大数定律及其在风险管理与保险中的应用

2023-08-11 理论教育版权反馈

【摘要】：大数定律阐述了大量随机现象平均结果的稳定性，即在随机现象大量重复出现时，偶然性的相互抵消几乎成为必然，随着试验次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数。保险领域的大数定律的基本含义是，当同质的风险单位数量越多，实际损失的结果会越接近从无限风险单位数量中得出的预期损失。依据大数定律，随着观测样本的增加，对均值的相对偏差就会越小，即样本数量越大，对预期损失的估计波动就越小。

概率论有助于分析那些看似无规律的随机现象，运用数学方法找出其满足的概率分布或近似满足的概率分布，从而把现实生活中的实际问题抽象为简单的数学问题。在概率论中，大数定律（又称大数法则）揭示了数目非常多的一系列相互独立的随机变量的平均值几乎恒等于一个常数。由此，尽管这些随机变量的具体取值是随机的，但是其平均值几乎不变。例如，对于某个或某些家庭来说，婴儿出生的性别没有可以遵循的规律性，但是通过观察大量家庭（即样本）会发现，随着家庭数量（即样本量）的增多，男孩和女孩占婴儿总数的比例将分别接近于50％；抛掷硬币的次数达到一定数量后，正面朝上和反面朝上的次数占抛掷总数的比例将大致等于50％；投掷骰子的次数越多，每个面出现的概率将越接近1/6。

大数定律有若干个具体的表达形式，这里仅介绍最为常见的切比雪夫大数定律：

设X1，X2…，Xi…是由相互独立（两两不相关）的随机变量构成的序列，且期望E（Xi）=μi 存在，方差存在且有共同有限上界，即，则对任意小的正数ε＞0，均有：

特别地，若随机变量序列{Xi}有相同的期望μ，则有：

以上公式的具体含义是：当样本容量n增加并且足够多时，样本的平均值将接近于总体的平均值，从而为统计推断中那些依据样本平均值估计总体均值的实验提供了理论依据。

大数定律阐述了大量随机现象平均结果的稳定性，即在随机现象大量重复出现时，偶然性的相互抵消几乎成为必然，随着试验次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数。大数定律是保险人计算保险费率的基础。保险领域的大数定律的基本含义是，当同质的风险单位数量越多，实际损失的结果会越接近从无限风险单位数量中得出的预期损失。保险中的风险单位是指保险标的发生一次灾害事故可能造成的最大损失范围。因此，保险中的风险单位可以被看作是保险实际问题中抽象而来的随机变量，风险单位的大小同样也是随机的。保险人通过了解特定风险的总体特征，计算期望、方差对风险预期损失进行评估，从而确定保险费。依据大数定律，随着观测样本的增加，对均值的相对偏差就会越小，即样本数量越大，对预期损失的估计波动就越小。也就是说，同质风险单位的数量逐渐增多时，从整体来看，由于相互抵消作用扩大，发生风险损失的波动幅度会逐渐减小而趋于稳定。

大数定律及其在风险管理与保险中的应用

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