培养学生解释图式能力的数学教学方法

1.解释图式能力在数的运算教学中具有重要意义

解释图式能力就是学生能够根据给出的各图式来理解题意，也就是教师常说的读图能力或识图能力。它包括从图中收集有用的信息，分析其内部数量关系的联系并处理这些条件的能力。它是学生对给出的图式进行解释、加工的过程。因为学生首先看到一幅图，会将眼前的图式进行一个整体宏观的初步感知，赋予自己的理解在里面。在这一基础上，再融合对数学知识的理解和数学经验的运用，最终从多个角度共同将图式进行分析。学生对图式的理解程度决定了学生对此类数学问题的理解程度。

数的运算是数学的重要内容，分布在各个学段中，占有较大比重，是学习数学、应用数学的根基。因此开展好数的运算教学，以此发展学生的数学素养具有重要的意义与价值。运算法则、定律具有抽象性，学生在学习过程中不能依赖死记硬背，应以理解“为什么是这样的”为基础，掌握运算法则、定律。而形象、直观的图式是帮助学生理解的最好方式。

学生学习如何读懂、解释图式蕴含的信息，将为以后使用图式描述问题、解决问题打下坚实的基础。因为解释图式和使用图式的过程是互逆的，因此学生具有较强的解释图式能力有助于他（她）在使用图式时很好地发挥，使直观图式真正起到辅助思维的作用。

2.学生解释图式能力亟须提高

小学数学教材中数的运算内容是基础，解决问题往往离不开数的运算。在运算教学中必须培养学生的运算能力，它不仅仅是指能够根据法则进行正确运算，还包括理解算理。这往往通过学生是否能正确解释图式表现出来。学业水平监测结果反映出学生在计算教学中解释图式能力需要加强。

题1：右图是小明在计算14×12时的思路，能正确表达小明的思路的算式是（　）。

A.14×10=140　　14×2=28　　140+28=168

B.12×10=120　　12×2=24　　120+24=144

C.12×10=120　　14×2=28　　120+28=148

题2：

第一题错误率达10.3%，第2题错误率达27.5%，而竖式计算的正确率达100%。可见在学习时，学生对算法掌握得不错，而对读懂图式解释算理的能力不足。在其他年级的计算教学中，也存在算理不清导致的计算错误。如四年级小数计算：1.15+0.5=1.2、0.3×0.2=0.6、0.9÷0.3=0.3，六年级异分母分数加减法，此问题反映出学生没有读懂图，从图中没有发现有用的信息，把数与形结合起来分析问题，因此很难把握问题的本质。可见学生的解释图式的能力亟待提高。

3.教师在培养学生解释图式能力的过程中还普遍存在问题

我们通过参加教研活动发现，老师上完计算课经常反映对学生利用图形理解算理环节不满意，学生总是不能把数与形结合在一起理解、分析问题；在运用定律解决问题时，总是有学生因分辨不清而用错定律；在解决问题时有些学生不能从图中获取分析数量关系的信息，导致不能选择正确的方法列式；等等。这些“不理想”都困惑着教师们。

究其原因，首先是教师对几何直观能力的重要意义、价值缺乏深入的学习与认识。我们对北京朝阳区的5所学校进行校本教研抽样调研，发现在这5所学校的校本教研中，对如何培养学生几何直观能力几乎没有开展有益的、有梯度的专题研究。因此老师们在认识上存在较大的局限性。

这种局限性使教师忽视教材中解释图式的教学，因此学生无从掌握识图方法并积累经验，对图式中蕴含的丰富信息或不理解或有遗漏，进而影响学生进一步利用图形描述问题、解决问题。可见教师引导学生学会从“数”与“形”两个角度认识数学显然是有所欠缺的。

其次是教师替代学生解释图式，过度示范讲解，剥夺了本应属于学生的发现、理解、分析图式的机会。反观数的运算教学，教材中呈现了用画图、操作等活动插图展现算理，老师会据此设计这样的课堂教学活动——让学生画一画、摆一摆来探究算法，但当学生难以在规定时间内自行完成时，老师就会用自己示范操作、讲解代替。而学生听过老师的讲解就罢了，至于为什么会这样解释，怎么看出来的，针对解释图式的方法方面没有任何收获。这源于教师不会或是忽视去指导学生学习怎样观察图式，如何获取图中描述的直接信息、分析背后的隐含信息。

