小学数学教学：提升学生对算理的理解

1.算理是四则运算的理论基础和运算能力的核心成分

运算原理即算理，是四则运算的理论依据，由数学概念、运算定律、运算性质构成。算理是运算能力的核心成分，它与算法共同构成了运算能力的“一体两翼”。算理为算法提供了理论依据，是对算法的建构与解释。没有算理的算法是机械的，是不具有迁移性和生长力的。算理对学生是非常重要的，如果学生不能很好地理解算理，就限制了知识的迁移，使学生无法适应千变万化的计算。

运算能力有别于简单的运算。不仅能正确地进行运算，而且能理解运算的算理，称为运算能力。史宁中教授曾经说过：正确、灵活、合理和简捷是运算能力的主要特征。正确、熟练还不是运算能力的表现，必须在理解算理的基础上，能够合理解释运算过程，灵活运用法则定理，简化运算步骤，才能真正具有运算能力，因此算理是运算能力的核心部分，在运算教学中应突出对算理的理解。

2.小学生对算理的理解常常缺乏对数学本质的感悟

2.1　对算理不是真正的理解，存在一知半解的现象

理解算理是结构算法，形成计算技能，提升运算能力的基础与关键。我们都知道算理的理解不等同于知道怎样算，而是明理、会意、成型，知道“为什么”这么算的过程。

例如，在分数乘除法的练习中，有这样的错例：

错例1　错例2　

通过第一个错例可以看出学生将分数除法与乘法的算理相混淆，没有弄清楚分数除法与乘法算法之间的区别，根本不清楚如何转化；而第二个错例，分数与整数相乘，约分后，错误地把分母乘以整数，不清楚分数与整数相乘如何计算。以上错例出现的根本原因就是分数乘除法的基本算理不清晰，由于分数概念比较抽象，在分数乘除计算时包含的计算步骤、法则较多，学生哪一步没有搞清楚都有可能导致最终的结果出错，因此教师可以利用折纸、画图等方式为学生打牢基础，比如第一道练习题，教师就可以利用一张纸，分成9份，取其中的4份表示，而除以3表示平均分成3份，那么就将取得的4份再平均分成3份，取其中的1份所得到的数就是这道题的答案。让学生数一数一共分成了几块，表示分母，需要取几块，作为分子，让学生感知、经历算理、算法的形成过程，避免生搬硬套、机械记忆计算法则，同时精心设计练习题，让练习更有针对性、目的性。

2.2　机械地背记法则，模仿操作，不知其所以然

这类学生在教学过程中并没有对运算的算理很清晰，一般表现为只会死记硬背算法，不理解道理，只知其然，不知其所以然，不理解算理的一些算法与技巧是没有数学思维和思想方法的，时间一久也就慢慢归零了。所以才会出现刚才上述学生反映的情况。

例如，2014年刘坚教授曾对1664位三年级学生做过如下测试，在测试中设计了两道题目。题目1：计算42×25。目的是考查三年级学生是否掌握了两位数乘两位数的法则。题目2：在34×12的竖式中，箭头所指（34乘12的第二层积34）的这一步表示的是什么？A.10个34的和；B.12个34的和；C.1个34的和；D.2个34的和。本题考查的是三年级学生是否理解两位数乘两位数竖式中每一步的含义。学生在题目1和题目2上的得分率分别是0.7010和0.4309，二者有显著性差异。在与三年级学生讨论如何计算两位数乘两位数的题目时，学生能很快地利用竖式给出正确结果。但是在进一步追问竖式的“第二层”（即题目中箭头所指的这一步）是怎么得到的时候，部分学生回答：“老师告诉我们用1乘34，乘完要向前挪一位，具体为什么，老师说了，但是我想不起来了。”

通过这个大样本测试我们不难看出，有部分学生不能真正理解法则，而仅仅是机械套用。

3.教学中算理的揭示过程和所承载的任务还显薄弱

长期以来，我们一直强调运算技能的重要性，但是教师往往更多地把焦点放到运算正确与熟练的方法和技巧上。那么在我们的一线课堂中，教师对算理的理解容易走向两个误区。

3.1　揭示算理的过程“仓促”

