数学教学: 培养学生创新意识的研究成果

创新（Innovation）一词据考查起源于拉丁语里的“Innovare”，意思是更新、制造新的东西或改变旧的东西。在我国，“创新”一词早在《南史·后记传·上·宋世祖殷淑仪》中就曾提到过，是创立和创造新东西的意思。

1912年熊彼特首次提出的创新概念的内涵是：“新的或重新组合的或再次发现的知识被引入经济系统的过程。”在这里创新不是一般意义上的“创造新东西”的简单缩写，它包括以下三个方面。

（1）前所未有的发现，也叫“独创”，这是创新的最高层次。就其“创新”的最高层次而言，它与“创造”是同义语。

（2）重新组合的知识，即“综合”。所谓重新组合的知识，就是把原来几种知识联系起来成为一种综合知识，或者把一种知识拆分成几部分，然后再以新的形式将这些部分重新联系起来成为新的知识。如教育教学活动中学科内部知识的重组、不同学科知识的重组、课本知识与生活实践知识的重组等。

（3）再次发现的知识，即“再创”。这是人类个体在自身发展过程中对人类知识的重新发现。这种创新从本质上说，是一种再创，学校教育中表现为中小学生的再次发现和重新组合。“再次发现”指学生通过自主学习，再次发现别人已经总结的经验，并掌握其中蕴涵的基本规律。

从以上分析我们可以看出，创新是有层次的，前所未有的发明是创新，重新组合和再次发现也是创新。

意识是人的头脑对客观物质世界的反映，是感觉、思维等各种心理过程的总和，其中的思维是人类特有的反映现实的高级形式。存在决定意识，意识又反作用于存在。

关于中学生的数学创新意识，《数学新大纲》做了以下界定：“数学创新意识主要是指对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。”对这一界定的各种理解和分析中，笔者比较认同裴光亚老师的观点。裴光亚老师认为，数学创新意识包括三个要素：一是创新品质，属于动力系统，包括好奇心、求知欲、怀疑感和批判精神；二是创新思维，属于智力系统，强调独立思考；三是创新方式，属于工作系统，关于问题的一个序列，即发现、提出、探究。这三个系统不是相互独立的，它们之间没有明确的划分界线，它们是相互联系、逐步递进的。

数学创新意识是数学创新活动的动力，没有数学创新意识，就不可能有数学创新行为和活动，就不可能形成数学创新能力。在国家大力提倡培养创新人才的前提下，我国近几年开始重视对学生创新意识的培养，但在当前中学的数学教学中，对学生创新意识的培养方面还存在一些问题。

一、当前中学数学教学在创新意识的培养方面存在的主要问题

在教学环境方面，我国传统教学体制中的一个弊病是大部分的教学方法都是以教师为中心，采用灌输式的教法，课堂教学僵化、呆板。这严重影响了学生学习的主动性，也不能很好地调动学生的兴趣，更谈不上创新意识的培养。

在实际教学中，多数数学教师还是采用“掐头去尾”的教学方法，忽视了对学生创新意识的启蒙和塑造。“掐头去尾”忽略了概念的形成和定理发现的过程，很容易给学生造成一种错觉，认为数学就是一步步地推导，只有推理没有猜测，只有逻辑没有艺术，只有抽象没有直观，只有理性没有想象，使学生对数学望而生畏，敬而远之，学了多年数学，但始终未能把握数学精神，更谈不上用数学的眼光和思想方法来认识周围的世界，这种教学方法严重妨碍了学生创新意识的发挥，不利于提高学生的素质。

教师一般只注重培养学生的解题能力，忽视了学生创新能力的培养。具体而言，教师只注重数学学科部分知识点与思维的联结，而忽视了学科外知识点与数学知识点的联结，学科外知识点与数学思维的联结，也忽视了学生的知识、思维与观念的联结。而这些被忽视的联结过程，正是学生数学创新意识得以提高的契机。

如何才能改善课堂教学环境，改进教学过程，在使学生牢固掌握数学基础知识的基础上，提高学生的数学创新意识是非常值得教育者研究的课题。

二、联结学习培养学生数学创新意识的策略构想

根据前文的分析，要使联结学习达到培养学生数学创新意识的效果，采用情境教学的策略是必然的。Robert D.Tennyson在2002年修改的教学设计的联结学习理论（Linking learning theory）中提出了联结学习理论的教学处方为：①讲解策略；②练习策略；③问题定向（problem-oriented）策略；④复杂—动态（complex-dynamic）策略；⑤自我管理的经验。Tennyson认为，问题定向策略和复杂—动态策略都包括情境单元的教学。

