如何在数认识的教学中培养学生对数概念本质的理解？

1.理解数概念的本质对于数学运算具有重要意义

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对各学段的运算分别提出了明确的要求，也让我们明确了培养学生数学运算能力的主要任务。在要求中我们都能发现这样的字眼：经历从日常生活中抽象出数的过程，理解万以内数的意义，初步认识分数和小数；体验从具体情境中抽象出数的过程，认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义，了解负数的意义。

数的运算必须建立在对数概念的充分理解之上。学生对算理的深入理解离不开对相关数学概念的掌握。只有对数概念深刻理解才能为后续算理的理解打下坚实的基础，也才能真正掌握运算法则。例如，分数乘分数的算理，根本在于对分数意义的理解。分数乘分数，就是一个分数的几分之几，也就是把这个分数平均分成若干份，求这样的几份。这里面涉及“量”和“率”的转化。虽然有些分数是带单位的量，有些分数是不带单位的率，但是，“量”和“率”是可以互相转化的。因此，当学生算理阐述不清的时候一定要追本溯源，而这个“源”就是与运算相关的数的概念的建立。

2.学生对数概念的理解还很不够

学生对数概念的理解不够，首先体现在对十进位值制的理解上。减法连续退位时，学生很容易出现错误，特别是中间位上所借一的剩余问题。借走“1”后，剩余的必然是“9”。因此，学生频频出现这类问题的根本原因在于对十进制的理解不到位。小数加减法对位也容易出现错误。

学生对分数意义的理解更加欠缺。分数是一个兼具多重含义的数学概念，在小学阶段学生侧重于从以下三方面理解分数：①将单位“1”平均分为若干份，可以用分数表示这样的一份或几份；②基于商定义的理解，即整数a除以整数b的商，用分数来表示；③基于比的定义的理解，也就是整数a和整数b的比的表示。

但是在实际教学中，学生很容易发生以下偏差：第一，将分数基本含义狭窄化，将②和③的含义都作为①的具体应用；第二，不能清晰理解用分数表示的每份数量和用分数表示的具体商的结果之间的区别。

学生小数计算的错误很多都源于对小数意义没有牢固掌握。例如，小数竖式计算和答案不点小数点，原因在于学生对商与被除数小数点应该对齐掌握不牢，即小数的意义没有熟练掌握。

学生对数之间联系的认识更加不够。整数、小数、分数在计数单位、数位、进率、位数等方面既有区别，又有联系。但学生往往忽视三者之间的关系，只是视为三种不同的数。例如，在数学计算中，忽视整数、小数、分数加减法运算的本质都是相同单位的个数相加减。

3.教师在数认识的教学中存在着忽视数概念本质的问题

教师之所以对数的概念本质认识不足甚至是忽视，是因为在低年级数的认识教学中，存在忽视数数作用的现象。例如，《100以内数的认识》例1一课，教师设计数小棒的活动。由于学生年龄小，还没有养成良好的学习习惯，导致数小棒的时间过长。因此，教师加快了展示数数的过程，不但引导提示不够，而且对“10个一是10，10个十是100”的总结归纳也不够。数数是学习《100以内数的认识》单元的重要活动，也是学生理解作为计数的数的重要活动。虽然很多学生已经会一一点数，也会几个几个地数，但却对以10为单位计数并不熟悉，并没有认识到其中10的作用。在一个一个地数、几个几个地数的过程中，不但要突破拐弯数的难点，而且要感受其中的累加，感受数的顺序和大小，更要体会其中“满十进一”的十进制思想。

忽视对数位、计数单位的认识。例如，《100以内数的认识》例3一课，在三十三粒纽扣的读写时，教师虽然提出了问题：两个“3”的意思一样吗？各表示什么？为什么同一个数字表示的意义却不同？但却没有给学生充分的思考讨论空间，也没有总结数字所在“位置”不同，所表示的意义也就不同，显示出教师对其背后隐含的“十进位值制”的忽视。本课必须强化数位和计数单位概念，知道同一个数字在不同数位上表示的意义不同。

忽视各种数之间的联系，特别是从数位、计数单位的角度把握整数、分数、小数的关系。例如，小数的本质是十进分数。有的教师在教学时过于强调其分数特性，忽视其十进制特性，也就是忽视了小数和整数的联系。