算理是具象的，算理所指向的运算本质是抽象的，所以教师应该善于利用正反例、变式、直观模型等多种方式帮助学生理解算理。在实际教学过程中，教师也非常重视利用多种方法揭示算理，但是在此过程中有时会存在过于仓促、教学过程过快等算理教学不到位的问题，从而导致学生在后续学习中因算理缺失而引发“尴尬”。

例如，四年级整数四则混合运算的一道练习题的处理，教师出示12×8-2×3，先让学生独立尝试，发现有的学生减号两边同时计算，也有的是一步步计算，接下来教师请同学举手反馈，询问后面抄下来的算式能否省略，一步完成，并请同学们一起说说为什么。在这一步，教师并没有清晰地说出算理的原因，学生回答出自己的答案后，引出减号两边能够同时计算的结论，这一部分就过去了，之后马上进入了练习环节，但是在接下来的一道题目中学生则暴露了问题：24×3-（12+5），当老师板书计算过程时，大部分人都认为小括号中的要先算出来，同学们一致认为在这道题目中减号两边不能同时计算，因为有“括号”，无论老师如何引导，学生们始终无法接受老师的思路，从而导致教学中尴尬局面的出现。

反思出现这个问题的原因，还是学生对两边可以同时计算算理的不明晰，有括号先算括号，学生对这个规则本身的理解是没有问题的，而在对两边可以同时计算的方法的教学中，学生只是通过经验，将可以这样计算的算式的“模样”记忆下来，对“为什么可以这样，道理是什么”的问题没有展开深入的探讨。

改进方法可以是在课堂开始练习题目中，加入变式题目12×8+2×3，仔细询问学生按照什么样的顺序计算结果不变，再对比12×8+（2×3）、12×（8+2）×3、（12×8）+2×3，又有哪些发现？学生观察得到，加、减号两边是乘除的算式，不需要括号就能同时计算的算理雏形，让算理进一步清晰化。

3.2　表达算理的过程“薄弱”

数学是思维的体操，语言是思维的外壳。运算教学中让学生有序地表达，不仅有助于对算法的掌握，更有助于促进学生对算理的理解与深化。

目前在数的运算的教学中，教师常常会让学生在思考和探究的基础上交流多样的想法，这种做法除了增进课堂互动生成外，其实还有更深层次的价值，那就是在推理的过程中深入理解算理。但是我们也在课堂上看到教师过于注重“形式”上的多样，在让学生充分表达运算的过程中欠“火候”，从而使算理理解的教学过程显得“薄弱”。

例如：《三位数乘两位数》的“114×21”例题的教学中，教师让学生先分小组讨论，再进行组间交流。学生均是先对114进行拆分，之后分别与21相乘以后再相加，其他小组也是采用类似的方法。在这种情况下教师组织组间交流，在教师的引导下，学生说出不同方法之间的相同点——先拆分再计算，也能找出不同点——拆分的具体数不同，到这里就结束了，没有一个学生疑惑为什么要这样做，教师也没有在这个方向追问。

在这个片段中我们不难看出教师让学生围绕如何计算、为什么这样算的问题展开了研究，并结合已有的知识经验想到不同的方法，但是学生没有很好地将算理表达清楚，教师也没有对为什么这么算给出明确的说明。所以，教师有必要引导学生结合以前学习多位数乘法运用到的点子图说一说每一步的意思，即便学生对其中的算理了然于心，也要结合直观模型说清楚其中的道理与思维过程，能帮助学生提升算理推理和思维水平。

