统计与概率教学：培养学生随机思维的数据分析

1.通过数据分析培养学生初步的随机思维具有重要意义

小到人们的日常生活，大到国家政治经济生活，随机现象随处可见。数学教学的根本目的是发展学生的思维，既然“机遇（或说偶然性）无所不在，是一个无法回避的现实”，那发展学生的随机思维自然也就非常重要了。

在当今这个大数据时代，数据分析已经成为研究随机现象的重要数学技术，因此，在小学数学教学中对学生进行随机思维的启蒙和培养也具有重要的现实意义。

另外，随机现象的规律性代表的与演绎推理截然不同的数学思维方式，还可以拓宽学生解决问题的思路。

2.学生对随机现象的认识非常欠缺

笔者曾以“举例说一说什么样的问题需要调查收集数据，根据数据来解决？”为题，向某校五年级学生调查他们对随机问题的认识情况。

结果只有25.9%的学生提出了带有随机性的问题，比如全班兴趣爱好，全班同学早上来上学所使用的交通工具是什么等，绝大多数学生提出的都是结果确定的问题。

笔者还以“有放回摸球”为题，调查学生对不确定事件的随机性的认识情况。摸球条件是袋子里装了黄、白两种颜色的球，一共有10个，它们除颜色外都一样。每次摸球之前把球摇匀，摸完将球放入袋中。

回答如何看待实验条件相同，摸球实验规则相同，某组同学摸球结果和其他组都不一样这个现象时，被调查的三年级、五年级都有大约20%的学生表示说不清，另有约20%的学生不能从随机性的角度看待这个现象，他们有的认为没有摇匀、有的认为白球恰好在黄球的上面等。

以上这些调研结果都说明学生对随机现象的认识非常欠缺。

3.教师对通过数据分析体会随机性的教学还处于摸索阶段

访谈中了解到日常教学中教师对这部分教学内容不够重视，特别是课标修订后，教学内容不涉及用分数表示可能性的大小了，教师感觉不知道教什么、考什么了，教学时就更加不重视了。

通过数据分析体会随机性是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中首次提出的，很多教师对此理解得还不够，大家还处于理解和摸索的过程中。如：有的教师课堂教学中还停留在知识与技能上，带领孩子解决一些简单的课后问题，而没有在通过数据体会随机性上下功夫。史宁中教授说：“利用数据分析来体现随机性，这样做的可行性以及如何去做，都需要经过教学实验，经过广大教师的实践和研究。”

综合考虑通过数据分析体验随机性的重要性，学生对随机现象认识的欠缺以及教学的现状，通过数据分析培养学生初步的随机思维应该是发展数据分析观念的一个教学关键问题。

案例SJ-3-1：《下一次可能是谁？》（《可能性》，五年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在统计与概率教学中通过数据分析培养学生初步的随机思维”。

教学内容分析

本节课教学内容是人教版小学数学教材五年级上册《可能性》中的三个例题。例1主要是认识不确定事件，基于经验在交流中学会列举不确定事件可能出现的所有结果，是培养学生随机思维的基础。例2是在无放回的摸球实验中，通过数据分析体会对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，同时感受到不确定事件的结果也有规律可循。例3是体验根据数据规律对总体情况进行推断。例2和例3是本节课中培养学生随机思维的关键。

该内容要培养学生初步的随机思维，关键点是创设真实的、带竞争性的猜球环境，让学生在想一想、说一说，摸一摸、说一说的活动中为了便于教学，笔者把一些统计名词术语转化为课堂上的教学用语：概率——按道理说……频率——实际实验……

学情分析

围绕教学关键问题，针对教学任务对学生进行调研。

盒子里有10个绿球、2个白球（这些球摸上去手感完全相同，无法区分）。小明闭眼去摸，第一次摸到了白球，第二次又摸到白球，对这个现象你有什么想法？

调研结果：

学生对于这件事的想法五花八门：从随机思维的角度来看，这些想法可分为两类，如下表所示：

调研分析：从调研结果可知，在收集数据的过程中感受某个数据产生的随机性时，大多数学生就受到了确定思维的影响。显然，教学目标不是“学生能根据老师的提问正确回答出答案”，而应该是“面对不确定事件能自觉去列举不确定事件可能出现的所有结果，比较这些结果发生的可能性的大小”。这是培养学生随机思维的基础。

基于此，我们将教学关键问题解构为下面三个小问题：

（1）在实际情境中，学生能不能有意识地列举不确定事件可能出现的结果并自觉去比较这些结果发生的可能性的大小？

（2）本案例中，学生是否认识到了“同样的事情每次收集到的数据可能不同”？

（3）本案例中，怎样帮助学生初步感受“只要有足够的数据就可能从中发现规律”呢？

教学目标

通过摸球游戏，感受简单的随机现象；发展自觉列出简单随机现象所有可能结果的意识，以及自觉判断每种结果发生的可能性大小的意识；能对一些简单的随机现象发生的可能性大小做出定性描述，并进行交流。在实验和思辨活动中感受到无论前面做过多少次实验，结果如何，下一次实验的结果仍然是不确定的，只要有足够的数据就可能从中发现规律。