忽视表象的支撑作用。不管是自然数、分数还是小数的学习过程中，都需要使用大量的学具、教具。现实中，有些教师怕学具、教具的出现分散学生的注意力，影响教学秩序，能不使用就不使用。这反映出教师忽视了学具、教具在数概念学习中的表象支撑作用。认识数离不开直观的学具，从散乱的学具，到直观的、齐性（指表示同一数学概念含义的每一种材料的物理特征都是相同的，表示的意义也相同）的学具，再到齐性、结构性（指学具材料经过结构设计，能体现数学知识的某一含义）的学具，本身就是帮助学生更好地认识数。

混淆教学活动和概念形成。有些教师过于关注教学活动本身，忽视了活动背后的概念形成。例如，《分数初步认识》一课，教学活动热热闹闹，又是折纸又是讨论，学生也积极参与，兴高采烈。但是，当询问什么是分数、为什么要学习分数时，有些学生却不知如何回答，显示出对分数的理解根本不到位。

教师出现以上问题的根本原因是对数概念的本质认识不足。新教材内容的编排呈现螺旋上升的结构，教材多以图形结合、描述性的概念进行呈现，内容编排以简单化、浅显化的特质居多，也影响教师对数概念的纵深研究和横向把握。

基于以上思考，将如何在数认识的教学中培养学生对数概念本质的理解作为一个教学关键问题。

案例YS-1-1：《在了解数的产生的过程中感悟十进制与位值制》（《十进制与位值制》，二年级）

本案例要解决的数学关键问题是“如何在数认识的教学中培养学生对数概念本质的理解”。

教学内容分析

本案例的教学内容属于人教版小学数学教材二年级下册第七单元第一节《万以内数的认识》。书中的例4旨在让学生通过学习算盘计数，再次认识千以内的数；“你知道吗”是让学生了解古人计数的发展历史。

“计数”是指数数，“记数”是指用符号把计数的结果记录下来。

十进制与位值制的记数方法不仅是学生理解数的基础，也能为学生认识更大的整数、学习小数、分数奠定良好的基础，是拓展数域的过程中不变的本质，是培养学生数感的必经之路。

十进制计数法的内涵从学生认识数开始就一直渗透在其中，“满十进一”的思想在数的认识、数的运算等多方面均有体现。数的表示、数的大小的本质均是基于十进制的位值制计数方法，是理解数概念的本质所在。

说明：重新查了一下，该单元是《万以内数的认识》。十进制计数法用“计数”，因为凸显分组数数。其他都用“记数”，凸显从古至今人类记录数字的不同形式，例如，“位值制记数法”。

本课题是学生发现了相邻单位的十进位关系以后，借助例4与“你知道吗”的内容，从数学史的角度出发，帮助学生在了解计数方法产生的需求之后，进一步理解十进制与位值制。

学情分析

为了了解学生对十进制与位值制的理解，在课前对学生进行了前测，前测包括以下两道测试题：

“9999”中4个9的含义相同吗？这说明了什么？

9+1=？，99+1=？，说说你的计算过程？为什么这样计算？

经过测试，问题1中能准确说出4个9的含义的学生占总人数的94.44%，但用不同数位解释的学生仅有2.78%；问题2中计算正确的学生为100%，但是能在解释算理的过程中清楚地用十进制与位值制解释的学生占总人数的5.56%。可以发现，学生对于十进制与位值制在数学中的体现有所了解，但是，对十进制与位值制的价值认识不够，对记数方法的本质还不理解，教学中还需要加强对数本质的渗透。

因此将教学关键问题解构为以下两个小问题：

（1）如何让学生感受到十进制的作用？

（2）如何让学生感受到位值制的价值？

教学目标

（1）通过了解古人计数的方法，发现十进制与位值制产生的必要性。

（2）在试写、操作、交流的过程中，感悟十进制与位值制的重要意义。

基本设计思路

本案例通过数学小故事带领学生走进古人计数的世界，让学生沿着古人计数的发展，发现实物计数的不便之处，突出十进制的产生需求；通过仿写、对比、交流，感受位值制产生的必要性与意义。

片段回放

片段一：故事导入，感悟十进制的产生和作用

动画故事导入，原始人需要表示猎物数量。“我用手指来表示。多了，就再来一只手！又多了怎么办，用脚吧……”他把双脚也举了起来，一下子摔了个四脚朝天。后来，这些原始人开始用刻痕、摆石子、摆树枝的方法来数数，但当猎物太多的时候，树枝也越来越多……

