小学数学教学关键问题研究：数据中蕴含的信息体验

1.体会到数据中蕴含着信息是发展数据分析观念的首要方面

当今世界，数据分析已经成为解决现实问题的重要手段之一。教育要培养适应现代生活的合格公民，那么，培养学生对数据分析的兴趣，提升他们的数据分析能力是教育的重要任务。体会到数据中蕴含着信息是学生愿意进行数据分析的动力源泉，因此，它是发展学生数据分析观念的首要方面。

如果在教学中我们能始终围绕如何让学生体会到数据中蕴含着信息来进行教学设计与实施，把不断提升学生从数据中提取信息的能力当成重要的教学任务，我们的教学就不会偏离正常的轨道，就能够保证每个步骤、每个活动都有实效。

2.学生在体会数据中蕴含着信息方面的表现尚有很多不足

2.1　学习前收集数据的意识不足，学习后对统计问题的认识仍很片面

笔者以“班里举行秋游活动，要从下面四个地方选择一个地方去（注意只能选择一个地方）。四个地方为：香山、颐和园、科技馆、长城。想一想，如果想让大家尽可能满意，应该如何决定？为什么？”为调研问题对某校二年级学生进行调研发现，仅有不足20%的学生能想到要收集数据。这说明学习统计知识之前绝大多数学生没有数据的意识，那体会数据中蕴含着信息就更是无从谈起了。

那么学习后学生表现如何呢？笔者以“举例说一说什么样的问题需要调查收集数据，根据数据来解决？”为题对某校五年级学生进行调查，结果是59.2%的同学提出了具体问题，40.8%没有提出问题。提出问题的学生中有25.9%提出的都是结果确定的问题。比如“全小区有多少户人家？”“数学平均分是多少？”“全校有多少人？”等。这说明学生缺乏对哪些问题需要收集数据的全面认识。

前一个调查结果让我们认识到，课堂教学中我们必须想方设法让学生感受到数据中蕴含着信息，后一个调查结果则提示我们，需要加强对统计问题特点的认识，拓宽学生的眼界，使他们能看到更多的需要收集数据的问题，这样会有利于学生体会到数据中蕴含着信息。

2.2　从数据中提取信息的能力亟待提高

面对同样的数据，能够提取出的信息越丰富，越有利于学生体会数据中蕴含着信息。为了调查分析学生从数据中提取信息的能力，笔者根据《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》提供的读取数据的三个水平简单地把信息分成三类：直接信息、简单间接信息和复杂间接信息。

直接信息主要指数据本身的含义。简单间接信息主要指通过用给出的数据作比较和加减乘除运算得到的信息，比如最大值、最小值、极差，可以代表全班身高情况的平均数、众数、中位数等（根据课标需要说明，以上涉及的名词除了平均数以外，其他的只要求教师理解，不要求给学生讲解，但学生要体会数据所代表的意义）。复杂间接信息主要指通过基于数据的推断、预测、推理得到的信息，比如“让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，并从这些数据中发现有用的信息。根据数据发现虽然每天上学途中需要的时间可能是不一样的，但是通过一个星期的调查可以知道‘大概’需要多少时间……”，“根据学生证的编号估计学校的学生数”，“通过统计摸出红球和白球的数量，估计袋中是白球多还是红球多，估计白球数量和红球数量的比”等。

在这些基础上，笔者用“这是某人0—12岁每年测得的身高，观察这组数据（见下表）你获得了哪些信息？”为题对某校三年级、四年级学生进行调研分析，发现40.6%的学生只达到了水平1，46.9%的学生达到水平2，达到水平3的只有1.6%，有10.9%的学生表示读不出信息。这个结果同样让人担忧。

2.3　完整数据分析活动经历匮乏

使学生树立数据分析的观念最有效的方法是使他们投入数据分析的全过程中去，学生经历的数据分析活动越多越丰富，他们对数据中蕴含着信息的体会也就可能越深刻。那么学生投入数据分析全过程的情况如何呢？笔者对某校六年级一个班的学生进行调研，问题是“从一年级至今，你进行过的完整的统计活动（调查收集数据，整理、描述数据，分析数据做出判断）大约有多少次？在你进行的完整的统计活动中有多少次是在课外独立或者和同伴一起完成的？”结果表明学生课外极少开展统计活动。在访谈的过程中，有的学生起先认为自己完成过几次统计活动，但是后来又补充说，如果还包括画统计图的话，那好像没有完整地进行过统计。被访谈学生还反映绝大多数数据都来源于课堂上临时的调查。

3.教师尚不能自觉、有意识地将体会到数据中蕴含着信息作为教学重点

与学情调研结果相对应的是，教师在教学统计与概率的内容时，注意力大多集中在举手还是投票、怎么记录票数、怎么填表和绘制统计图表等技能方面，没有真正重视统计问题，不重视收集数据意识的培养，一般不会有意识地指导学生提取信息的方法。

