小学数学教学中培养学生对运算意义的方法

1.运算定律教学与运算意义

1.1　运算意义是数学运算能力发展的基础

运算意义既是学习运算的基础，也是解决实际问题的依据，对于学生数学运算能力的发展有着重要的影响。加、减、乘、除四种运算，被称为整数四则运算，是最基本的数的运算。整数四则运算意义又是学习小数、分数四则运算意义的基础。在低年级时，学生已经对整数四则运算有了很多接触和感悟，掌握了四则运算的基础知识和技能，但还需要进一步抽象概括，从感性认识上升到理性认识。

1.2　运算意义是运算定律学习的基石和支撑

数学运算性质中，最基本的几条性质被称为“运算定律”。运算定律不但是学习其他运算性质的基础，还是运算法则的基础，可以用来证明运算法则正确，更是代数的基础，不但在数学中有着非常重要的地位和作用，在数学教学中同样也十分重要。运算定律的学习是在认识运算意义的基础上进行的，没有运算意义的支撑，运算定律的大厦不可能坚实，也不可能屹然矗立！

1.3　运算定律是对运算意义的再审视和升华

运算定律是对运算意义的再认识和再发展。将五条运算定律及其应用集中在一个单元进行系统编排，这样可以构建比较完整的知识结构，同时这样也有利于学生系统地、完整地构建认知结构。在构建这个知识结构中，学生能够进一步审视四则运算中加法和乘法的意义，且以反思和再重构的视角本身就是对知识深入挖掘其本身意义和应用价值的过程，也是学生把零散的概念性的经验进一步提升到认知模型的过程！

运算灵活、合理和简捷是数学运算能力的重要特征。在解决问题的过程中，根据运算定律选择运算方法，就是运算灵活、合理和简捷的标志。因此，运算定律还是运算灵活、合理和简捷的保障。

2.学生在运算定律学习中对运算意义学习理解不足

2.1　运算定律和运算意义间没有建立联系

在学习运算定律之前，学生已经积累了大量的感性认识，只是没有有意识地提炼和升华而已。例如，学习加法和乘法时，已经能有意识地交换加数或乘数的位置来检验所得结果是否正确，这就是在应用交换律来验证；连加计算中，先把能凑成整十、整百、整千的数相加，也就用到了加法结合律；在两位数乘一位数的笔算中，也运用乘法分配律先分别与十位相乘、个位相乘，再相加。但是在实际学习中，很多同学没有从运算定律的高度来重新审视以前的算法和算理，也没有进行知识间的纵向联系，深切地认识到运算方法与定律间水乳交融般的联系。这就导致了对运算定律学习的机械和盲目性，没有深刻认识和建构运算定律模型。

2.2　在对运算定律的应用过程中存在生搬硬套的现象

一方面，在学习运算定律的这部分知识时，学生最直观的感受是运算定律可以服务于我们的计算，使得计算更加简便高效。因此，学生更注重运算定律和简算间的直接联系，例如没有看到交换律与以前学习当中的加法的验算方法、乘法的验算方法之间的联系。而运算定律在现实生活中的实际问题解决策略的多样化方面却弱化了！而这方面的应用对发展学生思维的灵活性，提高学生分析问题、解决问题的能力，都有一定的促进作用。

另一方面，大量的简算训练让一部分学生达到了简算的自动化程度。学生一看到题目就知道怎么简算，至于“为什么这样计算”的算理常常被忽视。在简算过程中，学生凑整的定式思维形成了条件反射，只要看到能凑成整十、整百、整千的就先凑整，不能凑整的也会不加思索地凑合。究其原因，其实是学生对乘法分配律还没有从意义上达到真正的理解。学生在运算定律应用方面，更多的是简算的练习。但是在稍复杂的计算上，例如乘法分配律的几种复杂变式上，又存在生搬硬套、错误率高的现实情况。其实这是因为没有借助运算意义有效地建立起运算定律的模型，因此在灵活选择算法、理解具体情形中的方法的选择上还是不清晰。

