小学数学教学关键问题探究：培养高年级学生的图式运用能力

1.使用图式在解决问题中具有重要意义

使用图式能力是指学生根据具体的数学问题自主画出对应的图式辅助思考的能力。学生按照要求对数学问题中的信息、关系进行初步分析后画出相应的图式，也就是描述问题，这是理解题意的很重要的一个环节，而正确理解题意、描述问题是帮助学生解决问题的基础。

小学数学历来以直观认识、直观理解为主。使用图式与解释图式可以看作一个互逆的过程。学生在使用图式的过程中，会把数学文字与关系信息转化成相应的图式来表达，形成表象，构建起形象表征，有助于寻找线索，梳理思路，对认知图式进行更新与建构，从而合理地解决数学问题。无论是解释图式还是使用图式，根据学生的认知规律，都会经历一个从“外化”到“内化”的过程。当问题被清晰、准确地描述出来后，往往结果就在图式中显现出来了，这样的例子比比皆是。

到了第二学段，在问题解决方面对学生提出了更高的要求，即能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。随着知识的增加，问题复杂程度提高，更凸显出借助恰当的图形、直观的模型利于揭示数学对象的性质和关系的优势，使思维更容易转向更高级、更抽象的空间形式。因此使用图式描述、分析问题对高年级学生解决问题具有重要的意义。

2.学生的使用图式能力有待提高

在课堂观察中我们发现，学生各自的认知水平不同，描述问题的水平也因此参差不齐。班级中有的学生在遇到条件烦琐、数量关系复杂的问题时，画不出完整的图，无法准确地分析、描述全部信息；有的学生不能将图式各部分的比例、含义与题意的内容要求表达相近或准确，因此难以进入更深层次的思考。我们重点聚焦学生描述问题不准确这个现象进行了案例分析，发现以下三个原因。

原因1　学生在阅读理解信息时出现偏差。比如用图式描述分数时，把什么平均分，也就是具体把什么看作“1”的问题没有认真阅读理解，判断不准确，导致出现了被平均分的部分与题意不吻合。

原因2　学生对数学概念的理解错误。比如“甲比乙多几分之几”，学生描述成“乙比甲少几分之几”，把分率当成数量，认为可以互逆叙述，把单位“1”混淆了。

原因3　学生在描述问题时缺乏技巧。学生对于“图为什么要这样画？”“有什么好处？”这些问题没有思考，缺乏技巧和经验。比如在图式中我们可以把相关的数量尽可能用平移的方法靠近，把两幅图结合成一幅图来观察，更有助于发现数量关系。学生根据具体的数学问题，能够自主画出对应的图式辅助思考，找到切入问题的关键点，最终实现问题的清晰化，需要学生对基本图形有一定的积累，对信息、问题具有描述、分析能力。

可见阅读、分析、描述的能力和经验是画好图式的基础，可以说使用图式的能力是多种能力的综合体现。在对案例的分析中，学生的表现是不令人满意的。

3.教师在培养学生使用图式能力过程中还普遍存在问题

在数学课程中，教师能够认识到使用图式可以使数量、数量关系更直观、更清晰地反映出来，使抽象的数学知识直观化、形象化，是分析、理解问题很重要的方法。但在日常教学中，教师仍在引导学生使用图式、培养学生几何直观能力方面存在一些问题。

3.1　课堂上教师不给机会让学生自己画图，或给予的时间不足

在对小学数学高段教师的访谈中，我们了解到有的教师认为：由于一节课中要学习的内容较多，如果花费时间在培养学生使用图式能力上，教学任务可能就不能完成，影响教学进度。有的老师担心在课堂上放手，让学生自己去尝试使用图式，怕学生的思维会令自己“招架不住”，于是学生在遇到某些学习的难点内容，需要借助图形描述问题、分析问题时，教师不给学生自己画图思考的机会，采取包办代替的教学行为。有的老师想培养学生使用图式的能力，放手让学生尝试，但发现学生有困难，教师就放弃等待，通过言语的提示或者板书提示学生，“抱”着学生跳过难点。其实学生虽然在这个过程中使用了图式，但没有成功解决问题，学生对使用图式的意义与价值缺乏真实的体验，慢慢地就会对独立使用图式缺乏信心，越来越不愿意借助图式理解、分析、思考问题。对于老师，则是觉得在课堂上没必要让学生独立画图思考问题，认为太浪费时间，反正他们画不出来。这样的课堂状态是无从培养学生几何直观能力的。