师：随着猎物数量的增加，树枝太多了，不能一眼看出数量的多少。你能给他们出出主意吗？

生1：能不能每10根树枝捆成一捆。

师：你的意思是，捆成一捆的就表示10根。

生2：有一个10根就捆成一捆，有一个10根就捆成一捆，有几个10根就捆成几捆，剩下不到10根的单放，就好数了。

师：有道理。可是，如果一捆一捆的，也太多了，该怎么办？

生3：那就一个10捆，捆成一大捆，这样，有几个10捆，就捆成几大捆。

师：好主意！真是英雄所见略同。古人就是这么做的。后来，在此基础上形成了计数的方法，并且将这种方法称为：满十进一。

片段二：对比仿写，体验位值制的优势

师：这是古埃及的象形数字，猜猜它表示什么？

生：一朵“莲花”代表1000，一条“绳索”代表100，一个“n”代表10，最后一条“竖线”代表1，应该是3124。

师：非常棒，完全正确。请你试着用古埃及象形字写数。

生：第一个数“132”。

师：你觉得古埃及象形字怎么样？

生：挺有意思的。

师：我想出一个有难度的，“999”。

师：请你再用象形数字写出“999”。

师：现在你有什么感觉？

生：埃及数字太难写了！还是现代人用的数字好！

师：仅仅是数字难写吗？我们现在用的阿拉伯数字有几个？

生：0、1、2、3、4……一直到9，一共10个。

师：我们仅仅用10个阿拉伯数字就能表示无限的数。这其中的关键是什么呢？（略停顿）

师：以“999”为例，左边的“9”表示“9个百”，中间的“9”表示“9个十”，右边的“9”表示“9个一”。

生1：一个符号能表示很多含义！

生2：不同位置上的“9”表示不同的含义，位置不同含义不同！

师：对！关键在于：同样一个数字，在不同的位置上表示的含义不同。就是有了这一点，用数字表示数，变得非常简单。

深度思考

十进位值制记数法是古代世界中最先进、科学的记数法，是自然数计数的本质。本案例从数学史的角度出发，紧紧围绕“如何让学生感受到十进制的作用”与“如何让学生感受到位值制的价值”两个解构问题，带领学生还原历史，经历知识产生的过程，引导学生在过程中感受到十进制与位值制的产生需求与产生意义，进而达到目标。

在第一个片段中，教师借助数学小故事，从古人记录猎物的数量开始，让学生发现人类文明对记数的需求，引入了实物记数的方法，随着猎物数量的增加，实物记数不易操作，让学生意识到当时现有的记数方法已经不能满足人类的需求，感悟十进制记数方法产生的必要性。

“面对如此多的树枝，你能想办法解决吗？”使学生直面优化记数方法的需求，经历分组活动，将树枝每10个捆成一捆，体会十进制产生的过程，通过对原有的记数方法进行改进，经历满十进一的活动，感悟十进制记数法的意义与作用。

在第二个片段中，在认识古埃及象形字的过程中，再次感受十进制记数法的意义，再通过尝试用古埃及象形字书写“999”，发现象形文字缺乏位值制的不便之处。引导学生再一次审视熟悉的阿拉伯数字，通过问题“为什么有限的数字能够表示无限的数”引领学生思考，发现位值制的价值。

本案例的两个片段，沿着历史发展的脉络，从一一对应的实物记数，到满十进一的符号记数，再到不同位置的数表示不同含义的阿拉伯数字，层层递进，带领学生由易到难，逐渐领悟十进制与位值制的内涵。

在解决教学关键问题时，教师采用了以下方法。

（1）问题情境，产生需求。

本案例在教学过程中多次使用问题引领学生思考的方式，让学生在问题情境中发现记数法产生的必要性。例如，在第一个片段中“树枝太多了，不能一眼看出数量的多少。你能给他们出出主意吗”，让学生在解决问题的过程中，发现分组记数的优势，感受到对十进制记数法产生的需求。再比如，在第二个片段中“我们仅仅用10个阿拉伯数字就能表示无限的数。这其中的关键是什么呢”，引领学生在解决问题的过程中发现位值制的意义。

（2）讨论探究，解决问题。

本案例在教学过程中给予学生充分讨论的主动权，让学生在思维碰撞、交流分享的过程中发现解决问题的方法。在第一个片段中，通过教师的引导，学生在讨论中逐渐明晰了10根捆成一捆、10捆再捆成一大捆的十进制记数方法。在第二个片段中教师引领学生讨论、探究相同的数字因为位置不同所表达的含义不同，进而感受到位值制的意义。