基于以上思考，将如何在数运算教学中培养学生对算理的理解作为一个教学关键问题。

案例YS-2-1：《追根溯源　算理先行》（《连续进位加、退位减》，三年级）

本案例要解决的关键问题是“如何在数运算教学中培养学生对算理的理解”。

教学内容分析

本案例教学内容是人教版小数数学教材三年级上册第四单元《万以内的加法和减法（二）》中的一节课。本节课的学习是三位数加、减三位数中的连续进位加和连续退位减，是学生学习笔算加、减法的重点，更是难点。这节课计算方法的掌握具有“承前启后”的作用，“承前”是因为需要前面的知识基础迁移到本节课中来，使学生基本掌握整数加、减法的计算法则，能熟练地进行计算，并能通过迁移解决更多位数的加、减法计算；“启后”是因为对后续学习计算提供方法上的支撑，为进一步学习小数加、减法和多位数乘、除法打下基础，对后面学习的算理、法则、方法具有通识作用。

学情分析

我们采用课前学情调研的形式对学生原有的计算情况进行调研。设计出前测题如下：

共计18人参加了此次调研，有12人出现错误，错误率为66.7%。

调研内容：了解学生对算理的初步认识。

调研结果如下：

学生不清楚十位上还剩下多少颗珠子与一共有多少颗珠子的区别。通过对数位珠子数个数的理解，考查学生对算理的理解，借助学具明白“为什么要这样算”的含义。写出“18”颗珠子是因为把十位、百位上所有的珠子个数当成了十位珠子数；写出“11”颗珠子是因为把十位想成1颗珠子，百位想成10颗珠子。这些学生在头脑中没有建立计算表象，不理解“退一当十”的含义。

这一部分同学能清楚地知道十位的珠子数与计算出来的数是一致的。

通过前测分析不难看出，大家借助口算方法、竖式计算能够完成计算部分，计算准确对于学生来说不是教学中的重点，教学的重点应该落在如何让学生明白计算的算理过程，追根溯源，找到计算的根本“为什么要这样算”。综上所述，将本课的教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）如何在数运算教学中，培养学生对算理的理解？

（2）给足学生空间，外化把握算法，让学生理解整数加减法算理有哪些表现？

教学目标

充分利用学生已有的知识和经验，通过迁移类推、自主探究、合作交流等方式，理解算理，掌握算法，完善认知结构。让学生明白“计数单位相同，计数单位的个数相加减”的计算本质。

基本设计思路

在本节课中教师让学生先自主完成445+298、403-158的计算，借助小棒、计数器说明“为什么要这样算”的原因，将竖式与小棒、计数器进行有效勾连，利用“计数单位相同，计数单位的个数相加减”的计算原理，使学生熟练掌握连续进位、连续退位的计算方法，提升计算能力。