在学习时间的分配方面，传统教学用绝大部分的教学时间来学习陈述性知识和程序性知识。联结学习理论认为，如果想提高问题解决能力和创造性，就应该用70%的教学时间来学习和思考涉及情境性知识的获得、知识和技能的分化（整合）及建构。不管联结学习中情境性知识的学习部分应该占多少比重，不可否认的是教学情境的设置是联结学习课堂的一个特征。在创设情境的前提下，教师应引导学生进行知识结点、思维结点和观念结点的相互联结，在此联结过程中，培养学生的数学创新意识。那么联结学习的情境类型有哪些，如何在创设情境前后引导学生进行有效的联结学习，如何在联结学习的过程中使学生的创新意识有所提高，下文将针对这些问题进行逐步探讨。

（一）联结学习的教学情境类型

虽然联结学习在我国还没有全面普及，但从联结学习的本质来看，与它适应的教学类型应是在情境性教学的基础上进一步加强联结形成的。现在我国中学数学课堂情境大致分为现实情境和低抽象度的数学情境。根据情境具体内容上来分，类型众多，如问题情境、形象情境、发现情境、故事情境、生活情境、游戏情境、实践活动情境、实验情境、竞争情境、情绪情境、教室情境等。笔者认为，在中学数学课堂创新教学中应用较多的有以下几种：问题情境、发现情境、生活情境、实践活动情境和实验情境。这几种情境虽然形式不同，但并不是完全割裂开的，以这些情境类型为参考提出的情境教学是围绕知识、思维和观念的联结而展开的，目的是为了在联结学习的过程中激发学生的好奇心和求知欲，培养学生独立自主地发现问题、提出问题，并对问题进行积极探究的能力，从而提高学生的数学创新意识，培养学生的创新精神。

当前，我国的教学在“创设情境”方面取得了不容忽视的成果，从联结学习的角度看，这种类型的教学注重实践与数学的联结，能够调动学生的好奇心和求知欲。但它的实施一般只将创设情境作为导入新课的一种手段，这只是联结学习的一部分，仅仅包含了创新意识的部分因素。如果将创设情境不仅作为导入新课的一种手段，而且将其贯穿于整个教学活动，那么这种情境教学方式能够在教学过程中创设更多联结学习的机会，提供更多培养学生创新意识的机会。

由于这种教学设计与联结学习理论联系紧密，下文将以联结学习理论为理论支撑，以情境教学为实践依托，以培养学生的创新意识为目标维度，详细地在理论上进行探索研究，并在实践上加以论证。

（二）基于情境教学的“三阶段”横向联结学习

前文曾提过数学创新意识的要素分为多种类型，裴光亚老师认为数学创新意识包括三个要素：一是创新品质，属于动力系统，包括好奇心、求知欲、怀疑感和批判精神；二是创新思维，属于智力系统，强调独立思考；三是创新方式，属于工作系统，关于问题的一个序列，即发现、提出、探究。基于此基础，我们可以得出这样的假设，如果数学创新意识的动力系统、智力系统和工作系统都得到提升，那么学生的数学创新意识将得到相应提升。基于这一假设，可以将情境教学中的横向联结学习从理论上分为三个阶段，以此来分析学生数学创新意识三个系统的相应提升。

第一阶段，引入新课的问题情境，激活知识点间的相互联结，使学生对新知识产生好奇感和求知欲。

丰富的知识储备是创新的基础。人的思维活动主要是由思维主体——大脑完成的。大脑除了将感觉器官所接收的信息进行交换和加工外，还可以将其存储起来，形成记忆表象。当大脑再次受到刺激的时候，立即将记忆表象唤醒，并与其他信息进行对比和交换，从而形成对事物的再认识，如果没有丰富的知识储备，是无法产生创新思维的。泰勒说过：“具有丰富知识和经验的人，比只有一种知识和经验的人，更容易产生新的联想和深刻的理解。”因为知识的广博能促进交叉、渗透、联想，从而产生新的知识生长点。

乔纳森在《学习环境的理论基础》一书中，对情境做过这样的描述：“情境是利用一个熟悉的参考物，帮助学习者将一个要探究的概念与熟悉的经验联系起来，引导他们利用这些经验来解释、说明、形成自己的科学知识。”古代教育家孔子说：“不愤不启，不悱不发。”愤者，心求通而未得之意；悱者，口欲言而未能之貌。启，谓开其意；发，谓达其辞。教师在教学中要在充分了解学生的数学水平基础上，提出在学生“最近发展区”左右的富有挑战性的且学生感兴趣的情境性问题，形成学生未知知识与已知知识的认知冲突、现实生活中的知识与数学学科内部知识的认知冲突，从而形成最初步的知识与知识的联结，调动学生的好奇心和求知欲。

