数学教学：培养学生创新意识的研究成果

由于联结学习既包括学科内部知识、思维与观念的联结，也包括学科间知识、思维与观念的联结，更强调数学知识在日常生活中的应用。因此，创设情境是使联结学习达到理想效果的一种教学手段，也是联结学习得以顺利实施的基本条件。从所查阅到的资料中可以发现，前人对联结学习教学设计方面的有关研究均是以情境教学为主，这些成果可以说明以情境教学作为联结学习的研究实施背景是具有可行性的。

一、基于联结学习的情境教学原则

Winn（1993）表示，要达到情境学习目标主要有三种教学方式：①将学习活动设计成学徒制教学；②提供近似于真实的学习经验，将课堂的学习活动转化为更实际的方式进行；③直接提供学习者亲身经历真实世界的学习经验。Mc Lellan（1996）归纳众多学者的看法提出情境学习理论共包含八项主要元素的配合，这八项元素分别是：①故事情境（stories）；②反思（reflection）；③认知学徒制（cognitive apprenticeship）；④合作学习（collaboration）；⑤辅导（coaching）；⑥多重练习（multiple practice）；⑦清晰表达学习技能（articulation of learning skills）；⑧科技（technology）。很多专家认为，要想获得有用的知识，学习环境必须具有以下特征：真实的背景，真实的活动，专家表现，多种角色和观点，合作，指导和脚手架，反思，清晰表达，综合评价。

根据前人的观点以及联结学习特征，再结合对横向联结学习和纵向联结学习的理论分析，本文认为，课堂中基于联结学习的情境教学应该遵循以下原则。

（一）情境贯穿原则

目前我国有关创设情境的教学已经轰轰烈烈地展开了，但教师一般只将创设情境作为导入新课的一种手段，把情境作为学生从事学习活动、产生学习行为的一个前提条件或背景。在情境贯穿原则下的情境教学则强调情境中隐含的问题，我们称为情境问题，一旦被揭示出来，它就成了学生学习活动的中心、注意的焦点，学生要通过一节课或更多节课才能完全解决这些问题。故情境贯穿原则不是一晃而过的，而是贯穿于教学始末，从一堂课直至整个单元。它既为学生建设性的思考和富有成效的谈话提供了可能，也为学生学习新知识提供了一个触发点。情境也不是披在问题身上的一件外衣，不是作为学生要解决问题的一种装饰，而是与数学内容交织融合在一起，影响学生的思维方式和思考过程，挑战观念，暴露错误，从而对事物形成正确的看法，完善认知结构，激发探究与创新的意识。在课堂上，有了情境做支撑，数学就不是无意义的符号推理游戏，也不再与现实应用背景相脱离。正如Winn所说，应在课堂上提供近似于真实的学习经验或直接提供学习者亲身经历真实世界的学习经验，这样则能够激发学生学习数学的兴趣，或使学生发生认知冲突，还能使学生清楚这类知识可用于解决哪种类型的实际问题，也正是这些情况的发生可以使学生的创新意识有提升的机会。

（二）问题中心原则

所谓问题中心原则，是指联结学习的教学要以提出问题、解决问题为中心，围绕发现问题和探究问题展开教学。

首先，教师通过创设情境，使学生发生认知冲突，培养学生的问题意识。在联结学习中，学生的问题来源一般有三种方式：一是从教材提供的案例和背景材料中发现和建立；二是从教师提供的案例和背景材料中发现和建立；三是在学习数学知识、技能、思想、方法的过程中发现和提出自己的问题并加以研究。要培养学生的数学创新意识，不仅要培养学生提出数学问题的能力，更要引导学生提出“好的数学问题”。在联结学习的教学中，一个“好的数学问题”应具有以下特点：①探索性，能激发学生对问题的迫切追求和欲望；②开放性，同一个问题可能有多种不同的解法或者有多种可能的答案；③推广性，指一个数学问题能够推广或扩充到多种情形，或者是能将所学数学知识推广应用到解决其他学科和日常生活中的问题。另外，在解决问题的过程中，还应鼓励学生大胆运用类比、归纳猜想、特殊化、一般化等方法，寻找解决问题的策略，探求数学问题的解决趋势和可能途径。最后，还要对所解决的数学问题进行反思和交流，进一步揭示问题的本质和规律，加强学生知识、思维和观念间的相互联结，培养学生分析问题和解决问题的能力，养成勤思、善思、深钻的良好习惯和不断探索的科学精神，提高学生的数学创新意识。

（三）评价递进原则

评价递进原则是指数学教学是按照数学的逻辑系统和学生的认知发展顺序由浅入深、由易到难地进行教学，学生的学习和发展也是一个循序渐进的过程。因此，对学生创新意识的评价也应该是循序渐进的。