片段回放

片段一：满十进一与计数单位个数的关系

师：请你自己用竖式计算445+298的结果。

师：能用小棒或者画图的方式展示出你的计算过程吗？

边说边摆小棒，图和竖式相结合，算理和计算方法相结合。

（1）相同数位对齐，是因为计数单位相同才能进行计数单位个数相加；

（2）从个位加起，是因为要从低一级相加；

（3）个位：5个一+8个一=13个一，个位满十向十位进“1”，在个位上写“3”；

十位：4个十+9个十+1个十=14个十，十位满十向百位进“1”，在十位上写“4”；

百位：4个百+2个百+1个百=7个百，在百位上写“7”。

师：你有什么发现吗？

生：计数单位相同，计数单位的个数相加，满十就向前一位进“1”。

师小结：也就是在相同计数单位下，计数单位的数量进行累加；满10个计数单位，就变成高一级的1个单位。

片段二：退一当十与计数单位个数的关系

师：在练习本上自己完成403-158的计算。

（1）暴露错误资源。

（2）直观操作，掌握算法。

师：借助直观，分析错误原因。

师：问题一是个位不够减，向十位借“1”，结果十位是“0”，该怎么办？

生：从百位上退“1”，在十位上拨10个珠子，因为“退一当十”。

师：问题二是从百位退“1”，十位上的珠子该怎么拨？

生：从百位上拿走一个珠子，同时在十位上拨出10个珠子，再从十位上拨出1个珠子，退“1”到个位当“10”，这时十位上就是9个珠子。

师：问题三是这时个位上的数是多少？

生：十位上退“1”当“10”，和个位上的“3”合成“13”。

师：403的替身是多少呢？

生：3个百、9个十、13个一。

师：在计数器个位上我只看到了3，没有看到13？

生：先用十位上的“1”借给个位变成“10”，从个位减起，用10-8=2，2+3=5，所以个位上还剩下“5”。

生：算完了个位，再继续算十位：9-5=4，百位：3-1=2，所以这道题正确的结果是245。

师：在刚才的计算过程中，你有什么发现吗？

生：在计算过程中，我发现先得找替身，把403变成3个百、9个十、13个一，然后再进行计算就不容易错了。

师小结：在计算过程中，我们遇到连续退位时，为什么要这样算？计数器上不够减怎么办？追根溯源，通过计数单位和计数单位的转化解决问题。借助计数器和竖式进行勾连，明白了连续退位的算理。在计算过程中先要找到替身的数，这个替身的数和原来的数是相等的，运用转化的方法变成另外一种表示数的形式。就像把403替换成：3个百、9个十、13个一，改变原来的计数单位和计数单位的个数，在相同计数单位下，计数单位的数量进行递减；不够减，高一级的1个单位变成低一级的10个单位。

深度思考

本节课围绕解构问题的核心——算理进行了设计实施，把握住知识的衔接点和核心点。

把握知识的衔接点，“满十进一”与“退一当十”。关于数学知识的教学，作为老师要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系。“满十进一”先凑十、“退一当十”先破十，其原理就是通过改变计数单位和计数单位的个数完成计算，在这个过程中建立了数学转化的思想，发展了数形结合的思考模式。

把握知识的核心点，即“计数单位”与“计数单位的个数”。整数加减法在算理上的核心知识点是：计数单位相同，计数单位的个数相加减。在竖式书写中要“相同数位对齐”，在计算法则方面也有“数位对齐，相同数位相加减”的归纳，这些都是在强调算理的数学本质。本单元是整数笔算加减法的最后阶段，学生对算理和算法的掌握情况将直接影响学生运算能力的形成，影响小数加、减法和多位数乘、除法的学习。在本节课上教师借助小棒、计数器的操作，让学生明白满10个计数单位，就变成高一级的1个单位；运用替身提示退位的方法，让学生明白在相同计数单位下，计数单位的数量进行递减，并在竖式上将进位、退位的过程反映出来，不仅使学生掌握笔算的程序和步骤，还帮助学生理解这样算的依据。通过表象操作，架起从算理的直观到算法的抽象的桥梁，深入理解算理。

深入分析这个案例，教师在解决两个教学关键问题时采用了以下方法。

（1）借助直观教具，找出替身，理解算理。

在学生经历了计算方法的探索过程后，要给学生时间对计算方法进行交流和反思“怎样算”“为什么要这样算”，在交流的过程中完成对运算程序和步骤的抽象与概括，将对运算的认识从具体操作层面提升到思维层面。在这个过程中，让学生经历、体验直观操作到抽象运算的全过程，运用旧知识，学习新知识，做到“新课不新”，使每个旧知识都是新知识的基础；而每个新知识又是在旧知识基础上获得发展，这就为知识之间的“渗透”产生联系提供了自主探究的空间，培养了学生自主学习的能力，发展了思考问题的广度、深度、厚度。

（2）追根溯源，掌握本质，外化表现。

在教学过程中，小棒图、计数器的使用和竖式有效进行勾连，让学生找到算理的依据。通过“计数单位相同的情况下，计数单位的个数相加减”这个数学原理，借助小棒图、计数器找到计算方法，让学生看到计数单位和计数单位的个数发生变化，也就是在计算单位个数。学生明白了这一道理，就能够运用迁移等学习能力扩展到后面的学习中。同时这样既保证了在计算时有帮手，又在计算过程中巩固了法则，加深理解了算理。在课堂上，让学生能够“拾级而上”，一步一步加深对算理的理解。通过多层次、多样化的适量练习，巩固计算方法，逐步形成计算技能，提高运算能力，发展思维能力。