3.2　教师对学生课上画图不够重视，缺少对学生的分析与指导

面对学生在描述问题时出现的错误，教师缺乏应有的重视以及细致的归类分析，从而不能抓住症结进行有效的指导。例如，学生为什么没有根据已知信息画出来？问题卡在哪里？是因为阅读理解不到位，对以往知识的认知有漏洞，还是因为画图缺乏技巧？等等。学生在描述问题后，需要老师一次次地发现问题并进行指导，学生只有在指导下不断地完善、修改图式，体验到使用图式的益处，掌握一定的技巧，积累经验才能建立自信。使用图式的价值被学生真正认可，在今后的问题解决中才会自然运用，形成能力。显然，老师在课堂教学中是忽视这方面的指导的。

3.3　在教学中，缺乏引导学生从数与形两方面认识数学

学生学习数学的过程是首先对数进行一个初步的认识，然后再对图形有一个基本的了解，将数与形结合在一起，形成新的数学问题，学生再加以逻辑地判断和根据已有经验进行加工，最后解决问题。有的教师在解释图式教学中没有引导学生建立形与数的联系，并构建数学问题的直观模型，学生缺乏对基本图形的积累，对数与形结合后的认识还有一定的困难。这些基础没有打牢，学生就不能顺利地、有技巧地使用图式描述、解决问题。

3.4　缺乏持之以恒、培养学生画图习惯的意识

平时教学中，教师缺乏让学生能画图时尽量画图的意识，在坚持培养学生的画图习惯方面做得不够。对于学生来讲，做到尽可能把研究的问题“图形化”才能更好地体会直观带给他们理解、分析问题的益处。只有在教师的重视与教学内容的有意渗透下，学生关于使用图式的能力才会有所积累，久而久之形成解决数学问题的习惯，最后内化成自身的学习经验，形成几何直观能力。

综上所述，无论是从使用图式解决问题的重要作用来看，还是从学生、教师存在的问题来看，可以将如何在高年级解决问题的教学中培养学生使用图式的能力作为一个教学关键问题。

案例ZG-6-1：《在评价、调整图式中体会使用图式准确描述问题》（《异分母分数加减法》，五年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在高年级解决问题的教学中培养学生使用图式的能力”。

教学内容分析

本案例借助五年级下册《分数加法和减法》单元的例题——《异分母分数加减法》开展研究。

通过解决实际问题引发研究异分母分数加减法的需求，教材借助面积模型解释了算理。验证中学生解释算理时通过使用图式明白了异分母分数加减法先通分的必要性，从而解决了问题。

学情分析

学生掌握了同分母分数加减法后，围绕教学关键问题对学生进行了课前问卷调研。

题目：

参与调研人数：8人。

调研结果：

对计算正确的3名学生进行访谈。有2名学生说要先统一分数单位才能加减，面对“如果大家不明白你说的意思，你打算怎么办？”这个问题时，3名学生都提出可以画图解释，但在用图式描述算式时出现了问题。

对计算错的5名学生也做了访谈。他们说没见过不同分母分数的减法，不会做，当教师提示用画图的方式试试的时候，有3名学生用面积模型只表示出，接下来就不会用画图的方式表示了，可见，学生不能顺利使用图式来解决问题。

调研分析

学生对于新问题不能调用原有知识来解决，不会使用图式来帮助思考。当教师提示可以用画图的方式时，学生用面积模型（长方形）表示出被减数，对如何表示减数学生不知道该怎样继续画了，更不要说表示它们相减的运算关系以及探究最终的结果。调研结果说明学生对算理不理解，在使用图式时，学生对于如何在一幅图中描述两个异分母的分数出现困难，此种情况下如何培养学生使用图式的能力呢？

基于教材分析和学情分析我们最终把教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）在使用图式解释算理的过程中，学生会遇到哪些困难？如何发现？

（2）如何指导学生修正调整图式，培养学生使用图式的能力？

教学目标

通过借助图形，直观理解异分母分数加法的算理，使学生感受到用图式说明的方法能直观表达抽象的算理形成表象，培养学生几何直观能力。在交流时能条理清晰地阐述自己的观点，并从中获得成功的体验及感受几何直观的意义及价值。

基本设计思路

在探究异分母分数加法计算方法及算理的过程中，学生利用画图解决问题。在展示学生资源，理解为什么要统一单位时，教师有层次地进行图式指导、示范，学生学习使用图式解决问题。

片段回放

片段一：展示学生的图式，暴露学生使用图式描述问题的困难

(1)