基于学生联结学习下的教学必须遵循两个序列（一是数学知识的逻辑结构序列，二是学生认知能力的发展序列），逐步展开知识技能和思想方法的学习，逐步实现学生对学科内知识的掌握、学科间知识的巩固及应用，实现思维的灵活运转及技能的形成，逐步实现观念的提升和对思想方法的感悟，从而实现学生数学创新意识的提高。中学数学教学大纲和教科书一般不是以知识形成和发展的顺序编排的，教师作为课程的实施者，要探究某些内容的历史发展顺序和逻辑顺序，并结合学生的认知状况选择合理的顺序进行教学。

在这种教学方法下，学生联结学习的进行也是遵循循序渐进原则的，所以对学生数学创新意识的评价标准应该是递进的。

根据前文的分析可知，数学创新意识的结构包括动力系统、智力系统和工作系统。仔细分析这三个系统结构可以发现，它们之间是逐步递进的。学生只有在对数学学习有了兴趣之后才能自觉且积极主动地进行独立思考，因此，数学创新意识中的动力系统是智力系统的基础。同时，也只有在学生积极思考的前提下才能发现问题、提出问题、探究问题。因此，数学创新意识中的工作系统也是对智力系统的进一步发展。在联结学习下，学生数学创新意识的动力系统、智力系统和工作系统会发生一些变化，所以对它们的评价应该是发展性的。如果学生在联结学习初始就具有良好的动力系统，那么对学生数学创新意识是否提高的评价就要以后两个系统作为标准。

（四）环境辩证原则

基于联结学习的教学环境有两方面需要注意：一是实施于中学数学教学课堂的教学方法要注意数学的本质，把握数学的本质，避免让学生思维过渡发散，偏离教学主题，冲淡数学性；二是由于联结学习的特征是不仅要建立数学学科内部的联结，还要建立学科间和数学与日常生活的联结，所以教师不仅不能禁锢学生的思维，还要给学生提供思维的空间，使学生在知识结点、思维结点和观念结点的联结过程中实现数学创新意识的提高。

在有关提高学生的创新意识的文章中，很多文章都提出要创设宽松和谐的氛围，其中具有代表意义的有“头脑风暴法”中的观点。而在联结学习中，教师除了要注意创设有利于提高学生创新意识的轻松环境外，对课堂的管理也要收敛有度。不可否认，将数学知识与学生感兴趣的其他学科的知识联结起来，有利于提高学生的数学学习兴趣，但数学课程不能没有它的特色和本质。因此，在创设联结学习下的教学环境时要将宽松的氛围和严谨的学风相结合。

在遵循联结学习的情境教学原则下，可以制定出相应的教学流程，但这并不是联结学习必须遵循的流程，而只是在联结学习的理论指导下提出的一种教学模式，这种教学模式的提出是为了使联结学习的教学过程与培养学生数学创新意识的目标有机地结合起来。

二、基于联结学习的一种教学过程分析

（一）国内现有中学数学教学模式综述

1.“传递—接受式”教学模式

这种教学模式属于传统的教学模式，它主要用于系统知识技能的传授。它的基本教学程序是：激发学习动机—复习旧课—讲授新课—巩固运用—练习检查。这种模式的特点是：能使学习者比较迅速而有效地在单位时间内掌握较多的信息，突出体现了教师直接控制教学过程的主导作用。这种教学模式在开始注重调动学生的学习动机，对培养学生的数学创新意识的影响是有益的，因为调动学生的学习动机能够提高数学创新意识的动力系统。但这种教学模式没有强调数学创新意识的智力系统和工作系统的作用，因此要培养学生的数学创新意识，还可以在这种教学模式的基础上进行改进。

2.“尝试指导，效果回授”教学模式

这是上海市青浦区“顾冷沉教改实验小组”总结出的新型教学模式，它为大幅度提高初中数学教学质量提供了新的经验。它的理论基础是数学教育原理（情境原理、序进原理、活动原理和反馈原理）。它的基本教学程序是：诱导—尝试—变式—归纳—回授—调节。这种模式的基本特点是：充分发挥学生学习的主动性，让学生通过主动探索去获取知识，发展能力，注重教师的指导作用。

对于这种教学模式，如果站在横向联结的角度来审视这种教学模式，可以发现“诱导”过程能够加强学生知识结点与知识结点间的联结，也能提高学生学习数学的兴趣或培养学生的质疑精神，从而使学生数学创新意识的动力系统得到加强。此外，“尝试”阶段是学生进行独立思考的阶段，这一阶段能够使学生数学创新意识的智力系统得到加强。在“归纳”“回授”和“调节”阶段，是学生整合所学知识的阶段，也给学生观念的提升创造了机会。因而，加强了学生数学创新意识的工作系统。这种教学模式从横向联结的角度分析，可以提升学生的数学创新意识。