（案例撰写人：北京市朝阳区呼家楼中心小学　张春杰）

案例YS-2-2：《关注运算本质　深化理法互融》（《异分母分数加减法》，五年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在数运算教学中培养学生对算理的理解”。

教学内容分析

本案例教学内容在人教版小学数学教材五年级下册第六单元《分数的加法和减法》中。该单元安排了三小节的内容，本案例研究的是其中第二小节《异分母分数加减法》的内容。

分数加减法是继“整数加减法”和“小数加减法”之后的数学运算中的又一重要基础知识，计算方法看起来不同，运算本质其实都是“相同单位的数才能相加减”。而“异分母分数加减法”更是“基于算理、把握算法”的重要体现，在学生初步理解相同单位的分数相加减的算理之后进行探究，借助多种表征明晰算理、把握本质，其“通分”的过程让学生再次感悟、深化算理，依理明法，并形成基本的分数加减运算能力。

学情分析

五年级的学生在知识层面上已经掌握了整数和小数的加减法的算理算法，对同分母分数的加减法已有初步了解，对于分数的基本性质、约分通分、分数小数互化等相关知识也已经有所储备。

在实施教学前，教师对全班38名学生进行前测，测试题为：

（1）计算。

（2）请用自己的方式说明你的计算过程。

测试结果统计如下：

数据显示，对于问题（1）“计算”，全班有92.1%的学生能够正确计算出结果，即掌握异分母分数加减的计算方法，而在问题（2）“请用自己的方式说明你的计算过程”的解答情况中则可以看出只有28.9%的学生能用自己的方式说出计算过程，由此说明只有这些学生算理清晰，因此在运算教学中仍需重视培养学生对算理的理解。

综合上述分析，我们在设计与实施教学之前将教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）如何让学生充分理解算理？

（2）如何让学生在理解算理的基础上把握算法？

教学目标

学生经历新知识与旧知识转化、直观与抽象结合的过程，明晰分数加、减法算理，在此基础上归纳并掌握异分母分数加减法的计算方法，理解数运算的本质。

基本设计思路

本节课首先提出异分母分数加减法问题引发学生思考并初步感知算理，然后在反馈中借助多种表征充分感悟分数加减法算理、归纳算法，最后在知识体系的建立中深化对数运算本质的理解。

片段回放

片段一：问题聚焦，挖掘本质，数形结合感悟算理

【出示问题：一张比萨，哥哥吃了，弟弟吃了，两人一共吃了这张比萨的几分之几？得到算式：】

师：谁来说说你是怎样算的？为什么这样算？

生1：，同分母分数加减法是学过的，但这两个分数分母不同，把分母变成相同的就能计算了。

生2：对，分母相同分数单位就相同，就可以相加。

师：看来运用转化思想就能把新问题转化成旧知识来解决。

生3：为什么必须分数单位相同才能直接相加？

师：是呀，分数单位不同就不能直接相加吗？能说说其中的道理吗？

生4：可以画图说明。这个圆表示这张比萨，这两部分分别表示，但不能直接看出两部分合起来是多少，我把分一下，每一份都是，就变成了，这样就能看出两部分合起来是3个，也就是。