3.教师在运算定律教学中存在忽视运算意义的现象

3.1　割裂运算定律和运算意义间的联系，忽视学生已知经验的迁移和升华

有意识地用运算定律去理解以前的算法和算理，从而使学生更深刻地认识到运算定律是运算的基本性质，是运算的出发点和基本依据。前面我们已举例说明，加法和乘法的意义就体现了交换律的思想；学生在计算长方形周长、两位数乘一位数时也是分配律的直接体现；等等。其实我们已经有意识地在应用运算定律，学生已经有了一定的经验，如何把这些感性经验自然迁移到运算定律中来，又有意识地构建起运算定律的模型，是教师教学中需要突破的重点。

3.2　强调形式归纳，而忽视运算意义的“理”

小学数学实际教学中，运算定律的探究一般是学生采用不完全归纳法来进行的，这与数学归纳法的严格证明是有本质区别的。在教学中，有很多教师重视学生的举例过程，但是背后的“灵魂”也就是运算意义的角度没有深刻去勾连。运算定律的建立仅经历举例和归纳出抽象字母公式和记忆运用公式的过程，学生在灵活运用的过程中还是会存在迟疑和徘徊，既没有严谨的证明，又没有意义的坚固支撑。

更有甚者，一部分教师在教学中就明确告诉学生：学习简便计算就是为了计算方便，进而提高计算的正确率。结果造成学生没有真正理解运算定律，单纯地将运算定律等同于简便运算的工具。

基于以上思考，将如何在运算定律的教学中培养学生对运算意义的理解作为一个教学关键问题。

案例YS-3-1：《几何直观外化乘法意义，循序建构乘法分配律模型》（《乘法分配律》，五年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在运算定律的教学中培养学生对运算意义的理解”。

教学内容分析

本案例安排在人教版小学数学教材四年级下册第三单元《运算定律》中的例7。在该单元教学中，学生首先会学习加法交换律和加法结合律、减法的运算性质、乘法交换律和乘法结合律，在此基础上深入乘法分配律的学习。

例题中呈现了“一共有多少名同学参加了植树活动”，学生在列出等式后进一步归纳乘法分配律的内涵。可以说，学生进行归纳的过程就是对乘法意义重新深入解读的过程，也真正体会到“几个几”的现实情境和抽象算式中的具体意义，即乘法分配律是乘法意义的典型体现。

学情分析

在教学实践中发现，学生理解和运用乘法分配律存在一定难度，是运算定律和简便计算内容教学中的一大难点！在教学之前，对四年级随机选取一个班，对35名同学进行前测，前测结果如下表所示。

从前测可以看出学生对乘法意义有一定理解，一半以上的同学能解决基本的乘法分配律问题，但是在其变式中，很多同学无从下手。其原因在于：

首先，学生学习自主迁移存在困难。学生虽然已经清楚地学习过乘法是几个相同加数的和的简便运算，也就是我们通常说的“几个几”，但当具体算式出现时，学生却感觉很是迷惑，因为乘法分配律是小学阶段唯一的一个沟通了乘法和加法两种运算的定律。显然，它更加复杂，具体体现在两方面：符号复杂；形式复杂。所以开始的时候，学生并不能自主地借助“几个几”乘法的意义来迁移到乘法分配律上。

其次，概括和表达定律存在困难。学生在概括乘法分配律时，远不如概括交换律和结合律那么顺畅。当然，后续乘法分配律变式也比较复杂。不仅有基本应用，还有各种变式应用。对学生而言，无论是形式上还是意义上都兼具挑战，所以用乘法的意义来自主表达、概括“几个几”加“几个几”等于什么，存在一定难度！

综合以上分析，将本节课的教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）如何引导学生感受运算意义，发现乘法分配律？