站在纵向联结的角度分析这种教学模式，可以发现从“诱导”到“尝试”再到“变式”这个过程能够实现知识与思维的联结，从“变式”到“归纳”可以实现思维与观念的联结，从“归纳”到“回授”再到“调节”可以实现观念与知识再更新的联结。因此，这一教学模式从理论上来分析，是可以提高学生数学创新意识的。但由于实验者当时做此实验的目的并不是看学生的数学创新意识是否有所提高，因此实验者没有将这个有联结学习意义的教学模式展开来与学生的数学创新意识结合起来进行分析。

3.“自学辅导”教学模式

这是由中国科学院心理研究所卢仲衡研究员设计提出的新型教学模式，是学生在教师的指导和辅导下进行自学、自练和自改作业，主动获得知识，发展能力（特别是自学能力）的教学模式。它以六条行之有效的学习心理原则，即适当的高而可攀的步子、显露本质特征、尽量采取变式复习、按步思维、运算根据外显（步步有根据）、可逆性联想为理论基础，总结出的基本程序为：启—读—练—知—结。它的基本特点是：突出了学生学习的主体地位，培养了学生作为终身学习能力的自学能力。从培养学生数学创新意识的角度看，这种教学模式能够锻炼学生的独立思考能力和自学能力，因而能提高学生数学创新意识的智力系统，虽然其他两个系统的提升不能在这种教学模式中体现得非常突出，但提升学生智力系统的这种教学方法非常值得借鉴。

4.引导发现教学模式

引导发现教学模式就是教师根据教材的结构特点以及学生的思想、知识、能力水平，将教材划分为一个一个的发现过程，引导学生通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等各种途径去研究问题、总结规律的一种教学模式。它的基本程序是：问题—假设—验证—总结—提高。这种模式的基本特点在于使学习者学会如何学习，怎样加工信息，对提出的假设如何推理验证等。从这种教学模式的流程来进行分析，可以发现这种教学结构对于学生进行联结学习是有促进作用的，并且对于提高学生的数学创新意识也应有一定的作用，因为这种教学模式对于提高学生的数学学习兴趣、提高学生的独立思考能力、动手能力以及提高学生发现问题、提出问题的能力都有一定的作用。

结合联结学习的理论进行分析，根据引导发现教学模式的流程可知，学生知识、思维和观念的相互联结是非常紧密的，尤其是思维和观念的内部及它们之间的联结非常紧密。

因为整个教学过程是以学生为主，学生的思维在不停地运转，尤其从问题到假设，再到验证，再到总结这些阶段，学生以独立思考为主，思维的联结不断加强，从总结阶段到提高阶段，给学生提供了观念提升的机会，且学生的知识结构会更加牢固。因此这种教学模式中体现了联结学习的诸多步骤，且从理论上分析对学生数学创新意识的提高也有一定的作用。这种教学模式中所提到的“问题”，不仅是数学学科内部的问题，还有一些强调情境性的问题，而且提倡情境性问题可以贯穿整个教学活动过程。在此基础上，学生的学习兴趣会更加浓厚，学生知识与思维的联结也会更加紧密，因为知识领域的拓展使思维领域也有相应的拓展。引导发现教学模式更主要的是培养学生的独立思考能力、自学能力，使学生学会学习，而联结学习是为了使学生在知识、思维和观念上的创新意识有所提高。决定创新意识的提高因素之一，就是学生的独立思考能力，因此此种教学模式对于完善联结学习的教学模式是有很大帮助的。

5.启导探研教学模式

这是由广州市一中谢国生老师在“启发式”教学的基础上发展起来的新型教学模式，是以科学地处理启发诱导和探索研究的关系为主要目的，着眼于发展学生的智力，培养他们科学的世界观和方法论的一种教学模式。它的理论基础是辩证唯物主义的认识论。它的基本教学程序是：启导引路—阅读探研—精讲质疑—题组练习—总结提高。这种教学模式的特点是把数学课堂教学建构为“主导与主学双向活动，研究活动和实践活动”三位一体的结构模式，重学、重研、重用，对数学课堂的创新教学有着积极的意义。

从培养学生数学创新意识角度看，这种教学模式能够在启发引导和精讲质疑阶段提高动力系统，在阅读探研和题组练习阶段，由于学生的独立思考能力能在此阶段得到提升，因此学生的智力系统会加强，而总结提高阶段是学生发现问题、探究问题、升华问题的阶段，所以在这一阶段学生的工作系统会得到巩固。