师：听懂了吗？为什么变化后就能加了？

生5：从图中看，分数单位不同不能直接相加，转化后分数单位相同了才能相加。还是画图看得清楚！

师：是呀！算式中是异分母分数变为同分母分数，本质上其实是统一分数单位，相同单位的数才能相加减。大家不妨也画一画，再次感受其中的道理。

片段二：对比分析，体会“通分”在异分母分数加减法计算中的作用，深化算理，明晰算法

生1：我用线段表示，直接看是一格半，就是1.5个，无法表示；平分一下，这样一共就是三小格，每个都是，也就是。

生2：我是在正方形中表示，用作为标准，把分割成两部分，一共就是这样的3份即，也能表示的和。

师：大家作图时都有一个相同的动作——分！看似简单的分割能解决大问题！究竟是怎样分割？它又有怎样重要的作用？

生1：分割后分母就一致了。

生2：分数单位相同就可以相加了。

师：把图形和运算联系起来你还有什么发现？

生3：这是通分！

师：没错，分割不就是在通分吗？！看似简单的分割可真是不简单！现在你对异分母分数加减法又有了怎样的认识？能否在此基础上总结计算方法？

生1：我知道了“通分”就是在“统一分数单位”。

生2：先通分变成同分母分数，统一了分数单位再计算。

片段三：回顾梳理，建构知识体系，更加深刻感悟算理，关注运算本质

师：探索了异分母分数加减法，回顾一下我们曾经学过哪些加减法运算？它们又有哪些相同点？

生1：有整数、小数和分数加减法。

生2：整数相加减是个位对齐；小数加减法是小数点对齐；分数加减法中，分母相同就直接加减，分母不同要先通分再计算。

生3：整数加减法和小数加减法是一样的意思，都要对齐。

师：可整数加减法是个位对齐，小数加减法是小数点对齐，怎能是一样的呢？

生3：整数中个位对齐，其他数位就都对齐了；小数是小数点对齐，那各个数位也都对齐了。

师：明白他的意思吗？从他的发言中你有怎样的思考？

生4：“对齐”就是相同数位对齐，整数加减法和小数加减法都是把相同数位上的数相加减。

师：真会思考！就像大家所说的，都是相同数位上的数相加减，其实就是相同计数单位的个数相加减，分数加减法是否也蕴含这样的道理呢？

生5：对！，通分后是2个加1个得（2+1）个。

师：是呀，分数相加减就是相同分数单位的个数相加减。在对比中深入思考我们发现，整数、小数和分数加减法有着特别重要的相同点——相同单位的数才能相加减，加减法其实就是“相同计数单位的个数相加减”。

深度思考

本课围绕解构问题进行设计和实施，两个问题均得到了初步的解决。

片段一通过问题聚焦、生生质疑与启发，挖掘运算本质——分数单位相同才能相加减。借助数形结合思想，学生直观理解形式上“异分母分数到同分母分数”的转化，实则为“分数单位由”的统一，进而满足分数单位相同才能相加减，并在感悟算理的同时也真切感受“数形结合”的直观。

片段二继续借助图形在对比中说理、明法。学生在聚焦“分”的过程中感悟图形与算式的联系，体会“通分”的本质，充分理解算理的同时也更好地把握算法，从探究思考中获得真实成长，做到“知其然并知其所以然”。

片段三在回顾整理中关联旧知识的梳理，学生在对比思考中由“表”及“里”，逐渐深入地挖掘算理的内在关联，在初步建立知识体系的基础上对加减法的运算本质有了更加深刻的理解，同时对本节课“异分母分数加减法”的算理的理解与算法的掌握也有了再次的巩固与深化。

深入解读案例，教师通过设计有效设问，引领学生循序渐进地思考；通过质疑与探究，深化学生对算理的感悟；再通过理法融合以及知识体系的建立，让学生更充分地理解算理、把握算法，更深入地理解数学核心概念，感悟数运算的本质。本节课在解决教学关键问题时采用了以下方法。

（1）唤起知识经验与活动经验，充分理解算理。

对于数运算的学习，学生是有一定的认知基础和知识经验的，课堂上通过生生交流与教师启发，聚焦关键问题、挖掘运算本质，引导学生应用已有经验去思考和解决问题，感受知识之间的关联，从而对算理、算法充分理解。

（2）数形结合——以“形”悟“理”。

“数形结合”是重要的数学思想和方法，可以让抽象的概念、复杂的运算变得直观、形象，由此，在抽象的数运算教学中，有效借助数形结合的思想将算理与算法有机融合，先将“数”用“形”来表示——直观呈现分数加减的过程，再从“形”中探索总结出“数”的规律，感悟算理的形成。

（3）在体系建构中深化运算本质。

在数运算的学习和积累过程中，对比思考新知识与旧知识之间的外在“形式”、内在“本质”的关联，对算理进行“再梳理”，并建构知识体系，既是对运算的整体把握，也是对数运算本质了解的进一步深化。

（案例撰写人：北京市东城区史家胡同小学　杨文佳）