最后是教师创造几何直观的应用素材不够。在小学运算教学中，运用运算定律进行简算是培养学生运算能力的途径。虽然教材尽量把抽象的定律用学生易于理解的方式呈现出来，但有的定律对于小学生来说仍难以理解，如乘法结合律和乘法分配律。教材没有呈现数形结合的图式帮助学生理解运算定律，老师也挖掘不出几何直观因素，因此学生的难点问题只能靠理解单一、抽象的意义的途径加上大量的练习来解决。

小学生对数学对象“数与形”的认识还是只停留在表面，单独对某种数学对象进行分析还可以，若把两者结合起来还需要经过一定的符号语言与图形语言转化的训练。因此需要教师根据教学内容多教研、开发出数形结合的方式来丰富学生的数学思维，感受学习数学的乐趣，增加学生解释图式的机会。而在平时的教学中，教师在此方面的考虑、准备是不足的。

以上突出的问题留给我们较大的研究空间。聚焦数的运算教学，如何有效帮助学生观察、发现、理解图式蕴含丰富的信息，因而确定了教学关键问题：如何在数的运算教学中培养学生解释图式的能力？

案例ZG-5-1：《体会图式蕴含丰富信息，解释图式游刃有余》（《两位数加减法》，二年级）

本案例着重研究的关键问题是“如何在数的运算教学中培养学生解释图式的能力”。

教学内容分析

数的运算主要是指整数的加、减、乘、除运算。图式主要指小棒图。

解释图式的能力主要是指能够根据给出的图式来理解题意，也就是读图、识图的能力。它包括从图中观察、分析、理解信息，分析内部数量关系之间的联系，并处理这些条件，将图式转化为数学语言。

本案例的研究借助小学数学教材二年级上册《100以内的加法和减法（二）》单元的两个例题——“14+28”和“51-36”进行阐释，这部分内容是学生后续学习计算的基础。这两个例题的呈现都借助了小棒图让学生直观地理解算理。反过来，学生需要能将直观的小棒图抽象化，抽象为数学符号语言。加、减法的小棒图都蕴含着丰富的信息，便于培养学生解释图式的能力。学生首先需要清楚图中每部分的含义，进而明确图中各部分数量之间的运算关系，从而将图式转化为符号语言或文字语言。

学情分析

学生有摆小棒的亲身体验，给出竖式，能够根据算法和算理一步一步操作。而把学生摆小棒的过程呈现在一张静态的图上，让学生根据图去理解算理和算法，学生能否将图式解释清楚呢？在此采用问卷调查的方式，对二年级某班的36名同学进行调查。

调研题目如图所示：

调研结果如下表所示：

结果分析：很多学生对解释进位加法和退位减法的小棒图存在很大困难。虽然在教学时，学生看了教师演示，并模仿了，能够把操作过程弄明白，但当把直观动作化的过程展示在一张图上时，学生就不能理解图中蕴含的数量信息。因此让学生理解小棒图中每个组成部分的含义，明确内部数量之间的关系，用算式这种符号语言来解释完整的小棒图是本案例的关键，这恰恰也是培养学生解释图式能力的好时机。

基于此，将教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）怎样才能使学生理解图式中蕴含的直接数据信息，准确捕捉数据？

（2）怎样才能使学生明确图式中各个数量之间隐含的运算关系，做出准确解释？

教学目标

通过画图记录操作小棒的动作，画出表示两位数加减法的小棒图；了解图中各符号的含义，理解运算关系，能够读懂图中表达的核心算理，正确地用算式进行解释；借助看小棒图列竖式的练习，体会到图式蕴含的丰富信息，培养学生解释图式的能力。