基本设计思路

在活动中认识确定事件和不确定事件，用恰当的词描述这些事件；培养自觉列举简单随机事件所有可能结果并定性描述可能性大小的意识；在猜、摸、讨论的过程中体会随机性；在设计如何能推测出整体情况的活动中体会随机性。

片段回放

片段一：创设无放回的摸球活动，培养学生有意识地列举不确定事件可能出现的结果，并自觉去比较这些结果发生的可能性大小的意识

（PPT出示一个透明的盒子，里面有7个黄球和5个白球）

问题1：闭眼摸一次球，结果是什么颜色的球能确定吗？虽然不确定但是能确定什么？你是怎么想的？

问题2：如果我第一次摸到了黄球，准备摸第二次，根据这个情况你能知道什么？给我们分析一下。

问题3：如果第二次我又摸到了黄球，准备摸第三次，摸之前谁来给我们分析一下情况？刚才都是摸到黄球的可能性大，这次怎么摸到黄球和白球的可能性一样大呢？

问题4：如果第三次我又摸到了黄球，准备摸第四次了，你现在在想什么？这次怎么反而摸到黄球的可能性小了呢？

问题5：通过这个活动，你想说点什么？

生1：因为盒子里不是只有一种颜色的球，所以闭眼摸球一次，结果是不确定的，但是只可能是两种情况：黄球或者白球。

生2：根据黄球和白球的个数多少的比较，我们还能确定摸到哪个颜色球的可能性大，摸到哪个颜色球的可能性小。

片段二：创设有放回摸球竞猜活动情境，体会“同样的事情每次收集到的数据可能是不同的”

师：这个盒子里面放7个黄球，4个白球（边说边放）……这次，我们有放回地摸球。由此你能分析出什么？

生：……

师：按照这种有放回的要求进行摸球，如果让你就摸4次，你们觉得结果是摸出黄球的次数多还是摸出白球的次数多？

生1：摸出黄球的次数多。

生2：有可能白球的次数多。

师：某某认为摸白球的次数多，是不是注定他要失败？怎么想的？

生：当运气好的时候也有可能摸出白球的次数多。

师（从两种意见中，各选一位同学作为代表）：你们觉得我第一次会摸到什么颜色的球？

师（第一次教师摸出白球）：黄的多，白的少，怎么回事？这不合理呀？

师（第二次又摸出白球采访两位同学）：已经摸到两次白球了，就目前的形势，你有什么想法？

师（转向全班）：他们的心情都能理解，但理性分析一下，我这次摸下去，会不会像生1那样想，已经摸出两个白球了，下次还会摸到白球，会不会像生2那样想，已经摸到2次白球了，下次也该摸到黄球了吧。大家有什么要对两位同学说的吗？