（2）如何引导学生体悟运算意义，理解乘法分配律？

（3）如何引导学生依据运算意义，表达乘法分配律？

教学目标

学生经历乘法分配律的建模过程，培养学生比较、分析、归纳等数学抽象概括能力；根据乘法的意义深刻理解乘法分配律，会应用乘法分配律解决实际问题。

基本设计思路

首先借助实际问题，在现实情境中借助乘法意义，发现定律；然后借助几何直观，学生直观深入乘法意义，理解定律；最后借助字母、符号等提炼、表达乘法分配律。

片段回放

片段一：借助实际问题回顾乘法意义，发现定律

师：班级要给表演舞蹈的10位同学买演出服装（上衣55元/件，裤子45元/条），一共要用多少元，可以怎样解决？（把你的想法列式呈现）

师：大家想到了两道不同的算式，你们能解释一下自己算式表达的意思吗？

生1：第一种为（55+45）×10，就是把一件上衣和一条裤子看作一套，每套单价就是55+45=100（元），买这样的10套，也就是10个100是多少。

生2：第二种是55×10+45×10，其实就是分开算，先算上衣，就是10个55，再算裤子，就是10个45，然后再把它们加起来。

师：同学们，你同意哪个算式？这两个算式有什么关系呢？

生3：这两个算式都可以，是相等的关系。因为第一种是把裤子和上衣看作一套100元，买10套是10个100元。还可以分着算上衣10个55元，再算裤子10个45元，最后也是10个100元，也是算10件上衣和10条裤子的价钱。

片段二：借助几何直观深入乘法意义，理解定律

师：我们以前的学习中学过长方形面积，下图分别为小明家客厅和厨房的地面图，请你帮忙求出小明家客厅和厨房总共有多少平方米？（把你的想法列式呈现）

生1：厨房和客厅的宽都是4米，可组成一个新的长方形，新长方形的长是10米，宽不变还是4米，列式是（7+3）×4。

生2：我的算式是7×4+3×4，先分别求出客厅的面积和厨房的面积，然后相加。

师：大家想到了两道不同的算式，你能想办法说明这两道算式相等吗？

生3：两个算式结果相等，最后都是40平方米。

生4：分着算客厅的面积和厨房的面积之和可以理解为7个4加上3个4，也可以合起来算，就是把长合并起来的新长方形，面积为10个4。

师：我们刚才借助长方形面积图直观地感受到分着算7个4加上3个4，就等于合起来算10个4。

片段三：借助抽象字母、符号概括运算意义，表达定律

师：符合这种规律的等式还有很多，你能用一道等式把发现的规律表示出来吗？

生1：我可以用甲、乙、丙来表示学过的数，即（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙。

生2：△、○、☆分别表示三个数，可表示为：（△+○）×☆=△×☆+○×☆。

生3：用字母a、b、c表示，发现的规律就是（a+b）×c=ac+bc。

追问：你能解释下你是怎样理解（a+b）×c为什么等于ac+bc吗？

生3：就是a个c加上b个c，就等于（a+b）个c。

师：理解得很深入，同学们概括归纳能力很强。这么多表示方式，形式不同，但都是要表示什么意思呢？

生1：把两个数的和看作一个整体去乘一个数，就等于把它们分别去乘那个数，再把积相加。

生2：两个数的和乘一个数，就等于把它们分别去乘那个数，再相加。

师：我们习惯用字母简捷地概括刚才大家说的意思，即（a+b）×c=ac+bc。

深度思考

从乘法的意义入手，引导学生深刻理解为什么乘法分配律会成立，从而建立乘法分配律的认知模型。

（1）现实素材导入，理解和感受定律的合理性。

从学生熟悉的上衣和裤子的价格计算谈起，让学生在解决问题和说明缘由的过程中感受两种不同方法之间的联系与区别，体会到算式分别是对应谁的价格，有了现实依托，就为学生理解乘法分配律提供了“事理”支撑。学生在现实中亲身感受到分着算上衣的价格和裤子的价格为a个c加上b个c，就等于先算一套的价格再乘数量，即a+b的和乘c。

（2）几何直观呈现，内化和深入定律的认识。

学生在以前的学习当中，对面积的格子图已经有了切身的体验。而格子图在解决两个宽相同的长方形的面积之和时，有着天然的优势，更是水到渠成地从几何直观的角度，凸显出乘法意义的本质。在该环节，试图“逼”学生尝试建立“图形模型”的过程，是将认识从具体经验向理性层面过渡的过程。通过几何直观，分着的“几个几”加“几个几”，到合起来的“几个几”，面积图直观地呈现出来，乘法分配律在学生脑海中立刻丰满和亲切起来！