师：请看这位同学画的图，使用了线段图来表示可以吗？

生：可以。但是这幅图的，它们的单位“1”不一样，而题目中纸张占“生活垃圾”的，废金属占“生活垃圾”的，所以它们的单位“1”应该是相同的。

师：你审题时分析得很准确！那我们在画图时要注意什么呢？

生：画图时要先认真审题，看清每个条件是什么意思，才能画准确。

师示范：在学生的作品上进行调整。

(2)

师：这幅图与上一幅图比较，你看出什么了？

生：这幅图单位“1”统一了，一眼就能看出分数单位不一样长。

师：是的，用线段图的方式明确描述了它们的分数单位确实不相同，。还有其他问题吗？

生：这幅图没有解释清楚最终的结果是多少。从图中也没有看出来。

师：是呀，从两幅图中能看出结果吗？观察中间是什么符号？表示什么关系？

生：加法是把两部分合并在一起，那应该把两幅图并成一幅图。

师：说得好。画图不仅要表示出数量，还要表示出数量之间的关系。

片段二：捕捉学生的资源，引导学生调整、改进图式

师：是呀，要说明怎么计算，除了分数的大小还要把加法运算的关系表达出来，请大家修改一下吧。

师：这幅图能解释清楚吗？

生1：他把画在了同一条线段上，表示了它们相加的关系。

师：我想采访画图的人，你把挪上去，是随便画的吗？

生2：不是。我先看看相当于10份中的几份，是2.5份，所以画出。

师：听了他的话，你有什么想法？

生3：我觉得画图要有根据，不能随便画，包括移动，也不能改变数的大小。

师：是的，回到这幅图，从图中明显地看出，把的大小转化成以为标准的话，应该是两个半线段这么长。（教师用手势表示）

师：现在这幅图是不是就说清通分的道理了？

生4：我觉得还没有交代清楚。最后的结果是多少呢？还有这里出现了半个线段。

师：发现了新的问题。这半个线段如何解决呢？

学生没有回应。

师：回忆一下我们以前在学习分数的意义时，是把一个整体平均分成若干份，取其中的几份，且必须是相同的若干份。这回你们有感觉了吗？

生5：我知道了，可以把的分数单位再细分成2份，把转化成，把也转化成分母是20的分数，即，这时候两个分数都转化成分母是20的分数，就可以直接相加了，最后的结果是。

师小结：通过同学们的互相补充，我们从图上清楚地看出分母不同的分数，由于分的份数不同，单位是不同的，因此不能直接相加。分母不同的分数要想相加的话，就要找到它们的最小公倍数，它们的分数单位统一了，这样才能相加。

师播放课件，示范动态图式。

深度思考

本课中的这些教学片段都是围绕既定的两个关键小问题设计和实施的，而且都在一定程度上达到了既定的效果。

从学生画的图上看出，在描述时出现了不相等的现象，片段一中教师在组织学生对不同图式进行评价时，有意识地关注学生想法，组织研讨，以此帮助学生更好地使用图式描述问题。在片段二中营造对比的方式组织学生评价、引发思辨，教师通过及时引导、评价、小结等活动，指导学生学习如何描述数据与运算关系，以及解决为什么要通分的问题。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）收集图式，暴露困难。

课上教师给予学生充足的时间使用图式，让学生能够大胆尝试，敢于尝试画图，在巡视中教师发现学生在选择图形、描述问题过程中出现了三个困难：（1）对两个分数的单位“1”是相同的理解不够深刻，在描述时出现了不相等的现象。（2）没有描述出两个分数相加的运算关系，图式是割裂开的。（3）没有在图式中体现出计算结果需要统一的、新的分数单位，即算理。

（2）交流互动，教师提示。

在展示学生作品的环节，教师有意识地、由浅入深地暴露学生在使用图式时描述问题的困难，根据学生使用图式的水平有梯度地分层，为有效指导学生做好充分的准备。在交流研讨中帮助学生更好地使用图式，并且针对困难教师指导“怎样画表示得更清晰”，“突出为什么这样画”，扫清了学生使用时的障碍，引导学生体会审题、正确描述问题的重要性。