与学生数据分析经历匮乏等问题相对应的是很多教师反映课堂时间紧张，没有办法开展完整的统计活动。这个矛盾恰恰是教师教学重点不准确、不突出造成的。

综上所述，无论从该问题的重要意义上看，还是从学生学习和教师的教学实际情况来看，如何在统计与概率教学中让学生体会到数据中蕴含着信息都是一个教学关键问题。

案例SJ-1-1：《从分类出发为体会数据中蕴含着信息推开一扇窗》（《分类与整理》，一年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在统计与概率教学中让学生体会到数据中蕴含着信息”。

教学内容分析

本案例的教学内容是人教版小学数学教材一年级下册第三单元《分类与整理》例2自选标准分类计数。主要任务是体会不同标准下分类结果的多样性。

该内容要让学生体会到数据中蕴含着信息，关键点是让学生把同一个整体，按照不同的标准分类，得到不同标准下的数据，然后反过来，通过这些数据再去认识原来的整体，从而体会数据中蕴含着信息。

学情分析

为了了解而把全班同学看作整体时，学生能找到哪些分类标准，我们在课堂上对学生进行了观察，结果发现学生只想到按照男女分成两类和按照小组分成六类这样的分类方法。这说明学生分类标准单一，需要老师加以引导，打开思路。

综合以上分析，本课确定把全班同学当成分类对象，把教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）本课中，学生是否了解到一些确定分类标准的方法？

（2）怎样使学生在本课的分类活动中体会数据中蕴含着信息？

教学目标

在活动中体会标准不同分类结果不同，同时丰富制定分类标准的方法；通过反过来根据数据谈整体的活动体会数据中蕴含着信息。

基本设计思路

首先通过启发丰富分类标准，然后开展分类计数的实际活动得到数据，最后观察数据体会数据中蕴含着信息。

片段回放

片段一：创设情境，丰富分类标准

教师创设周末4家人（每家都是2个大人1个孩子）约好一起去游乐场玩的情境。学生根据实际情境把这些人按照成人、儿童，男生、女生进行分类，并把数据填入表格。

师：同样是把这些人进行分类，为什么结果不同？

生：因为分类的标准不同。

师：分类标准是根据什么制定的？

生：根据售票厅的要求还有更衣室的要求制定的。

师：也就是分类标准可以根据具体问题的需要来定。昨天我们给气球分类时是根据什么定的分类标准？

生：根据气球的特点定的。

片段二：根据数据再认识被分的整体，体会数据中蕴含着信息

师：根据刚才得到的数据，现在你对这4家人都有了什么了解？

【出示刚才得到的数据和原来4家人的图片】

生1：我能知道这些人里有8个大人，4个孩子；有6个男的，有6个女的。

师：根据分类结果我们在这是4家人的基础上还知道了其中有8个大人，4个孩子，还知道了有6个男生，6个女生，这些数据让我们对这4家人有了更多的认识。

片段三：指导学生制定分类标准并进行分类，同时感受数据中蕴含着信息

师：通过前面的学习我们知道同一个整体可以按照不同的标准进行分类，分类的标准可以根据具体问题来定，比如要买票我就想知道有多少大人、多少孩子，也可以根据事物的特点定，比如颜色相同的放在一起。如果把咱们班的全体36名同学看成一个整体，想把它进行分类，可以按照什么分呢？

生1：按照男生、女生分。

生2：按照组分。

看到学生想不出其他的标准，老师请一个学生向大家介绍自己的基本情况，引导她根据自己的情况向同学们提问。最后这个学生提出了“谁和我一样也是6月出生？”这个问题。

师：由自己是6月出生，想到别的同学是不是也是6月出生的，根据这个就可以把咱们班同学分类，按照这样的方法你还能提出其他的分类标准吗？

……

随着学生的回答，老师追问：“这样分类后你除了知道咱们班有36人，还能知道什么？”

片段四：开阔视野，用与分类有关的实际问题引导学生留心观察生活，将分类计数运用到日常生活中去

师：这些车可以按照什么进行分类？（按种类分，按大小分，按往哪个方向开等）

师：（出示下图）这是早高峰的时候一条公路上的车辆，按照行驶方向不同分类你有什么发现？

生：往那边去的车多，往这边来的车少。

师：这种现象对咱们的出行有影响吗？

生：堵车。

师：交通管理部门也发现了这个现象，根据这个现象他们想出了一个解决堵车问题的办法，这就是潮汐车道，大家可以让爸爸妈妈带你去朝阳路上找一找。

深度思考

本案例的核心任务是解决“如何在统计与概率的教学中让学生体会到数据中蕴含着信息”。通过内容分析和学情分析，解构出教学关键问题在本节课的两个小问题，确实是数据分析观念的关键点。本案例的教学片段都是围绕既定的两个小关键问题设计和实施的，在一定程度上达到了既定的效果。

