调用感官，培养小学生想象力

小学生具有好玩、好动的特点，对新鲜事物感到好奇，主要处于具体形象思维阶段，他们对几何知识的获得和空间观念的形成更多地依赖于动手操作。借助视觉、听觉和触觉感知事物是学生认识世界最基本的方法。教师要充分运用这样的方法引导学生发展想象能力。

（1）借助视觉，丰富想象素材。

“看一看”“分一分”“比一比”等是教学中常用的借助视觉开展的活动形式。如一年级上册《认识图形（一）》的教学中就可以安排“分一分”的活动，让学生把相同形状的物品放在一起。学生在活动中要充分借助视觉进行观察，通过观察发现物品在形状上的共同点，然后将具有相同形状特征的物品放在一起。这个过程对于低年级学生来说是非常好且非常重要的认识图形的过程。教学中要充分挖掘这类活动的价值，帮助学生积累丰富的经验，为进一步进行想象奠定基础。

（2）借助触觉，积累想象经验。

“摸一摸”“移一移”“转一转”“画一画”“剪一剪”等活动是借助触觉开展活动的重要形式。如认识立体图形的时候，可以让学生摸一摸、玩一玩，借助学生的触觉，让立体图形的样子“留”在头脑中。四年级学习轴对称图形时，学生画出轴对称图形的另一半的活动有助于学生将头脑中想象的轴对称图形的样子外化出来，进行进一步的积累。再如　“案例ZG-3-2：《动手实践　积累经验》”教学中，教师让学生剪蝴蝶的活动，更需要学生借助对轴对称图形特征的理解，展开想象，确定对称轴位置，设计剪蝴蝶的方式，这一系列有趣的活动都帮助学生不断在头脑中进行想象，积累想象经验，为深入的理性思考奠定了坚实的基础。

（3）借助听觉，提供想象空间。

听觉可以帮助学生发展空间想象力吗？答案是肯定的。在“案例ZG-1-1：《调用感官和经验　发展空间观念》”的教学中，教师就设计了借助立体图形滚动的声音判断立体图形的活动。由于立体图形特征不同，它们在运动时发出的声音也各有特点。学生在仔细倾听立体图形运动发出的声音时，需要在头脑中想象图形运动过的样子，图形的特征此时也深深地印在了学生的头脑中。同样的方式，也适用于低年级《平移和旋转》的教学。教师可以让学生听一听物体进行平移和旋转时发出的声音，让学生借助声音进行想象，加强对图形运动方式的理解。巧妙的设计为学生提供了有趣的想象空间，也助力了学生空间想象力的发展。

4.养成借助直观思考的习惯，强化应用图式意识

（1）挖掘教材资源，创设情境，激发兴趣。

在教材当中有很多知识内容都蕴含着几何直观因素，在备课的过程中，教师需要保持敏感的图式洞察力，对教材进行深入分析并充分考虑几何直观的教育功能，在内容的选择和习题的安排上向几何直观靠近。

在具体的教学过程中，某一数学问题可以用多种方法讲解，但是在这些方法中没有最好的，只有最适合学生的，因此捕捉和挖掘可以使用的几何直观的教学内容和方法，更能帮助学生理解数学概念、数量关系等数学相关知识。特别是解决不易发现正确数量关系的、较复杂的问题，像“案例ZG-4-1：《在解决问题中体验应用图式的乐趣》”，就是一个能凸显几何直观作用的典型教学内容。学生在画图的过程中产生不同问题，激发着他们继续研究的兴趣。

又如“案例ZG-4-2：《实践中体会价值，埋下一颗应用图式的种子》”，教师提供多种学具，学生借助方格纸画一画、围一围，在有趣的直观操作中激发探究兴趣，发现、感悟规律。久而久之，学生便能在教师的引导下潜移默化地感受到几何直观的好处，随之形成自身的应用意识，养成利用几何直观思考问题的习惯。

与此同时，教师还要注意丰富几何直观应用的内容领域，在数学学科的四大领域“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”中都可以创造出几何直观的应用时机，打通数学内容领域之间的壁垒，借此让学生感受到几何直观是一种很常用、很有用的数学思维，更是需要他们掌握的一种数学能力。

（2）把问题直观化，留足时间，积极引导。

形成应用图式的意识是发展几何直观能力的起点。尤其是低年级学生，教师若经常对可以用几何直观手段解决的教学内容多加描述与渗透，多引导学生对存有疑问的内容借助图式的直观来进行讲解，那么学生就会慢慢体会到形使数更直观，从而爱上利用几何直观思考问题的方式。

如在解决一年级的排队问题时，面对算式15-10=5（人）分析错误思路的原因时，用语言解释显然是苍白无力的。此时老师引导学生摆一摆、画一画，还原排队的画面才是“拨乱反正”的有力证据。但是虽然从图中学生看出了正确答案，可画图与列式的答案为什么不同，再次引发了学生的认知冲突，教师第二次引导学生借助图式分析数量关系，审视文字信息转化为图形信息中的细节，彻底消除学生思维困惑，修改列式。

