。正确解读内含其中的目标动词，是准确理解课程内容的必然要求。

虽然《课标（2011年版）》附录1对表示目标的所用行为动词的基本含义做了逐个介绍，并列出了与相关行为动词同等程度的常用词语，但要准确把握课程内容相关表述中目标动词的确切含义，需要根据表述的具体语境和相应的数学知识内容进行综合分析。

如对表述“在1～100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数”，其中包含与“掌握”同等水平的目标行为动词“能”，附录1对“掌握”的释义是：“在理解的基础上，把对象用于新的情境”；结合表述的数学内容，此处的对象显然是指“因数”，因此，本表述的字面意思就是“在理解因数的基础上，把因数用于新的情境”。深入到语句内部分析，根据附录1中“理解”即为“描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系”的基本释义，理解“因数”至少包括3个要点：一是能说出因数的基本含义，知道因数是研究数的整除关系时引出的概念；二是明白因数与倍数具有相互依存的关系，会判断两个自然数是否具有因倍关系；三是清楚0的因数有无限个（非0自然数都是它的因数），非0自然数的因数有有限个（它的最小因数是1，最大因数是它本身）。进一步综合分析可以发现，认识因数概念以及判断因倍关系只要在两个自然数之间借助一次除法运算即可完成；而要找出一个自然数的所有因数，理论上需要用小于该自然数的一切自然数去逐个试除才能完成。两者相比，后者显然是比前者更为开放、更为复杂的新情境，特别当给定的自然数足够大时，不仅耗时长，而且计算本身对小学生来说就非常困难。考虑到小学生的实际能力，《课标（2011年版）》将研究范围限定在1～100的自然数中，以实现对小学生学习难度的合理控制。

◆教材维度

现行的主流小学数学教材关于“整数的认识”大多安排7个单元，第一学段安排“认识10以内的数”“认识11～20各数”“认识100以内的数”“认识万以内的数”4个单元；第二学段安排“万以内数的认识”（又称“认识多位数”或“大数的认识”）、“负数的初步认识”、“因数和倍数”3个单元。其中前5个单元是教材为小学生认识自然数设计的5个学习阶段，它属于“整数的认识”知识模块的主体内容。

第一阶段“认识10以内的数”。虽然小学生在入学前已学会点数（shǔ）并能数（shǔ）出很多数，但尚未在头脑中建立起真正的数概念，即未能完成从物体数量到数的抽象过程。因此，教材通过点数（shǔ）集合圈中物体、用珠子代表点数（shǔ）物体、用数字表示珠子个数等循序渐进的过程，引导小学生在完成从数量到数的抽象过程中形成数的概念；创设用数表示周围物体数量以及排队等生活情境，让小学生理解自然数的基数和序数意义；运用在两排物体之间对应连线的操作活动，让小学生在直观感受“同样多”“比谁多”“比谁少”的过程中理解符号＜、=、＞的含义；借助直尺上的整数刻度，帮助小学生逐渐构建自然数的顺序结构。

第二阶段“认识11～20各数”。教材首先将10根小棒捆成一捆，得到“10个一是1个十”；接着，启发小学生在摆十几根小棒时先摆一捆、再摆几根；然后，通过用计数器左边一个珠子表示1个十、右边几个珠子表示几个一的计数方法，让小学生直观理解可以用两个数字表示11～20各数，明白写在左边的数字表示几个十、写在右边的数字表示几个一，进而理解11～20各数的组成和写法；最后，借助计数器的拨珠，让小学生理解1个十和10个一合起来是2个十、2个十是20。该学习阶段不可或缺，新计数单位“十”的引入，使自然数的认识进入了新境界：其一，计数单位从一个增加到两个，使得我们可以用两个计数单位分别计数，得到的两个数字左右排列表示同一个数，为学习数位概念进行了必要铺垫；其二，在记数时，数字1、2在不同位置表示不同的数值，为理解位值原则做了先期孕伏。

第三阶段“认识100以内的数”。教材在摆出几捆几根小棒基础上，通过9根小棒添1根又可捆一捆的学具操作，让小学生直观体会“满十进一”；通过一个一个地数（shǔ）得到99添上1是一百、10根10根地数（shǔ）得到10个10是一百的数（shǔ）数过程，让小学生亲身感受“逐个点数（shǔ）”与“按群点数（shǔ）”相结合的认数方法；通过计数器这个直观模型，给出“个位”“十位”“百位”等数位名称以及各数位上数字表示的不同位值。这一阶段对认识自然数是极其关键的，其一，小学生学会了“逐个点数”与“按群点数”相结合的认数方法后，可以比较容易地用它去认识更大的自然数；其二，借助计数器初步建立的数位概念和位值概念，直观揭示了十进制计数法的内在原理和自然数的结构组成。

第四阶段“认识万以内的数”。教材借助方块模型、计数器以及个位、十位、百位等数位上数字的位值，让小学生直观认识1000以内数的组成和含义；仿照第三阶段“认识一百”的方法，让小学生初步理解体会一千、一万的基数和序数意义；通过计数器和算盘上拨珠表示数，让小学生学会万以内的数的写法和读法；在此基础上，完成个级数位顺序表。至此，小学生日常生活中用到或遇到的自然数已认识完毕。

第五阶段“认识万以上的数”。对小学生来说，万以上的自然数在生活中很少用到或遇到，属于大数。因此，教材采用了与前4个阶段完全不同的编写思路：在通过具体实例让小学生认识到大数在现实社会中客观存在后，依据“十进”规则，依次引进万以上的各计数单位；借助位值原则和计数工具（计数器、算盘），让小学生理解万以上数的组成和含义；运用数位分级构建包含个级、万级、亿级……的数位顺序表，让小学生借此正确读写万以上的自然数，理解十进制计数法的本质。

这样循序渐进的编排，既遵循了自然数发展的内在逻辑，又契合了小学生的认知发展阶段，有利于不断丰富和强化小学生的认数活动经验，有利于渐次拓展和深化小学生对整数的认识，有利于持续发展和提升小学生的数感。