师：通过这个小活动你想说点什么？

生：不管前面已经出现了什么样的结果，下一次摸到的结果还是不能确定。

师：心里紧张或者高兴都很正常，但是咱们更应该理性地认识到，其实下一次结果依然是不确定的，可能是黄球也可能是白球，只不过摸到黄球的可能性大一些。

片段三：通过分组实验再汇总数据积累足够多的数据，体会有足够多的数据就能发现规律

（给每个小组一个装有7个黄球、4个白球的盒子分组进行20次摸球活动。每个组记录每轮摸到黄球、白球的情况，之后汇报本组摸球情况，再进行汇总）

师：看着黑板上的这些数据，你想说点什么？

生1：当盒子里黄球多的时候，如果摸的次数特别多，还是摸出黄球次数要更多一些。

师：反过来，摸出黄球的次数多，能说明什么？

生2：摸出黄球的次数多，说明盒子里的黄球多。

师：就摸20次，发现某种球多，能够说明这种球多吗？

生2：不能。第二组摸20次，就是白球多。

师：20次不行，怎样才行呢？需要摸多少次？

生2：需要多摸几次，比20要多得多。

师：到底需要摸多少次呢？她说了一个词，叫“多得多”，我修改一下，叫“足够多”。摸得足够多，就可能从中发现规律。

片段四：梳理总结过程中再次体会随机性

师：这里有一个盒子，里面有4个球。只允许你做有放回的摸球实验，你觉得能不能判断出有几种颜色的球？哪种颜色的球多？说说你的想法。

生1：摸球的次数多了就能看出规律了，根据规律就能判断了。

生2：不一定，但是准确判断的可能性越来越大。

师：看来，只要有足够的数据就可能从中发现规律，准确判断盒子里面球的真实情况的可能性就越来越大。

深度思考

本案例的核心任务是培养随机思维，它被解构为三个小关键问题，在本案例中这三个问题得到了较好的解决。

教师创设无放回摸球的情境，用问题串引导学生，从学生的反馈中发现，学生还是能够自然地总结出“根据球个数多少，确定摸到哪种颜色球的可能性大”。

为了让学生认识到“同样的事情每次收集到的数据可能是不同的”，教师营造猜球的对抗环境，让学生在极具诱惑的真实情境下猜结果—摸球—讨论结果合理性—猜结果—摸球—讨论结果合理性……学生说出的“不管前面已经出现了什么样的结果，下一次摸到的结果还是不能确定”表明学生对“同样的事情每次收集到的数据可能是不同的”已经有了体会。

为使学生感受“只要有足够的数据就可能从中发现规律”，教师开展了做真实验和讲典型故事两个活动。其中在真实验的活动中，教师通过先分组同时实验然后再汇总数据的方法获得了足够的数据。通过活动，学生对“只要有足够的数据就可能从中发现规律”有了直观感受。

笔者认为教师从关键问题的内涵出发，从培养数据分析核心素养的高度分析具体教学内容，所解构出的三个小问题紧扣课标要求，确实是本节课培养学生随机思维的关键点。深入分析这个案例，笔者从设计和实施两个方面梳理出如下一些比较有效的方法和策略。

从设计层面上看，教师能利用开放性问卷了解学生遇到的真问题。课前教师采用开放性问卷进行调研，发现了学生存在的障碍：理性上认可“同样的事情每次收集到的数据可能是不同的”，感性上却认为会按照自己的希望发展。这反映出学生随机思维发展的局限性。此外，学生往往通过有限的数据，就推断规律。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）尽可能地营造真实且紧张的氛围。真实参与到活动中去得到的体验一般都要比以局外人的身份看得深刻得多。本课中活动后学生的反馈都说明了这一点。这提示我们，教学中要尽可能地创造机会让学生参与进来。

（2）在进行活动时，要让学生摸前猜结果，摸后讨论结果合理性。这些做法提示我们，任何数学内容的教学都应该把发展思维当作最重要的任务，实践的目的也是如此。

（3）提出开放性的问题，引发学生思考。封闭性的问题虽能更快得到答案，却难以反映出真实的想法。而且在开放性问题引导下学生畅所欲言的内容又成了新的资源。

（4）课堂教学时，采用分组同时实验，再汇总数据的方法，以获得足够多的、真实的实验数据。

（案例撰写人：北京市朝阳区星河实验小学　侯春漫）

案例SJ-3-2：《体会随机现象规律性的价值　发展随机思维》（《掷一掷》，五年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在统计与概率教学中通过数据分析培养学生初步的随机思维”。

教学内容分析

本案例的教学内容是人教版小学数学教材五年级上册里一个以游戏形式探讨可能性大小的综合与实践课，它紧随在第四单元《可能性》后。这个利用数据揭开真相的活动不但可以让学生再次通过数据分析体会随机性，而且有助于体会数据分析可以用来研究随机现象，培养利用数据发现问题、解决问题的意识。史宁中教授说：“我们教学很重要的是培养孩子们对于数据的感情，使他们知道通过数据能够帮助人们做点事，通过数据判断比瞎猜好，而这个数据自己也能够得到。”发展随机思维仍是这节课最重要的教学任务。

学情分析

围绕教学关键问题，针对教学任务对学生进行调研。

调研题目：袋中装有若干个红球和白球（用手摸没有任何区别），但是不知道每种球的数目。想知道哪种球的个数更多，你打算怎么办？具体说说你的想法。

调研结果：在学习《可能性》的基础上全班同学都能想到通过摸球来确定哪种球的个数更多，而且也都认为要根据实验得到的数据进行判断。26%的学生没有提出“有放回摸球”的要求，但通过访谈发现这些学生都是按照“有放回地摸球”来想的。41%的学生能够提出需要做大量的实验，但是也有很多孩子没有谈到这一点。

调研分析：在熟悉的问题情境下学生能想到用“摸球”来解决，说明他们有了一些利用随机现象的规律性解决问题的意识；大部分学生没有谈到做大量实验，说明他们对随机性的认识还不够。

任何一种数学能力或者意识的建立都不是一蹴而就的，而是循序渐进、螺旋上升的。培养学生的随机思维也是如此。

结合本课内容和学情分析我们将教学关键问题解构为下面三个小问题：

（1）学生在本课的活动中是否通过数据分析体会到了随机性？

（2）在《掷一掷》的教学中，如何让学生体会数据分析对研究随机现象是有用的？

（3）在《掷一掷》的教学中，如何提升学生利用随机现象的规律性去发现问题、解决问题的意识？

教学目标

通过掷骰子活动，继续感受简单的随机现象；引导学生综合运用已学过的有关知识，探讨事件发生的可能性大小；在活动中，学生亲身经历观察、猜想、实验验证的学习过程，通过运用数据分析来进一步体会数据的随机性；初步渗透概率统计的数学思想，感受偶然性后面的必然性。