在思考的过程中，教师要鼓励、引导学生利用图形去描述问题，多给学生机会画图，让学生遇到问题就想到画图；多提供一些学具，使学生能够借助学具操作，体验在自己创造的图式中发现答案的乐趣，体会在产生认知冲突时对应用图式的需求感，还要及时让学生谈谈应用图式的感受，强化图式的作用——使问题变得简单，答案一目了然，困惑一扫而光。让学生有“柳暗花明又一村”的愉悦感，从而培养学生应用图式的意识。

（3）尊重学生“创作”，保护应用图式的意识

几何直观是一种创新性思维活动，每个人的思考方式、喜欢的表达的方式是有差异的，因此教师在教学过程中，要善于通过图式理解学生想法，保护学生应用图式的意识，没有必要过分地追求图式的“规范性”。

5.数形结合，培养解释图式能力

很多重要的数学内容、概念都具有数和形两方面的本质特征。数形结合是认识数学的基本角度。解释图式与使用图式是互逆的，都需要图形语言和文字语言之间进行转化。这种转化能力不是瞬间形成的，也不是自然生发的，需要教师特别重视和不断加以训练，使学生学会从数与形两个角度认识数学。

（1）梳理教材中出现的图式，整体把握。

小学生真实的几何直观的起点阶段在低年级，数学问题被描述为类似于画画的、自然的描绘量，这是最初的实物图。从教材来看，一年级上册以实物图为主。随着年龄的增长，学生使用几何图案代替实物，开始具有一定的抽象性，特点是图案与实物是一一对应的，突出表达的是量的多少，这就是示意图。同时学习了一些符号如虚线圈、实线圈、斜杠、大括号……形象地表达出运算关系，捆皮筋的小棒图、计数器等实物图与替代物都表示一些特定的含义。随着大数的出现，学生渐渐用一个单位的线段表示任何的量，图更加聚焦于量与量之间的关系，图中不同几何元素间的长短、大小关系要符合题目的量与量之间的关系，二年级出现了线段图。三年级在学习了面积后，把乘法意义赋予面积模型，面积图使数量关系与形进行了很好的结合。另外出现了辅助图形，如方格图。在“数学广角”中还出现了韦恩图，表示集合及其关系。四年级学习条形统计图时出现了横轴、纵轴；五年级出现了立体模型；六年级出现了正比例函数图，使数与形完美结合。教师明确各种图的作用，在学生观察、解释图式时才能更好地进行指导。

（2）注重对文字语言、符号语言和图形语言的理解与转化。

图1

在低年级的教材中有大量的图，学生最先学习、理解的是图形语言与文字语言的转化，如从图中获取哪些数学信息。接着学习把图中的数量、数量关系抽象成数学符号语言。教师在这个学习阶段要重视三种语言的转化训练，只有理解简单的图形语言才能全面捕捉、准确读懂复杂图式的信息。比如二年级学习两位数加减法时，教材为了帮助学生理解算理呈现了“小棒”图。

此图式中有一年级数学教材《10的认识》中出现的表达满十就要捆捆儿的小棒图、有看图列式中用来表现事情发生变化的小箭头，以及表达减法关系的虚线圈，理解以前学习到的图形语言是完整解释这个稍复杂算理图的基础，因此教师要重视教给学生这些图形语言，引导学生细致观察，不断积累、学习图形语言，才能顺利地迁移、解释图式。

图2

在对文字语言、符号语言和图形语言的理解与转化训练过程中，教师要适当设计问题串，强化对图式中符号意义的解释，尤其是针对具有特定含义的符号，在不同的示意图中要灵活理解。

比如在“案例ZG-5-1：《体会图式蕴含丰富信息，解释图式游刃有余》”中教师抓住学生对虚线圈表示减法的原有认识，进行提问：“图1也有虚线，为什么用加法列式？”让学生进一步明确虚线圈不仅表示去掉的意思，用来表达减法的运算关系，还可以表示后续消失、没有了的变化状态，配以箭头指向变化后的另一种状态——满十打捆，体现计数单位发生变化。教师利用对比分析法，在同一“符号”的理解上适时点评指导，帮助学生多角度理解“符号”含义。久而久之，学生在耳濡目染的过程中就会对简单的图式模型、图形语言慢慢熟悉起来，逐渐形成解释图式的能力，为画图描述问题奠定基础。

（3）让学生学会多角度观察图式、捕捉丰富信息。

小学“数与代数”领域中的图式一般蕴含两类信息：一类是数量，另一类是数量关系。要想读懂图中的信息，先要引导学生进行全面、细致的观察。首先看懂图中怎样描述量，怎样把量转化为形。其次要捕捉、解释图中量与量之间的关系。图式越复杂，包含的数量关系信息越丰富。