片段一中教师创设买票和更衣室换衣服的情境，让学生根据问题需要制定标准自主完成分类计数活动。然后基于这些体验，帮助学生积累制定分类标准的思路。而后，在片段三的教学中，教师又对学生进行了制定分类标准的方法的指导。这些活动丰富了学生分类标准的类型，获得了一些制定分类标准的方法。

片段二中教师反过来让学生根据数据谈对4家人有了什么了解。在与原来知道的“4家人”相比较的过程中感受数据中蕴含着信息。

片段三中学生分类后教师提出“这样分类后你除了知道咱们班有36人，还能知道什么？”的问题，起到的是同样的作用。

片段四中老师向学生提供了通过分类计数发现问题和解决问题的例子，这不仅拓宽了视野，还激发了学生通过分类计数获得数据和信息的愿望。

深入分析这个案例，解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）创设有一定挑战性的、开放性的问题情境。

通过教学得到了一些有关分类标准的知识后，教师创设了把全班36个人看成整体，自主制定分类标准进行分类的问题情境。要求学生除了按照男女和组别进行分类以外再找找其他的分类标准。这样的要求就使得这个问题和原来研究的问题比起来不一样且有挑战性。在这个开放性问题下，学生可以从自己想了解同学的什么情况出发找标准，也可以从观察同学们有什么相同的特点出发找标准。这就是在新情境下运用并深化理解标准和找标准的方法。这样的做法提示我们不要就题讲题，要让学生把课上所学应用于新情境中，在实践中巩固、深化和提升。

（2）根据数据反过来再谈对整体的认识。

分类前学生对事物是有一定的认识的，分类后根据数据让学生再谈对整体的认识，比较中学生就可以体会到数据中蕴含着信息。这提示我们，实际生产、生活里，从数据中提取信息是为了更好地认识客观事物，作为教学我们可以反过来用，通过让学生根据数据谈对客观事物的新认识来体会数据中蕴含着信息。

（3）赏析应用数据分析解决问题的实际问题。

本课中授课教师举“潮汐车道”的例子的做法提示我们，课堂上可以举一些应用统计方法解决问题的实际例子，让学生了解和赏析。这样做有利于学生体会统计知识的学习与现实问题解决的密切关系，激发学习兴趣，拓宽解决问题的思路，深化对数据中蕴含着信息的体验。

（案例撰写人：北京市朝阳区星河实验小学　李佳勋　朱兴云）

案例SJ-1-2：《感受收集数据的需求　体会数据中蕴含着信息》（《数据的收集与整理》，二年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在统计与概率的教学中让学生体会到数据中蕴含着信息”。

教学内容分析

本案例的教学内容是人教版小学数学教材二年级上册第一单元《数据的收集与整理》的例题1，教学内容是统计问题驱动下学习收集数据的方法——调查法，体验完整的统计过程。

本教学内容和体会数据中蕴含着信息有什么关系呢？

首先，本课是首次让学生经历完整的统计活动过程，了解统计活动的一般步骤，知道每个步骤里要做什么事情，这是必要的。

然后联系核心素养要求发现，“校服选什么颜色？”需要根据大多数的意见来决定，这就产生了收集数据的需求。这个问题的特征决定了要收集数据。

根据教材可知，调查活动是以一个班的学生为调查对象的，但是统计问题是“校服选什么颜色”。而且教材里有“全校选这种颜色做校服合适吗？为什么？”的问题，这是在对数据进行分析做出判断。

学情分析

为了了解学生对收集数据的必要性的认识，对二年级某班36名学生进行调查，采用课前问卷调查的方式。

调研题目：确定春游活动地点。

班里要组织春游活动，从下面四个地方选择一个地方去（注意只能选择一个地方）。四个地方分别是：香山、颐和园、科技馆、长城。

想一想，如果让大家尽可能满意，应该如何决定，为什么？

调研结果：90%的学生根据自己的意愿选择春游地点，只有10%的学生提到要根据大家的意见选择。

结果分析：如果按照自己的意愿就可以做出选择，那么学生就不会产生调查收集数据的需求。因此，让学生认识到这样的问题要看大多数人的意见非常重要。90%的学生都从自己的意愿出发做决定，这个现象还显示出：当数据展现出的信息和学生自己的意愿不一致的时候，他们就有可能在数据分析结果和自己的意愿之间摇摆。