（3）对比、评价、修正，示范图式。

教师对学生的图式有意识地开展对比与辨析，在调整与改进中使学生体验到在度量中产生统一的分数单位的重要性。教师有意识、有层次地展示学生的图式，学生通过观察自主发现在使用图式分析问题时出现的错误与问题，经过生生评价和师生评价不断修改调整，学生在图式中观察发现，进一步在图上进行尝试、反思、调整，再平均分，使两个分数的分数单位得到统一，从而得出结果，突出了统一计数单位的必要性。最后教师示范表达准确完整的图式，帮助学生梳理思路，理解算理。学生的思维经验必须依赖于丰富有效的数学活动，在使用图式的过程中，学生体验到了在度量中产生统一的分数单位的重要性。

通过学生课堂反馈可以看出在该问题的解决中，学生表现出一定的画图技巧，从后测看出，100%的学生能够利用直观图形来描述算式，表达出抽象的算理，教学效果明显。在教学中教师要鼓励学生用图式表达，能画图时尽量给学生时间画图，营造把问题“图形化”的机会，在教师有意识的指导下，学生才能不断积累经验，发展几何直观能力。

（案例撰写人：北京市朝阳区白家庄小学　冯秀联　吴梅）

案例ZG-6-2：《从实际问题出发，为使用图式插上想象的翅膀》（《分数的加法和减法》，五年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在高年级解决问题的教学中培养学生使用图式的能力”。

教学内容分析

本案例的教学内容是人教版小学数学五年级下册第六单元《分数的加法和减法》，教材通过喝牛奶问题呈现了解决问题的一般步骤。首先，通过摘录相关信息，渗透理解题意的方法。接下来，展现学生分析、思考的过程，突出解决这一问题的思维关键点，同时突出借助图式描述、解决问题的策略，帮助学生直观分析、理解。最后，引导学生进行回顾、反思和检验。

关于“半杯牛奶的一半”这个问题，出现了两个单位“1”，教材呈现了图式帮助学生分析、理解数量关系，这也是本案例着重研究的问题。需要教师培养学生使用图式分析数量关系和解决问题的能力，同时也为后面理解分数乘法的意义和解决问题积累一定的方法和经验。

学情分析

前测题目：一条绳子，第一次用去全长的，第二次用去剩下的，这时剩下的绳子是原来绳子长度的几分之几？

调研总人数：10人。

分析如下表所示：

续表

从前测可以看出，对于抽象问题，学生很难直接给出正确答案，而是要依靠其他方法帮助描述和分析问题。

计算错误的7人访谈显示：

（1）2人努力尝试画线段图，但在描述时遇到问题。

（2）5人尝试画线段图，虽然画出了线段图，但在解决问题时并没有根据图式正确分析和使用。

结合前测内容的分析，有同学想到画图的方法，但是不知道怎么使用图式来表示“第二次用去剩下的”。有的同学会使用图式描述问题，但在使用图式解决时出现困难。教师在面对此教学内容时，多为解决问题而教学，往往忽略在教学时使用图式。如何在解决问题的教学中培养学生使用图式的能力呢？

基于教材分析和学情分析，把教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）在使用图式描述问题的过程中，学生会遇到哪些困难？

（2）在使用图式描述、分析问题的过程中，如何指导学生修正和调整图式？

教学目标

学生通过提取信息，整合问题，经历描述、分析、解决的过程，掌握用图式描述问题、分析问题，体会几何直观能够直观理解、分析数学问题的作用。体会借助几何直观把复杂的数学问题变得简明、形象。

基本设计思路

根据生活中的实际问题，让学生从生活中提取数学信息，描述整合，初步用图式抽象成数学问题。经历分析问题的过程，学生利用画图、语言表征等方式，明确数量关系。通过全班的交流，让学生感受用几何直观的方法能够更好地分析问题。

片段回放

片段一：暴露学生使用图式描述问题的困难，教师提示引导

出示题目：有一杯纯牛奶，他喝了一半，觉得有些凉，就兑满了水，然后又喝了半杯，他一共喝了多少杯纯牛奶？

图1

图2

图3

师：同学们请看这三幅图，你们有什么想说的？

生1：第一幅图没有画完。第二幅图加水后跟没加时画的是一样的，水在哪儿呢？

师引导：第二幅图第一杯用绿色表示纯牛奶，第三杯加入水后还用绿色表示，这让大家看不出有什么变化，误以为仍是一杯纯牛奶，这样不符合题意。第一幅图一样没画出来的同学是不是也遇到了同样的困难呢？

生2：是的，因为奶和水混在一起，没办法分。

师提示：奶和水混在一起分不开，怎么在图中表示呢？要是像绳子那样的固体就好了，我们就能清楚地从图中直观地看到哪里是纯牛奶，哪里是水。液体怎么办？我们在画图时能不能多一些想象呢？