当学生观察、解释信息量大的图式时，教师可以先引导他们按照数量、运算关系两部分把完整的运算过程图式进行分解，再让学生从这两个方面观察图式，分层次理解、解释。还可以引导学生从不同的方向——横着、竖着、斜着、正向、逆向观察，或者用分割图式的方法从整体到部分多角度地观察，从而得到更丰富的信息，有助于学生获得新的发现。如“案例ZG-5-2：《多角度观察解释图式，发现规律》”中，通过对三种不同的面积模型图式进行分割，从整体与部分的角度得到新的信息，从而发现乘法分配律。

很多数学家认为，结果常常是看出来的，思路也是看出来的。可见识图能力是探索解决问题思路的源泉。教师要大力培养学生的解释图式能力，帮助学生积累表象，为描述问题打下基础。

6.学习描述问题的技巧，培养使用图式能力

虽然有解释读懂图式的基础，但并不意味着已经学会用图式描述问题。因为描述问题需要有较强的阅读理解能力、有准确的数感、能对概念准确把握，同时需要对信息有创造性的理解，对隐形的数量关系能想象外化描述的能力，因此如何正确地描述问题是个学习难点。简言之，描述问题的难点在于如何把抽象的数学意义转换为准确的、学生易于理解和感受的直观形式。

（1）在示范中学习画图技巧。

空间观念的建立对几何直观具有直接的作用。学习一些几何直观的技巧，是利用图形描述问题的必要阶段。教师要示范、引导学生运用一些基本图形作为模型，如用面积、体积模型描述乘法算式。在探究分数乘法的算理时，学生能轻易地画出，然而却不知该如何在图中恰当地描述。老师可以示范运用矩形二维特征表达数据，从不同的方向平均分份（如图），这样便于观察、明白算理。

这一技巧的应用与建议5中所提到的从不同方向观察、解释图式是否打下良好基础相关。

（2）在提示中学习画图技巧。

当学生在使用图式描述问题遇到困难时，教师要准确地分析学生理解上的难点，并有针对性地点拨、提示，搭一个“跳板”，利于学生迅速聚焦画图的难点深入思考，突破思维症结，同时学会画图技巧。如在解决喝牛奶问题时，教师提示学生“奶和水混在一起分不开，怎么在图中表示呢？要是像绳子那样的固体就好了。”学生顺势思考，把隐形的数量关系外化描述出来，从而解决了问题。

（3）在评价中学习画图技巧。

学生积累了一定的文字语言、图形语言、符号语言转化的经验，遇到可以渗透几何直观的教学内容时，老师要给足时间，让学生尝试画图，并善于收集、利用学生的生成资源做比较，有效开展生生之间、师生之间的评价与指导，在此过程中使学生学习、获得描述问题的技巧。

在课堂教学中，老师经常鼓励学生遇到问题就画图，留足时间组织学生借助图式进行交流，久而久之，在对比学习中，学生就会积累使用图式描述问题的经验与技巧，学会用图正确描述数学问题，才能够据此进行正确的数学思考，甚至从图中一下子就看出了答案。见数思形，以形助数，多种思路解决问题，并给予连续性的评价是培养学生几何直观的有效方法。

本部分按照教学设计和教学实施两个环节提出了一系列教学改进建议。其中教学设计环节的改进建议有几条？分别是什么？教学实施环节提出的改进建议有几条？分别是什么？您对这些教学改进建议有什么看法？您在日常教学中还有哪些好的方法吗？

1.选择题

（1）直观想象主要包括（ A ）。

A.几何直观　　B.空间想象

C.空间观念　　D.以上都是

（2）进行“图形的认识”这部分教学时，可以采用的策略有（ D ）。

A.重视生活经验　　B.积累想象经验

C.积累丰富素材　　D.以上都是

（3）进行“图形的运动”这部分教学时，可以采用的策略有（ D ）。

A.“思”先于“行”　　B.提供想象空间

C.积累想象经验　　D.以上都是

（4）培养学生的几何直观素养，要先形成应用图式的意识。采用的策略有（ D ）。

A.创设情境　　B.把问题直观化

C.尊重学生“创作”　　D.以上都是

（5）发展学生的几何直观素养，可以采用的策略有（ D ）。

A.养成画图的习惯　　B.发展解释图式能力

C.建立数与形的联系　　D.以上都是

2.填空题

（1）直观想象是（发现和提出）问题、（分析和解决）问题的重要手段。

（2）直观想象是探索和形成（论证思路）、进行（数学推理）的思维基础。

（3）几何直观指借助于（几何图形）而获得的感性认识。

（4）空间想象是人们以现实世界为背景，基于对图形的（运动）、（变换）和（位置关系）的把握，对事物的几何表象进行加工、改造，甚至创造新的空间形象。

（5）空间观念是在空间感知的基础上形成的，关于物体的（形状）、（大小）、（相互位置关系和数量关系）等特征在大脑中留下的表象。

3.简答题

请写出数学课程标准中对几何直观和空间观念的表述，举例阐述推理在实际教学中的应用。