（3）前后对比，感悟价值。

从实物计数中一一对应的计数方法到分组计数方法，再从符号计数中象形文字的计数方法到位值制计数方法，教师在带领学生重现历史的过程中，让学生经历了计数方法的更新换代，前后对比新旧计数方法的同时，使学生充分感受到了十进制的位值制计数法产生的需求以及其价值所在。

（案例撰写人：北京市东城区史家胡同小学　淮瑞英）

案例YS-1-2：《运用多元表征促进学生对数概念的理解》（《小数的意义》，四年级）

本案例要解决的关键问题是“如何在数认识的教学中培养学生对数概念本质的理解”。

教学内容分析

本案例教学内容是人教版小学数学教材四年级下册第四单元《小数的意义和性质》第一节起始课。在前面的学习中，学生已经系统认识了整数，知道了什么是数位、计数单位、十进制计数法等知识，初步理解了分数的含义，能结合现实背景和具体的量来认识小数，这些知识能在学习中发挥积极的迁移作用。小数实质上是十进分数的另一种表示形式，其依据是十进位值制原则，是对“位值制”进行拓展。

本节课的学习重点是体会小数的产生，理解小数的意义，认识小数的计数方法（计数单位，相邻计数单位的十进关系），是从本质上来理解小数，是系统学习小数的开始，而这些知识又是后面学习小数的性质、四则运算等知识的基础。

学情分析

我们采用课前学情调研的形式对学生原有的学期情况进行调研。设计出前测题如下：请你用画图的形式表示出0.1。四年级共计52人参加了此次调研。调研结果如下表所示。

续表

通过前测分析不难看出，由于有了三年级小数初步认识的基础，全班92.3%的学生都能依托具体的图形完整地表述出0.1，但这是不是就说明学生掌握了小数意义呢？于是我又对正确呈现的48人进行了访谈。访谈问题是：“小明的体检结果显示，他的身高是1.45米。请你用自己的话说说小数1.45表示什么意思？”48人中只有11人能结合分数理解小数（见右图）。

结果表明，学生探索小数与十进分数的联系存在困难。对于小数意义的理解，元认知停留在整数间的单位换算。从一位小数到两位小数的知识迁移过程中，学生会产生认知冲突，部分表示两位小数正确的学生只是根据表示一位小数进行形式模仿，而非从本质上理解小数的意义。

综上所述，将本课的教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）如何帮助学生理解小数是特殊的十进分数？

（2）学生理解小数是十进分数有哪些表现？

教学目标

进一步理解小数的意义，能够把十进分数改写成小数，认识小数的计数单位及十进关系。

基本设计思路

借助米尺理解小数是十进分数的另一种表示形式，借助等分成100份的正方形构建小数与分数的关系，借助立方体模型理解小数和十进分数之间的联系。学生经历完整的抽象过程，在直观—半直观—符号化的多种表征的支撑下，深化对小数是特殊十进分数的理解。

片段回放

片段一：借助线段模型初步认识小数是十进分数

师：要想弄明白0.3表示什么意义，你觉得我们应该先研究哪个数？

生：我觉得应该先研究0.1。

师：说得真好。古人云：“一生二，二生三，三生万物”，那我们就先从0.1展开对一位小数的研究。

师：这里有两个图形，一个正方形、一条线段。在这里我们把它们都看成“1”，你能在这两个图形上找到0.1吗？说一说。

生：把这个图形平均分成10份，其中的一份就是，也就是0.1。

师：就像刚才同学们说的，把“1”平均分成10份，每份就是，也就是0.1，我们把他们说的记录下来。。与0.1表示的意义相同，大小相等。所以我们用“=”连接。那0.3呢？在图中又该如何表示呢？想象一下，谁能说说？

生：把“1”平均分成10份，表示这样的3份就是，也就是0.3。

师小结：同学们真棒。凭着良好的感觉首先找到了0.1这个标准，然后还能使用这个0.1来帮助我们研究后续的0.3，这种迁移的学习能力真棒。那你们还想在图中表示哪个一位小数？

