《梦溪笔谈》中的古代算术方法和历史纲要

2023-08-07 理论教育版权反馈

【摘要】：《梦溪笔谈》为北宋政治家、科学家沈括所著，是一部涉及古代中国自然科学、工艺技术及社会历史现象的综合性笔记体著作。——《梦溪笔谈·辨证一》2.算术求积尺之法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类，物形备矣，独未有隙积一术，古法：凡算方积之物，有立方，谓六幂皆方者。

《梦溪笔谈》为北宋政治家、科学家沈括所著，是一部涉及古代中国自然科学、工艺技术及社会历史现象的综合性笔记体著作。大约成书于1086—1093年，收录了沈括一生的所见所闻和见解，被西方学者称为中国古代的百科全书，被英国科学史家李约瑟评价为“中国科学史上的里程碑”。

【史料】

1.阳燧照物皆倒，中间有碍故也。算家谓之“格术”。如人摇橹，臬为之碍故也。若鸢飞空中，其影随鸢而移，或中间为窗隙所束，则影与鸢遂相违，鸢东则影西，鸢西则影东。又如窗隙中楼塔之影，中间为窗所束，亦皆倒垂，与阳燧一也。阳燧面洼，以一指迫而照之则正；渐远则无所见；过此遂倒。其无所见处，正如窗隙、橹臬、腰鼓碍之，本末相格，遂成摇橹之势。故举手则影愈下，下手则影愈上，此其可见。阳燧面洼，向日照之，光皆聚向内。离镜一、二寸，光聚为一点，大如麻菽，著物则火发，此则腰鼓最细处也。岂特物为然，人亦如是，中间不为物碍者鲜矣。小则利害相易，是非相反；大则以己为物，以物为己。不求去碍，而欲见不颠倒，难矣哉！《酉阳杂俎》谓“海翻则塔影倒”，此妄说也。影入窗隙则倒，乃其常理。

——《梦溪笔谈·辨证一》

2.算术求积尺之法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类，物形备矣，独未有隙积一术，古法：凡算方积之物，有立方，谓六幂皆方者。其法再自乘则得之。有堑堵，谓如土墙者，两边杀，两头齐。其法并上下广，折半以为之广以直高乘之，以直高以股，以上广减下广，余者半之为勾。勾股求弦，以为斜高。有刍童，谓如覆斗者，四面皆杀。其法倍上长加入下长，以上广乘之；倍下长加入上长，以下广乘之；并二位，以高乘之，六而一。隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。余思而得之，用争童法为上位；下位别列：下广以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上位。假令积罂：最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次。先以上二行相次，率至十二，当十一行也。以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二；又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二；并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下广十二，以上广减之，余十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此为罂数也。刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡积也。履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术。凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。古法惟以中破圆法拆之，其失有及三倍者。余别为拆会之术，置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股；各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径。以所割之数自乘倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧。再割亦如之，减去已割之弧，则再割之弧也。假令有圆田，径十步，欲割二步。以半径为弦，五步自乘得二十五；又以半径减去所割二步，余三步为股，自乘得九；用减弦外，有十六，开平方，除得四步为勾，倍之为所割直径。以所割之数二步自乘为四，倍之得为八，退上一位为四尺，以圆径除。今圆径十，已足盈数，无可除。只用四尺加入直径，为所割之孤，凡得圆径八步四尺也。再割亦依此法。如圆径二十步求弧数，则当折半，乃所谓以圆径除之也。此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此。

——《梦溪笔谈·技艺》

【史料解析】

《梦溪笔谈》包括《笔谈》《补笔谈》《续笔谈》三部分，一共三十卷，其中《笔谈》二十六卷，《补笔谈》三卷，《续笔谈》一卷，内容涉及天文、数学、物理、化学、生物等各个门类学科。书中的自然科学部分总结了中国古代，特别是北宋时期的科学成就。社会历史方面则对北宋统治集团的腐朽有所暴露，对西北和北方的军事利害、典制礼仪的演变、旧赋役制度的弊害，都有较为翔实的记载。