基本设计思路

在学生根据常识做出初步判断的基础上，提出通过实验证明猜想的想法，利用实验数据表现出的规律与原判断不同这个现象，引发疑问。通过数学证明发现实验数据表现出的规律更可靠，加深学生对通过数据分析研究随机性的认识。最后向课外延伸，引导学生在应用中继续通过数据分析体会随机性。

片段回放

片段一：利用书上提供的情境，让学生经历根据“感觉”判断—发现实验数据呈现的规律与“感觉”不同—换方法验证，解释实验结果的合理性的过程，体会随机性，体会数据分析可以用来研究随机现象

师：我把这些可能的结果分成两组，第一组是5、6、7、8、9，第二组是2、3、4、10、11、12，你们说同时掷两颗骰子，掷出的和属于第一组的可能性大，还是属于第二组的可能性大呢？

生（绝大多数学生）：掷出的和属于第二组的可能性大，因为第二组的数多。

师：同学们的意见有没有道理？

学生都认为有道理。

师：好，通过上节课的研究我们认识到，像这样的结果不确定的问题，每次实验得到的结果都可能不同，但是如果有足够的数据，就可能从中发现规律。所以，如果同学们的想法是正确的，那么我们做实验得到的结论应该和同学们的想法是一致的。你们敢不敢做实验验证一下自己的想法？

学生表示有信心。

师：掷一次定输赢怎么样？

生：不行，因为结果是不确定的，必须要做足够多次实验才行。

学生分组实验，最后把实验数据汇总，实验数据显示，掷出的和属于第一组的可能性更大。

师：从实验数据中得到的信息和我们刚刚的猜测不一样呀，你更相信哪一个？

生1：虽然我觉得掷出的和属于第二组的可能性更大，可是我们已经做了这么多次实验了，实验结果说掷出的和属于第一组的可能性更大……

生2：刚才做完实验我就想，为什么和我们猜的不一样呢？我发现得2的只有1+1，可是得5的可以是2+3，1+4，得6的可以是1+5，2+4，3+3……

顺着这个同学的思路，老师和学生一起展开研究，终于揭开了其中的奥秘。

师：今天这个经历对你有什么启示？

生：看来做实验来验证还是更可靠。

师：也就是说，像这样的结果不确定的问题，想知道到底哪种可能性更大，做实验根据数据中的信息来判断比瞎猜要好。

片段二：抛砖引玉将课堂学习延伸到课堂以外，鼓励学生到生活中去应用和体验

（出示问题）

1.你每天上学路上大概花多长时间？

2.你们班同学完成家庭作业的时间大约是多长？

3.一批种子的发芽率是多少？

……

师：利用不确定事件的规律性可以帮助我们解决一些问题。老师提供给大家一些这样的问题，请同学们利用调查、收集数据、分析数据的方法尝试解决。这些问题权当抛砖引玉，如果你们也有这类问题，研究自己的问题更好，希望这个方法成为大家解决某些问题的有力工具。

深度思考

本案例围绕解构的三个小关键问题设计和实施，重点突出，比较有效地解决了既定的三个问题。

让学生体会到数据分析对研究随机现象是有用的，这对发展学生的随机思维是有意义的。本案例中，教师利用书上的问题情境，让学生在判断—实验、激疑—验证的过程中体会到了这一点。片段一中教师所说的“根据数据中的信息来判断比瞎猜要好”应该也是学生的心声。

如何提升学生利用随机现象规律性去发现问题、解决问题的意识呢？案例中除了通过实验、证明体会以外，在片段二中，教师还抛砖引玉，引导学生开阔视野，鼓励学生将随机现象的规律性应用于实际，把课堂学习延伸到课外实践。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）激疑、对比。

比较是认识的重要方法。课堂中，教师通过把猜想和数据呈现的信息进行对比，在对比中产生矛盾，在对矛盾的探究中，体会数据呈现出规律的价值。经历了这个过程，学生对“根据数据中的信息来判断比瞎猜要好”就有了深刻的体会。培养数据分析观念的过程也是帮助学生树立各种意识的过程，体验中比较，比较中认识和反思是培养与提升各种意识的有效手段。

（2）鼓励学生课外实践。

教师在课堂上抛砖引玉，开阔学生的视野，鼓励学生将随机现象的规律性应用于实际，把课堂学习延伸到课外实践。这种方法对学生形成利用数据的随机性去发现问题、解决问题的意识具有重要作用。

（案例撰写人：北京市朝阳区星河实验小学　侯春漫）