（二）基于联结学习的一种小学数学教学模式的探索

在联结学习的理论指导下，参考其他数学教学模式的实施，本文所构建的小学数学联结学习的教学模式的基本程序如图6-2所示。

图6-2　联结学习教学模式的基本程序图

1.创设情境

在课堂教学开始，首先创设引人入胜的情境，激发学生学习数学的兴趣。由于联结学习下的情境要贯穿整个教学，因此情境的创设必须具有拓展性。此外，由于网络中的一个单元可能与许多单元发生联系，一个单元通常累加所有输入的信息，当累加信息超过某一阈限时，就输出一个结果到另外一个单元。在这个教学环节中，贯穿整个教学活动的情境作为一个单元，与其他教学环节相互作用。每一个教学环节都会有新的信息输入，在这一过程中，情境的引入不仅是为了引入新信息以激发学生的数学学习兴趣，也是为了累加信息使学生学会用数学知识解决实际问题的方法，加强学生学习数学知识和应用数学知识之间的联结。所以，教师在引入情境之前，要认真创设情境，不能让情境昙花一现，而应创设一个与教学内容紧密结合的、能贯穿于教学始末的情境，这为加强学生的数学联结学习提供了条件，也为学生数学创新意识的发展提供了空间。

2.自主探究

建构主义的核心观点是“给学生提供思维活动的时间和空间，让学生主动构建自己的认知结构、培养创造力”。由此可见，培养学生的独立思考能力是提高学生创造力的一个前提。学生的独立思考固然重要，但并不是说教师在这一阶段可以无所事事。在这一阶段中，教师对知识的介绍是必要的，当学生对所学新知识有了初步认识之后，教师就应该编制一些变式问题，供学生自主探究。在学生自主探究的过程中，学生进入了独立思考状态，这对提高学生的数学创新意识是必不可少的环节。学生对变式问题的独立研究和探索是学生掌握数学本质的过程，是提供相对于自己来说的知识创新、思维创新和观念创新的空间。在自主探究阶段，教师应该做的是给学生提出处于学生“最近发展区”的问题。维果茨基的“最近发展区”理论认为：“每个学生都存在着两种水平，一是现有水平，二是潜在水平，由现有水平向潜在水平过渡的区间被称为最近发展区和教学最佳区，教学是由一个潜在水平转化为新的现有水平并不断创造新的最近发展区的过程。”在这个创造新的最近发展区的过程中，学生的数学创新意识就得到了提高。

在这一阶段中，联结学习中各个结点间关系的加强是通过学生内部知识的相互转化来实现的。相对于教师教授而言，这一阶段的联结是一种更深层次的联结。因为教师教授是引入新知识的过程，是一种引入结点的联结，而自主探究是学生在教师引入新知识后，自己在探索过程中寻找联结器的联结，是对已引入的知识进行深化的联结。

3.交流合作

英国教育学者噶斯基博士认为：“从本质上讲，合作学习是一种教学形式，它要求学生在2～6人组成的异质性小组中一起从事学习活动，共同完成教师分配的学习任务，在每个小组中，学生们通常从事各种需要合作或互助的学习活动。”因此，交流合作的效果从某方面来讲是取决于教师所分配的任务。在联结学习中，教师所分配的任务应该注重学生知识结点、思维结点和观念结点的相互联结，所以在学生进行自主探究后，学生对某一知识已经形成了自己的认识，这时再分组让学生进行合作交流，这样做是有效率的，是在学生自我的各个结点进行联结后，再相互间进行联结，不管在知识、思维和观念方面都能使学生的联结加强或重新建立。而且，由于这种教学形式比较容易创造宽松的教学环境，因而有利于提高学生对数学学习的兴趣，有利于学生思维的相互碰撞，从而有利于学生发现问题、提出问题，有利于学生数学创新意识的提高。

4.归纳总结

这一环节是对整节课所学知识的归纳整理，在师生共同对比分析的过程中，去伪存真、去粗取精，使零乱的知识系统起来，在学生头脑中形成良好的认知结构。在这一过程中，学生在课堂已经建立的联结得到加强，尤其是可以提升观念与知识、观念与思维以及观念与观念间的联结，这一过程的实施，可以使学生分析问题、解决问题、应用问题的思路进一步明确，因而有利于学生数学创新意识的工作系统得到加强，从而提高学生的数学创新意识。

以上是基于联结学习的一种教学模式，之所以称其为“一种”，是因为在一种教学理念下并不是只能创造唯一的教学模式，也不是说一种教学模式应用于各种类型课中（如讲授课、习题课、活动课等），都会取得最佳效果。从文章角度讲，联结学习是为了提高学生的数学创新意识而提出的一种“教与学”的观念，它可以与众多的教学方法整合应用。它的目的是加强学生知识结点、思维结点和观念结点的横向与纵向联结，从而提高学生的数学创新意识。