生3：对呀，如果想象成固体，就能看出是纯牛奶和水的混合物了，但第三幅图兑水后把水全喝了而纯牛奶还在，这不可能，应该既喝到水也喝到纯牛奶了。

师引导：这位同学把纯牛奶和水分开画，描述出了混合的意思，非常直观。虽然实际生活中不存在这样的形态，但我们可以将之想象成固态。可是再次喝时，应该喝到的仍旧是水和纯牛奶的混合物，看来这是喝牛奶问题的难点，该怎么画呢？

片段二：学生分享，交流评价，调整图式

图4

图5

师：我们一起看看这些修改过的图吧！

生1：（图4）我刚才听明白了，所以改成纯牛奶和水分开画，再次喝时就从中间插一个吸管喝。

生2：你的图第一步我看明白了，那第二步为什么要从中间插吸管喝？中间喝空了？液体会掉下来。

生1：想象成固体，从中间喝，这样既能喝到纯奶，也能喝到水。

师指导：从中间喝就是为了把纯牛奶、水的混合物分开建立模型，分别研究各自的一半，多有想象力！答案就从图中直观地看出来了。

师：图5分开建立模型的图式大家看明白了吗？

生3：明白了，是用不同颜色区分纯牛奶和水。

师小结：看来，大家把真实的生活问题抽象成了数学问题，用图式描述问题的时候把纯牛奶和水分开画，这样才能更便于我们分析、理解它们的关系，顺利地解决问题。现在你们会修正调整自己的图式了吗？

生4：会了，我会把纯牛奶和水分开画，想象成固体，再从中间喝。

深度思考

本案例的核心任务是培养学生使用图式的能力。

片段一中，教师在课堂巡视中力求发现并收集学生使用图式描述问题的困难，在收集全班问题后，发现大致分为两类：一类是使用图式描述问题时缺乏技巧，学生不会用图式描述液体变化。另一类是对数学概念的理解错误，喝牛奶的过程应该以纯牛奶或纯牛奶与水的混合物为单位“1”，学生对谁是被平均分的物体认识模糊，导致使用图式描述问题出现错误。

片段二中，教师在指导使用图式描述、分析问题的过程中，让学生在修正和调整图式时插上想象的翅膀，大胆地把液体想象成固体进而修改图式，使图式变得更加直观；在描述以纯牛奶与水的混合物为单位“1”喝其一半的时候，教师采用交流分享、互动评价的方法帮助学生突破难点，学会调整图式。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）适当提示，解决难点。

本案例中教师给了学生充分的时间理解题目，让学生在想象的天地里把生活中的真实问题用图式描述出来。当教师在巡视中发现学生普遍在同一地方遇到困难时，适当地做出提示。教师提示学生把液体的纯牛奶与水的混合物想象成固体画出图式进行描述；在喝纯牛奶与水的混合物时可以分别建立纯牛奶和水的模型；从直观图式中分析纯牛奶与水的混合物的一半是指纯牛奶的一半和水的一半。教师的适当提示帮助学生突破了使用图式描述问题的难点。

（2）交流分享，互动评价。

在交流生成资源的环节，教师有意识地由易到难地暴露学生使用图式描述问题的困难，先暴露“喝纯牛奶、兑水、喝纯牛奶”的图式，用图式的感性直观特点来描述问题。再通过学生分享，展示从“中间喝”“混着喝”“用吸管”“想象成固体”“不同颜色区分”等图式，进一步通过交流讨论把纯牛奶和水的模型分开建立。

教师根据学生使用图式的水平有层次地评价，逐步引导学生通过辨析、对话、补充来自主地发现在使用图式描述、分析问题时出现的错误与问题，通过反思、修正、调整自己的图式，最终解决问题。从课堂反馈可以看出，由于抓住了培养学生使用图式描述、分析问题这一关键点，学生借助图形这一替代物，让思维困惑点直观化，教师因势利导，通过有效的教学方法，使关键问题得到解决，学生使用图式解决问题的能力得到发展。

（案例撰写人：北京市朝阳区白家庄小学　纪圆北　吴梅）

本部分提出了三个教学关键问题，六个案例。通过学习，您认为这三个问题是否为培养直观想象素养的教学关键问题？还有哪些问题应该是培养直观想象素养的小学数学教学关键问题？六个案例分别给您带来哪些启发？如果请您选择一个案例执教，您会选择哪个？会做哪些调整？调整的依据和思考是什么？