第二阶段，以任务构建解决问题的情境，促使思维与思维间的灵活联结，调动学生独立思考解决问题的积极性。

美籍华人、美国的柏克莱加州大学校长田长霖说：“中国的留学生到美国来，考试的成绩常常会令我们感到惊异；他们怎么这么厉害！可是到了真正做研究的时候，他们就不一定行了，因为他们缺乏独立思考能力的训练。”

要培养学生创新意识的一个关键点是给学生足够的独立思考的空间。教师提出一些在学生“最近发展区”的问题，让学生积极开动思维，进行思维与思维间的联结。

在这个过程中，教学更应强调学生的独立探索，而学生的独立探索既可以对数学抽象知识进行探索，也可以结合具体情境来进行探索。

在联结学习中，完成教师提出任务或解决自己提出的问题的过程首先是学生独立思考的过程，更强调了学生的独立探索。在学生进行猜测、推翻猜测、证明猜测、明确结果的过程中，联结权重不断发生改变，学生的思维积极地进行联结。心理学研究表明，联结主义所谓的学习就是对联结权重的适应性变化，通过联结权重的改变以使输出符合期望。这个联结权重进行改变的过程就是思维进行转换的过程。

在这一阶段中，创新意识的智力系统在学生独立思考的过程中得到了加强。需要强调的是，在提出任务让学生进行探索时，并不是只采用让学生独立思考的教学方法，而应根据实际需要，或采用合作交流学习，或采用活动课型的教学等。但联结学习理论强调的是要给学生独立思考的机会，让学生学习变化着的知识。因此，不管是采用什么教学法，都应给学生一定独立思考的时间和空间，在学生自身思维与思维进行联结的同时，学生的独立思考能力得到提升，即创新意识的智力系统得到加强。

第三阶段，以知识丰富域构建反思的问题情境，提升观念与观念间的更新联结，调动学生发现、提出并探究富有逻辑性和现实性的问题。

这一阶段属于学生之间以及师生之间进行交流的阶段，对问题的交流实质上包括了知识与知识的交流，思维与思维的交流。在前两个阶段的基础上，知识、思维间的相互联结已有一定程度的提高，但主要是学生自身知识和思维的相互联结。而在这一阶段中，学生与学生间的知识和思维可以得到联结。对于学生个体来讲，可以在其他同学的提示下获得新知识或转变新视角。如果说学生以往的知识是在已有观念的指导下进行的建构、联结，那么在这一阶段中，知识、思维的联结则是在老师和其他同学观念的影响下来更新自己的观念，进而进行各种结点间的联结。因此，这一阶段是学生在观念更新的过程中发现问题、提出问题并探究问题的。无形之中，创新意识的工作系统得到了加强。这一阶段的问题可以是数学学科内部的问题或其他学科的问题，还可以是日常生活中的问题。数学学科内部的问题可以加强学生已形成的结点间的联结，学科间的问题和现实生活中的问题则可以使学生发现学有所用，从而激发学生学习数学的好奇心和求知欲，使这三个阶段形成一个良性循环系统。

需要强调的是，横向联结的三个阶段并不是相互独立的。在每一个阶段中，不是单纯地只发生一种联结或只能提高创新意识的一个方面，每一个阶段都会存在各种联结，但我们只是站在提高学生数学创新意识的角度，为了清晰地分析提高数学创新意识的各个系统功能而在每个阶段中侧重于一种联结来分析。

总结上述观点，可以得出以下结论：在知识结点、思维结点和观念结点进行横向联结的过程中，情境教学可以依据横向联结的发生相应地划分为三个阶段，而这三个阶段的实施能够使学生数学创新意识的动力系统、智力系统和工作系统得到相应的完善，从而使学生的数学创新意识得到一定的提高。

在联结学习过程中，并不是只发生横向联结。事实上，在学习过程中，学生的知识与思维、思维与观念、观念与知识之间的联结也是非常紧密的。我们将知识、思维与观念间的相互联结称为纵向联结。情境教学能够提高知识结点、思维结点以及观念结点中自身与自身的横向联结，那么能否加强它们间的纵向联结呢？我们将以情境教学方式为教学背景，站在纵向联结学习的角度来探讨学生的创新意识。