【译文】

1.用阳燧照物体都是倒立的影像，是因为中间有障碍的缘故。算学家说这叫作“格术”。譬如人摇橹，做支撑的小木桩成了橹的障碍一样。像老鹰在空中飞行，它的影子随着鹰飞而移动，如果鹰和影子之间的光线被窗孔所约束，那么影子与鹰飞的方向就相反了。又像窗孔中透过楼塔的影子，中间的光线被窗孔所约束，也都是倒垂，与阳燧的情形一样。阳燧的镜面是凹陷的，当一个手指靠近镜面时，像是正的；当手指渐渐移远到某一位置，像就不见了；超过这一位置，像就倒过来了。那个看不见的地方，正如窗户的孔、架橹的木桩、腰鼓的腰成了障碍一样，物体与像相对，就成了摇橹的情形。所以举起手来影子就越向下，放下手来影子就越向上，这应该是可以看得到的。阳燧的表面是凹陷的，对着太阳照，光线都集中在内心。离镜面一二寸的地方，光线集中成一个点，大小如芝麻粒，照到物体上面，物体一会儿就燃烧起来，这就是腰鼓最细的地方。岂止物体是这样，人也如此，中间不被外物阻碍的很少。小的就把利害互相改变，是非互相颠倒；大的就把自己当成外物，把外物当成自己。不要求去掉障碍，却想看到不颠倒的物象，太难了啊！《酉阳杂俎》所说“海翻则塔影倒”，这纯属虚枉之谈。影像通过窗孔就会颠倒，这才是通常的道理。

2.算术中求物体体积的方法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马等，各种形状的物体都具备了，只是没有隙积术。古代的算法：凡计算物体的体积，有立方体，是指六个面都是正方形的物体，其计算方法是把一条边自乘两次就可以求得了。有堑堵，是指有点像土墙形状的物体，两边是斜的，两头的面是垂直的。它的截面面积的算法是：先把上、下底的宽相加，除以二，作为截面的宽，用直高与它相乘就求得了一个值；再将直高作为股，用上底面的宽减去下底面的宽，所得之差除以二作为勾，用勾股定理算出弦，就是它的斜边长。有刍童，是指有点像翻过来的方斗形状，四侧都是斜面。它的计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一（就求得了它的体积）。隙积，是指堆累起来而其中有空隙的物体，像堆叠起来的棋子、分层建造起来的土坛以及酒馆里堆累起来的酒坛子一类的物体。它们虽像倒扣着的斗，四侧都是斜面，但是由于边缘存在着一定的残缺或空隙，如果用刍童法计算，所得数量往往比实际的要少。我想出了一种计算方法：用刍童法算出它的上位、下位数值，另外单独列出它的下底宽，减去上底宽，将所得之差乘高，取其六分之一，再并入前面的数目就可以了。假设有用酒坛子累成的堆垛，最上层的长、宽都是两只坛子，最下层的长、宽都是十二只坛子，一层层交错堆垛好。先从最上层数起，数到有十二只坛子的地方，正好是十一层。用刍童法来计算，把上层的长乘二得四，与下层的长相加得十六，与上层的宽相乘，得三十二；再把下层的长乘二得二十四，与上层的长相加得二十六，与下层的宽相乘，得三百一十二；上、下两数相加，得三百四十四，乘高得三千七百八十四。另外将下层的宽十二减去上层的宽，得十，与高相乘，得一百一十，与前面的数字相加，得三千八百九十四；取它的六分之一，得六百四十九。这就是这堆酒坛的数量。运用刍童法算出的是实方的体积，运用隙积法算出的是空缺部分拼合成的体积，也就可以算出多余的体积。丈量土地的方法，方、圆、曲、直的算法都有，不过没有会圆的算法。凡是圆形的土地，既能够拆开来，也应该能让它拼合起来恢复圆形。古代的算法，只用中破圆法把圆形拆开来计算，它的误差有达三倍之多的。我另外设计了一种拆开、会合的计算方法。假设有一块圆形的土地，用它的直径的一半作为弦，再以半径减去所割下的弧形的高，用它们的差作为股；弦、股各自平方，用弦的平方减去股的平方，将它们的差开平方后作为勾，再乘二，就是所割弧形田的弦长。把所割弧形田的高平方，乘二，再除以圆的直径，所得的商加上弧形的弦长，便是所割弧形田的弧长。再割一块田也像这样计算，用总的弧长减去已割部分的弧长，就是再割之田的弧长了。假如有块圆形的土地，直径是十步，想使割出的圆弧高两步，就用圆半径五步作为弦，五步自乘得二十五；又用半径减去弧形的高两步，它们的差三步作为股，自乘得九；用它与弦二十五相减得十六，开平方得四，这就是勾，再乘二，就是弧的弦长。把圆弧的高二步自乘，得四，再乘二得八，退上一位为四尺，用圆的直径相除。现今圆的直径为十，已经满了整十数，不可除。只用四尺加下圆弧直径，就是所割圆的弧长，共得圆弧直径八步四尺。再割一块圆田，也依照这种方法。如果圆直径是二十步，要求弧长，就应当折半，也就是所说的要用圆弧的半径来除它。这两种方法都涉及精确的算法，是古书里没有说到的，随笔记录于此。

《梦溪笔谈》中的古代算术方法和历史纲要

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