（3）抽象概括提炼，表达运算定律，感受运算意义。

学生积累了一定活动经验后，如何概括表达和提炼定律是关键。教师让学生进一步举例、交流、验证，也是借助多组算式的内化验证特征和规律的过程。接着学生再用自己喜欢的图形、字母、文字、语言等表达、概括出规律，也不断地深入对“几个几”加“几个几”乘法意义的理解，学生的认知进一步抽象和概括化，最终主动建构起乘法分配律的认知模型。

（案例撰写人：北京史家教育集团　孙桂丽）

YS-3-2：《多种方式解读深化理解减法意义》（《减法的运算性质》，四年级）

本案例要解决的数学关键问题是“如何在运算定律的教学中培养学生对运算意义的理解”。

教学内容分析

本节课教学内容是人教版小学数学四年级下册第三单元《运算定律》的例4——连减的简便运算，旨在通过生活情境中的问题解决，发现连减的简便运算并理解其背后的减法运算意义。

本节课先让学生在生活实际中发现不同算法，感受算法的多样化，再在探寻算理的过程中，理解运算内涵。在解读不同算法并辨析时，对减法意义深入理解，发现不同方法本质相同，同时发现减法运算性质，从不同角度理解运算性质。

学情分析

为了了解学生对这部分运算方法的掌握和对运算本质的理解，我们在五年级上学期对已经学过本知识的20名同学进行访谈和测试。

综合以上分析，将本节课的教学关键问题解构为下面三个小问题：

（1）如何引导学生发现减法运算性质？

（2）如何引导学生理解减法运算性质？

（3）如何引导学生感受减法运算性质的作用？

教学目标

在解决生活问题中发现、理解连减的简便计算和减法运算性质，进一步理解减法的意义，体验算法的多样化。培养根据具体情况，选择算法的意识与能力，发现思维的灵活性。

基本设计思路

本案例通过真实问题情境，让学生经历解决问题的全过程，感悟运算本质，发现运算性质，概括算法模型，在多种方法支撑下深化理解减法意义。

片段回放

片段一：回忆减法意义，发现减法性质

出示问题：

师：你打算怎么解决这个问题呢？请列式并解决，然后小组交流。

全班交流汇报，板书。

三位同学分别阐述了上述三种算法。

师：通过刚才同学们的发言，你有什么发现？

生1：我发现他们在解决问题时，有不同的方法。但都是从总数中减掉一部分，求另一部分。

生2：我还发现，从总数中减掉一部分再减掉一部分和从总数中一下子减掉这两部分的和，结果是一样的。

师小结：同学们真棒！在解决这个问题的过程中，同学们用了很多算法，但都是从整体中减掉一部分得到最后的结果。同时还有的同学发现无论是从整体中分别减去还是一次减去两部分的和，它们的结果是不变的。这又是为什么呢？下面让我们一起来深入探讨。

片段二：数形结合深化减法意义，理解减法性质

师：再观察这三个算式，为什么改变了运算顺序，结果却不变呢？请用你喜欢的方式把它表示出来。

生1：我用画线段图的方式来表示。整条线段代表总页数，第一小段表示第一天看的页数，第二小段表示第二天看的，要求剩下多少页也就是整条线段把前两小段去掉后剩下的部分。因此先去掉哪一段都一样，最后余下的就是剩下的页数。

生2：我用面积图表示，理由和生1一样。但在计算的时候我选择方法三，因为被减数和减数的后两位相同，能快速算出结果且不出错。

师：你们借助数形结合的方法和减法的意义解释了方法一、方法三这两种算法本质相同，还分析了哪种算法更简便，真棒！那为什么第二种算法也可以？

生3：我们可以把已读的看作一部分，剩下的看作另一部分，总页数就是这两部分的和，用和减去一部分就是另一部分，所以方法二也是一样的。

（生1图）

（生4图）

生4：我也是这么想的，并且用线段图来表示。和第一位同学不同的是，他是把第一、二天分别表示，而我是将第一、二天当成一个整体。这时我们可以看出，分别去掉这两段和一次性去掉它们的和，减去的是相同的长度，因此余下的部分也一样。