（三）基于情境教学的循环式纵向联结学习

在知识方面，科学结构的演进对学生的知识、思维和观念具有重要影响。从古到今，科学结构的演化经历了一个从笼统综合到纵向分化，再到整体综合化的过程。尤其近半个世纪以来，科学技术的高速发展，一方面在纵向上使学科内部的分化更加精细，另一方面也在横向上使学科之间进一步交叉综合。这种综合不仅使各门学科向广延发展，使它们之间的界限模糊而融合，而且它还是各门学科向纵深发展必须借助彼此的知识和方法的需要。

杜威认为：“学校科目相互联系的真正中心，不是科学，不是文学，不是历史，不是地理，而是儿童本身的社会活动。”学生必须以很多不同的方式接触学科内容，其中的很多方式都必须是复杂的、真实的项目。这些项目本质上应该是发展性的，应与工作联系起来。它们应该有助于把学科内容与学生实际生活的世界联系起来。这些项目能产生交流和群体间的相互作用，这种交流和相互作用能使许多人获得发展。它们能成为教学的工具，通过这种工具，可以向学生传授更多的内容。

在对横向联结学习与学生数学创新意识提高的相关性分析中，是以创新意识的三个系统作为衡量标准进行分析的。而在知识与思维、思维与观念、观念与知识的纵向联结中，每一层次的纵向联结都可以通过创设问题情境来增强学生的好奇心和求知欲，从而使创新意识的动力系统得到提升。同时，为了提高学生独立思考问题的能力，教师可以在每一层次的联结中给学生提供必要的独立思考的空间，从而使学生数学创新意识得到加强。此外，在知识与思维、思维与观念、观念与知识的纵向联结的每一层次，教师可以根据实际需要，让学生独立发现、提出、探索问题，或让学生通过交流合作来提出问题，共同探讨。在发现、提出、探讨问题的过程中，学生的数学观念会有发展的空间和被激活的前提，学生数学创新意识的工作系统将得到加强。

从理论上来讲，以创新意识的三个系统为目标维度来分析学生在纵向联结学习中的数学创新意识有无提高，其分析方法与横向联结学习中对学生数学创新意识的影响的分析方法是相同的，在此不再赘述。为了突出纵向联结学习的特点，尤其是为了突出其对培养学生数学创新意识的作用，下文从另一个角度来阐述纵向联结学习对提高学生数学创新意识的作用，即从纵向联结的每一层次可分别提高学生的思维创新意识、观念创新意识和知识的再创新意识这一维度来进行分析，通过每一子成分的创新意识得到提升，反映学生的整体创新意识的提升。

在联结学习中，学生的知识、思维和观念的纵向联结如同科学结构的演进，相当于是一个从知识的笼统综合到思维分化再到观念整合的过程。学生对新知识的学习，首先是教师构造合适的问题情境使学生对已有知识和即将学习的知识进行笼统整合，继而教师在问题情境下精选变式问题，培养学生的发散性思维，在学生的知识与思维进行联结时培养学生的创新意识。此外，在学生的思维和观念进行联结时，教师要引导学生构造“小步距”问题情境，以使学生在观念上的创新意识得到顺利提升。因为思维到观念的联结本质上是量与质的联结，只有注重创新意识的有序性和阶梯性，才能使学生由对思维的创新意识顺利过渡到对观念的创新意识。在新的观念指导下，教师要引导学生对已习得的知识进行总结和评价，在学生自我评价和相互评价的过程中，提高学生对知识的再创新的意识。

