中心极限定理：揭示随机变量和正态分布的关系

2023-08-11 理论教育版权反馈

【摘要】：如前所述，大数定律揭示了大量随机变量的平均结果的稳定性，但没有涉及随机变量的分布。而中心极限定理则进一步揭示出大量相互独立的随机变量之和近似服从正态分布的一般规律，可以用于计算任一随机结果发生的具体概率。中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本的均值总是近似地服从正态分布。这使得正态分布在数理统计中具有很重要的地位，并得到了广泛应用。

如前所述，大数定律揭示了大量随机变量的平均结果的稳定性，但没有涉及随机变量的分布。而中心极限定理则进一步揭示出大量相互独立的随机变量之和近似服从正态分布的一般规律，可以用于计算任一随机结果发生的具体概率。中心极限定理的一般形式为：

设n个随机变量 X1，X2，…，Xn，独立同分布，且具有相同的数学期望和方差，分别记为E（Xi ）=μ，D（Xi）=σ2，则对任意实数x，这n个随机变量之和的分布函数为：

当n趋于无穷时，可以得到：

该定理说明，当样本量n足够大时，随机变量近似于服从标准正态分布N（0，1），也就是说，n个随机变量之和近似服从正态分布N（nμ，nσ2）。由此很容易得到，n个随机变量的平均值近似服从正态分布N（μ，σ2/n）。

中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本的均值总是近似地服从正态分布。这使得正态分布在数理统计中具有很重要的地位，并得到了广泛应用。对于保险人来说，同质的可保风险都是满足独立同分布假设的，风险的汇聚虽然不能改变每个人的期望损失，但却能将平均损失的标准差减小，使事故损失变得更容易预测，因此降低了每个人的风险。当风险汇聚的加入者增多，平均损失的标准差会进一步减小，出现极端损失（非常高的损失和非常低的损失）的概率不断降低，风险变得更易预测。而且随着加入者数量的增加，平均损失的概率分布逐渐接近于钟形曲线，也就是正态分布。当参加风险汇聚的人足够多，每个参加者成本的标准差将变得接近于零。因此，尽管在保险经营中，相互独立的风险单位的损失概率不尽相同，但只要有足够多的标的，仍可以求出平均的损失概率。保险人把同质标的集中在一起，求出一个整体费率，再加以调整，就可以保持整体的收支平衡。

中心极限定理：揭示随机变量和正态分布的关系

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