生1：0.5→把“1”平均分成10份，其中的5份就是，也就是0.5。它里面有（5）个0.1。

生2：0.9→把“1”平均分成10份，其中的9份就是，也就是0.9。它里面有（9）个0.1。

生3：0.7→把“1”平均分成10份，其中的7份就是，也就是0.7。它里面有（7）个0.1。

师：研究到这，那你们发现一位小数都表示——十分之几。

片段二：借助面积模型构建小数与分数的联系

在这个环节中主要以学生自学为主，完成学习单。其目的就是引导学生在面积表征的支撑下完成对两位小数的认识，感受小数的十进关系。

片段三：借助立体模型深化小数的意义，突出十进特点

师：推想一下，要是研究三位小数先从哪个小数开始？那如何得到0.001呢？

生：把“1”平均分成1000份，取其中的一份。

师：老师这里有一个正方体，表示单位“1”。首先我们将它平均分成10份。再分成10份，再分成10份，这时候就将这个正方体平均分成了1000份。每一份就是，也就是0.001。你能在图中找到0.001吗？谁上去指一指。

师：一起来看看这幅图，红色的部分表示1000份中的多少份？我们一起来数一数。

师：用分数表示就是，写成小数就是0.356。那0.356里面有（　）个0.001？在这幅图中你还能再找出一个小数吗？

生：，它里面有（644）个0.001。

师：研究到这里我们不难看出三位小数都表示千分之几。那四位小数呢？五位小数……只要有需要我们就可以将“1”无限细分下去。随之也会产生更小的标准。

师：刚才我们一起对一位、两位、三位小数进行研究，现在你对小数又有了哪些新的认识？

生1：必须是平均分。

生2：平均分成十份、百份、千份……

生：表示十分之几、百分之几、千分之几……这样的数就是小数。

深度思考

可以看出本课是围绕既定的两个关键小问题设计和实施的，两个问题都得到了初步的解决。

例如，在片段一中从原有的认知基础出发帮助学生回忆旧知识的同时唤起他们的学习欲望。为学生渗透解决问题时要有分类研究的意识，这不仅是解决问题经验的积累更是研究方法的传递。研究小数从两个“一”开始：一位和0.1，一个是位数上的起始，一个是数字的起始，两个“一”的起始分别指向研究方法的传递和数感的培养。在片段二中用线段模型和面积模型帮助学生将0.1与建立起联系，为后续的理解意义做好准备。在问题驱动下，孩子们的思维被调动起来。他们可以有条理、逻辑清晰地分析问题，并且可以流畅地表达自己的想法。通过学生的思维，我们可以看到他们思考问题是全面的、深刻的。他们考虑问题是周全的，思维是严谨的。学生经历完整的研究事物的过程，从猜想研究那个数开始，到借助线性和面积表征回忆沟通0.1与的联系，再到探究这个小数的组成，即计数单位和计数单位的个数的统一，最后发现一位小数的含义。学生在经历一个完整的解决问题的过程中感受着过程，积累着经验。

在片段三中3位小数的研究如果靠人力短时间很难达到一个良好的效果，在学生都能进行很好的研究设想的同时教师给出技术手段的支持，使学生能深刻感知到技术手段对研究的支持是巨大的。同时通过发散联想让学生感受到，只要需要我们就可以将“1”无限地细分下去。在标准的确立上很大程度是依靠学生良好的数学感觉，在各个环节中帮助学生对这些标准进行理性和深刻的认识，同时也帮助学生将小数的计数单位与整数的计数单位进行“对接”，完善计数单位的体系。

深入分析这个案例，教师解决教学关键问题时采用了以下方法。

（1）加强与十进分数的关联，有效把握小数的意义。

小数的认识，加强了与十进分数的关联，能有效把握有限小数的意义。但是如果从认知结构来看，小数其实是对整数的十进制的计数法的拓展。把十进分数仿照整数写成不带分母的十进制形式，虽然小数的“满十进一”的位值思想更加抽象，但是对理解小数的本质，甚至将来理解实数的表达，同化和顺应小数概念及其运算，都具有极大的价值。

（2）多元标准支撑十进位值制的抽象概括。

本节课中充分地让学生经历抽象、类比、推理、归纳等教学思维过程。抽象是数学的本质，然而在让学生经历抽象的过程中，本节课为知识的发生、发展找到了支点，并有效地促进了学生对知识的理解与沟通。这节课如同一次有关“小数”的主题旅行，让学生从经验出发，停靠了“数形”“数量”“数感”等中转站，全面了解了小数的意义，并从中获得了知识同化和深化的过程。

数与形结合，经历抽象过程。在数的认识过程中，本节课运用多种模型帮助学生理解数的意义，建立数的概念，比如本节课中的方格图、数轴、正方体等，这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，并且就整数、分数、小数之间的转换关系，以及计数单位之间的进率进行了铺垫，有效突破了难点，揭示了重点。

（案例撰写人：北京市东城区史家胡同小学　李冉　张子仪）