这样，在知识、思维和观念相互联结的过程中，学生在知识、思维和观念方面的创新意识都得到了提升。下面基于情境教学对循环式纵向联结学习阶段进行逐一分析。

1.以数学本质为中轴，构造变式性问题，加强知识与思维联结的自由度，为学生提供思维创新的空间，诱发学生的创新意识

良好的问题情境不仅应当是“标准的”，即具有典型的模式，为吸收或同化其他学习材料提供理想的框架，有利于学生对材料进行抽象和概括，而且应当具有“变式”性，即问题情境的形式和叙述可以不断变化，而基本原则和本质属性保持不变。变式性问题往往揭示条件性知识，注重的是方法。因此，变式性问题情境主要具有这样一些功能：第一，建构功能，即利用变式性问题情境能加深对相应“问题群”的理解和解释，即在知识和思维进行联结时，变式性问题的提出有助于思维的发散，因而为思维的创新提供了更大的空间；第二，整合功能，从微观来看，知识与思维的联结过程属于发散式联结，但从宏观上整体把握可以发现，知识与思维的联结是将输入的信息问题按问题类型或知识结构整合成一个整体，有利于知识结构向认知结构的转换，这个阶段也为下一个阶段——思维与观念的联结奠定了基础；第三，应用功能，在知识与思维联结的过程中，同时揭示了知识应用的条件，当学生体会到知识能成功地应用于现实问题时，会更加积极地探索数学与现实的联结，而这就是学生创新意识提高的标志之一。因此，教师在构建问题情境的过程中，既要注意基本知识点的中心性，又要善于与其他学科、日常生活进行联结，使学生在对各种问题进行思考的同时，加强对知识点本质的认识。

在知识与思维进行联结的过程中，教师提出的“变式性”问题由于注重了数学学科内部新旧知识的联结、注重对学科间知识的相互联结，从而对激发学生的好奇心以及求知欲有促进作用。当学生的好奇心被激起后，教师在授课过程中，学生会在教师的引导下进行独立思考，意图解决相关问题。因此，在知识与思维进行联结的过程中，学生创新意识的动力系统（好奇心、求知欲、质疑精神）与智力系统（强调学生的独立思考）也得到了联结与加强。这样，在问题的多样性基础上，学生进行独立思考，从而为学生提供了思维创新的空间，学生数学思维的创新意识在这一阶段有望得到提升。

2.以问题的程序性为基础，构造“小步距”问题情境，加强思维与观念联结的连通度，为学生提供创新的阶梯，培养学生的创新意识

问题的构建要有合理的程序性，即问题的设计要由浅入深，由易到难，层层递进，将学生的思维逐步引向新的高度。构建“小步距”问题情境，就是要善于把一个复杂的、难度较大的课题分解成若干个相互联结的子问题（或步骤）或把解决某个问题的完整思维过程分解成几个小阶段。“小步距”问题情境的构建，首先，必须具有适应性和针对性，即必须针对学生已有的知识、心理发展水平和学习材料的难易程度来设计问题；其次，必须具有有序性和阶梯性，即针对知识的系统性和学生认知发展水平的有序性来设计问题。教师设置的问题应坡度适中，排列有序，循序渐进，形成有层次的开放性系统，并在教学阶段后期进行老师与学生、学生与学生间的交流，这样才能使问题情境所含信息量不断增加，才能使学生产生“有阶可上，步步登高”的愉悦感，也才能兴趣盎然地接受知识，训练能力，体验情感，培养学生的创新意识。

在思维与观念联结过程中，“小步距”问题情境可以在教师的引导下，通过师生交流、生生交流提出问题，进而教师对这些问题进行整理，形成具有阶梯性、层次感的问题，使学生在独立思考、进行交流过程中，一步步由思维意识的创新提高到观念意识的创新。并且在这一过程中，学生数学创新意识的动力系统、智力系统和工作系统都有得到加强的机会。需要强调的是，观念意识的创新并不能在短时期内完成，最少要在一个系统的知识内容学完后，观念才会达到一个新的高度。

3.以问题的再生性为动力，引导学生对已习得的知识进行总结、评价及应用，加强观念与知识联结的契合度，为学生提供知识创新的契机，激发学生的创新意识

在学生学习新知识过程中，问题贯穿于整个教学阶段。当学生已基本掌握所学的主要内容后，学生的观念会有一定的变化，虽然可能没有达到质变，但会由于知识增多使得观念进行一定的结构重组，此时教师应及时引导学生对已习得的知识进行总结、评价及应用。

可以先让学生自己总结知识结构并进行自评，再在小组内进行讨论，互相阐述各自的总结思路并给予组内成员评价。在这个过程中，学生的知识结构会更加清晰，更加完善，为日后知识的创新提供前提，而且在评价过程中，由于学生思维的相互碰撞，有利于产生创新火花。

在知识、思维和观念的纵向联结学习过程中，横向联结学习也在同时进行着，每一部分的联结过程都是提高创新意识的契机。纵向联结学习与横向联结学习不是相互独立的，而是相互影响的。为了更清晰地分析联结学习与学生数学创新意识的关系，笔者将纵向联结与横向联结解剖开来进行理论分析。但在具体的教学过程中，如果以培养学生的数学创新意识为目标维度来实施联结学习，不仅应从理论上把握联结学习的本质，还应明确联结学习数学教学观的特点，在此基础上着手于具体的教学设计原则、特点、方法等，以期使学生的数学创新意识得到提高。