生5：我同意，我用面积图来说明。计算时我选择的是方法二，因为前两天的和是100，100做减数，方便计算。

（生2图）

（生5图）

生6：这三种算法不同但本质相同。不同的是将总页数看成几个数的和，但都是用和去求其中一个加数。而且方法二和方法三，在计算上更简便，不容易出错。

师小结：同学们解释得特别好，不同算法背后体现的都是减法意义这一相同的本质。

师：刚才同学们用画图的方法解释了为什么改变运算数序结果却不变。那现在你能不能用更简捷的方式表达，让所有人一眼能看明白你要表达的意思？

生1：我用符号表示：

生2：我用字母表示：

师小结：同学们不仅有发现，还能表示出来，太棒了。同学们发现的“从一个数中依次减去两个数等于从这个数中减去这两个数的和”就是减法运算性质。同学们通过探究不仅发现了减法运算性质，还体会了运算意义的本质，真是太好了。

片段三：实际问题中，应用减法性质

师：既然同学们都理解了减法意义和减法运算性质，那我们就来实际演练下。

出示问题：487-187-139-61

全班交流汇报，板书。

师：同学们选用了不同的计算方法，谁愿意来解读下这两种方法？

生1：这两种方法从减法意义来看都合理，我用的是第一种，运用了减法运算性质，只不过是将两个减数拓展到三个。

生2：我同意，我还发现被减数和一个减数的后两位相同，为了计算更简便，我选用第二种方法。

师小结：我们在解决问题的过程中，不仅要运用性质，还要关注数据特征，找到既合理又简捷的方法。

深度思考

运算能力的培养有助于学生感悟运算的意义，理解运算的性质，寻求合理简捷的算法。

在片段一中，借助熟悉的现实情境引出问题，易于让学生发现问题本质，感受运算意义。之后经历生生交流，碰撞出算法的多样性。在多种算法解读时，借助情境支撑，让学生对不同算法有初步解读，为发现运算性质奠定基础。

在片段二、三中，借助多种表征解读减法意义。从具体情境到数学道理，学生开始寻求各部分间的关系，同时借助不同的图形进行解析。通过画图表达，学生发现了不同算法的本质相同，加深对其背后减法意义的体会。在此过程中，数形结合的方法帮助学生从具体走向抽象，使其对运算性质有了透彻的理解，对算法的掌握不只停留在形式上，也为之后的灵活运用奠定基础。随后，将运算性质用符号表达，学生经历了从数到代数的过程，从形象到抽象的飞跃，使学生再次体会减法意义，感受减法的简便运算。

深入分析本案例，解决教学关键问题时采用了以下方法。

（1）真实问题情境支撑知识迁移。

数学运算是解决数学问题的基本手段，只有在发现问题本质的基础上才能选择合适的算法。本案例借助真实的问题情境让学生思考问题的本质，选择合适的算法解决问题。在此过程中，学生通过对实际问题的解读感受了减法运算的意义，发现了减法运算性质，并结合实际数量关系进行解读。做到结合生活原型，理解运算内涵，为后续环节做好铺垫。

（2）多种方式表达深化本质理解。

当学生在直观上对算法有了认识之后，教师引导学生对算理的本质进行思考、解读。在此不局限于一种方法，是为了让学生能从多角度、多层次思考，进而提高思辨能力。从对减法运算意义的体会，到数形结合的直观解释，再到符号化表示减法运算性质，学生经历了从感性到理性的提升，将算法从形式化上升到结构化，将不同算法背后的相同本质深度理解，为本节课知识的理解和沟通形成了完整过程。

（3）选择合理简捷的运算方法。

学生在学习运算性质后，会习惯性地将运算性质运用到计算之中，但有些同学只是套用，不会结合数字特征分析能否运用以及如何运用。因此在解决实际问题的过程中，需要引导学生去思考，所选方法是否合理。同时，还要结合数字特征，选择更简捷的运算方法，绝不是为应用而应用。本课最后练习的设置，旨在理解意义和性质的基础上，引导学生思考、选择合理简捷的运算方法，提升学生的运算能力。

（案例撰写人：北京市崇文小学　王昊焱）

在这一部分，笔者分别从数认识、数运算以及运算定律的教学三个方面对数学运算的内涵和价值进行了解读并确定了三个关键问题，这三个方面的教学主要问题有哪些？同时用六个案例对关键问题进行诠释说明。请你结合其中一个案例谈谈你对运算教学的理解。