基于以上分析和调查，我们结合本节课具体教学内容将教学关键问题解构为下面三个小问题：

（1）本节课中，怎样使学生初步感受到收集数据的必要性？

（2）本节课中，怎样让学生初步感受到生活中许多问题需要调查、收集数据？

（3）本节课的学习活动是否让学生初步感受到了数据中蕴含着信息？

教学目标

在解决“校服选什么颜色”这个问题的过程中，感受调查收集数据的必要性，了解到生活中有许多问题需要调查、收集数据，感受数据中蕴含着信息。

基本设计思路

利用选校服颜色的问题，通过各抒己见让学生感受到此类问题的特点，即“答案不确定，需要看大家的意见”，从而产生调查收集数据的需求。在让学生回忆生活里是否遇到过这样的问题的过程中，感受这样的问题很多。在从数据中读取信息和讨论用班级调查的结果决定全校怎么做合适的过程中，感受数据中蕴含着信息。

片段回放

片段一：利用学生意见不统一这个资源，让学生认识问题的特点，体会收集数据的必要性；通过回忆曾经遇到过的类似问题，感受生活中有很多问题需要调查、收集数据

（PPT出示题目要求）学校要给同学们定做校服，有下面4种颜色，选哪种颜色合适呢？

红　　黄　　蓝　　白

师：你想选哪种颜色？

学生们各抒己见，意见不同。

师：看来大家的意见不统一呀，那听谁的呢？

经过讨论，学生一致认为应该听大多数人的意见。

师：像这样的大家意见不一致，需要听大多数人的意见的问题你们以前遇到过吗？给大家简单说一说。

几个学生介绍了自己遇到过的类似的问题。

师：怎么才能知道大多数人是怎么想的呢？

生：问问大家都想选什么颜色。

师：为了了解大多数人想选什么颜色，而一个一个去问大家的意见，这个活动就是收集数据。回想一下，像这种需要根据大多数人的意见才能决定，需要调查、收集数据的问题，日常生活里你还遇到过吗？

片段二：读取数据信息，谈谈对班集体的新认识，体会数据中蕴含着信息

师：根据刚才调查得到的这些数据，你对咱们班又有了什么新的认识？

生1：咱们班喜欢用蓝色做校服颜色的同学最多，最不喜欢用黄色。

……

师：看来数据中蕴含着不少信息，等待善于发现的同学去发现呢。

片段三：鼓励学生模仿例题自己提统计问题，开展课外统计活动，巩固所学深化认识，丰富对数据中蕴含着信息的体验

师：今天咱们研究的这个统计问题有什么特点？大家说生活里有很多这样的问题，那就请你选择一个这样的问题自己开展一个小小的统计活动。统计的步骤很多，不清楚的时候可以看一看书回忆一下。

深度思考

本案例的核心任务是解决“如何在统计与概率的教学中，让学生体会到数据中蕴含着信息”。通过内容分析和学情分析，解构出教学关键问题在本节课的三个小问题，确实是数据分析观念的关键点。通过本节课的学习也确实达到了既定的效果。

片段一中教师利用教材提供的给校服定颜色的问题让学生各抒己见。学生发现了这个问题的特征是：大家的意见不一致，需要按照大多数人的看法来决定。进而感受到了收集数据的必要性。基于对问题特征的认识，教师让学生回忆生活中是否遇到过类似的问题，在交流分享中，学生感受到生活中许多问题需要调查、收集数据。（此时问题的类型是单一的，学生只是从数量上感受到了“许多”）

为了让学生感受到数据中蕴含着信息就要让他们对数据进行分析，片段二中，教师采用了让学生看数据谈对这个班级的新认识的方法让学生来体会。

片段三中教师鼓励学生模仿例题自己提统计问题开展课外统计活动，可以丰富学生对数据中蕴含着信息的体验。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法：

（1）创设真实情境。

收集数据源于解决现实生活中问题的需要。要使学生切身感受这种需要，创设真实情境显得非常必要。本课首先就提出现实情境“给校服定颜色”，然后又创设“大家的意见不统一呀，那听谁的呢？”的情境，引导学生在真实情境中体验、感悟。在课后教师还鼓励学生模仿例题自己提统计问题开展课外统计活动，将数据分析观念的发展与现实生活紧密结合起来。

（2）生生互动达成共识。

本课中教师用问题“你想选哪种颜色？”“看来大家的意见不统一呀，那听谁的呢？”引发讨论，最终达成了看大多数人的意见和需要收集数据的共识。这些提示我们，要形成数据分析的相关意识，可以充分利用学生差异，在生生互动中去实现。

（3）模仿提出问题，开展统计活动。

模仿是低年级学生的一种重要的学习方法。模仿不是简单的重复，而是学生迁移运用所学的过程，是理解的过程。片段三中，教师鼓励学生模仿提出问题，这对学生体会统计问题的特征，感受生活中有许多问题需要调查、收集数据是有益处的。此外，模仿开展统计活动的做法提示我们，统计活动步骤比较多，说千遍不如体验一遍。统计活动各个环节也有创造的空间，起初的模仿后来可能就变成了创造。

（案例撰写人：北京市朝阳区星河实验小学　王威　朱兴云）