基本设计思路

认识小棒图，清楚图中每一部分代表的数量，理解计数单位的转化；在小棒图中，理解进位加法和退位减法的呈现形式，表达数量之间的运算关系。

片段回放

片段一：用画小棒图的方式画出老师示范的动作

师：请你用最简单的线条，从数学角度把我的动作（拿出10根分开的小棒）画出来。

生：

师：再观察，我做的动作和你画的一样吗？

生：

师：他画的这些小棒可以用几个几来表示？

生1：1个十。

生2：10个一。

师：观点不一致了，继续看（用一根皮筋把10根小棒捆成了一捆）。

生：

师：这又能表示什么呢？

生（齐说）：1个十。

师：那刚才的图，用几个几表示更符合图意？

生：10个一。

师：（把皮筋松开放在10根散开小棒的中间部位）你能画出来吗？

生：

师：那它又在数学中表示什么呢？

生：10个一。

师：请大家回忆，在学什么法时需要把10根单根的小棒捆在一起？

生（齐说）：进位加法。

师：当个位满十需要向十位进一时，是这样表达的。那什么时候又需要把这一捆小棒松开呢？

生（齐说）：退位减法。

生（补充）：退一当十。

片段二：分步画出表示14+28的小棒图，体会加法小棒图中各部分的含义

师：请你们借助小棒用最简单的方式画出14。

（生板演）

师：说说你是怎么想的？

师（指导）：1捆小棒代表1个十，4根小棒代表4个一，合起来就是14。

师：在下面画出28。（强调在第2行画）

（生板演）

师：谁来说说你是怎么想的？

生：1捆小棒代表1个十，2捆小棒代表2个十，8根小棒代表8个一，合起来就是28。

师：（用虚线圈起14中的4和28中的6，用箭头指向1捆小棒）谁看懂了？

生：满十进一。

师：这是什么法？

生：进位加法。

师：“加”体现在哪儿？

（生指着虚线圈起来的部分变成了一捆）

师：谁能列出算式？

生：14+28=42

师：你能在图中指出和是多少吗？

生：（边指边说）和是把这4捆、2根合在一起。

师：那虚线部分的小棒呢？

生：都捆成一捆了。

师：那还在吗？

师（强调）：虚线框起来的部分表示没了，不存在了。

片段三：对比观察小棒图，体会减法小棒图中各部分的含义

师：（出示图）观察这幅图，跟刚才那幅图一样吗？这回怎么这么多虚线呢？

生：减去了。

师：你怎么判断是减去了？

生：虚线代表减。

师：还可以从哪儿看出来？

生：退一当十。

师：你怎么知道的？

生：（指向拆开的10根小棒）把这一捆给拆开了。

师追问：你怎么知道拆开了？

生：这个皮筋被松开了。

师：（指着拆开的10根小棒）打开了就叫退一当十，所以肯定是什么法？

生：减法。

师：那到底是几减几？

生：51-36。

师：怎么看出来的？

生：上面这是51，下面先减去了30，后减去了6根，所以是51-36。

师：你们还有疑问吗？

师：老师有个疑问，刚才也有虚线（指着表示14+28的图），为什么是加法？

生：我认为虚线表示的是不存在，而不是减法的意思。刚才就是把10个一根捆成了1捆，所以10个一根没了，虚线框表示这部分没有了。这幅图中虚线圈起来的部分也表示没有了，没有了在这里是减去的意思。

深度思考

本案例的核心任务是解决“如何在数的运算教学中培养学生解释图式的能力”。通过内容分析和学情分析，将教学关键问题解构出两个小问题，确实是解释图式的关键点。通过本课的学习也确实达到了既定的效果。

片段一用画小棒图的方式让学生画出老师示范的动作，从而理解“满十进一”“退一当十”小棒图的呈现状态，从而理解运算符号；片段二让学生分步画出表示14+28的小棒图，体会加法小棒图中各部分的含义；片段三让学生对比加法的小棒图，体会减法小棒图中各部分的含义，区分减法与加法。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）让学生进行动作语言和图形语言的相互转换。

小棒图信息量大，采取让学生把老师的动作画出来的方法，把动作语言转化为图形语言。教师的两个动作“把10根小棒捆成了一捆/把小棒拆开把皮筋放在旁边”分别让学生画出来，并理解这两个动作分别表示“10个一是1个十”，将“1个十”拆成了“10个一”，并监控学生画的图，与小棒图一致。反过来，让学生在读图时联想拆、捆小棒的动作，把图形语言转化为动作语言，从而理解图式中符号的含义。

（2）把图式分解为表示数量、运算关系两部分，分层观察、理解、解释。

运算图式中包含了两个部分——数量和运算关系，教师将图式分解为这两部分，逐一让学生观察、理解和解释。首先从运算关系的角度来解释图式，教师抛出两个问题：“请大家回忆，在学什么法时需要把10根单根的小棒捆在一起？”“那什么时候又需要把这一捆小棒松开呢？”让学生清楚地知道在做加法“满十进一”时需要把10根散的小棒捆成一捆，做减法“退一当十”时要把一捆小棒拆开。然后从数量的角度使学生了解小棒图中横向描述数据的一般格式。

（3）设计问题串，进行强化。

正是前面有了把图分步来看的经验，接下来教师就直接呈现给学生减法示意图，借助问题串的形式：“你怎么判断是减去了？”“还可以从哪儿看出来？”等，让学生不断从图中获取运算关系的信息，解释算理。对于学生回答的虚线框表示减法的想法，老师没有给予否定，而是在后面进行辨析，“那老师有个疑问，刚才也有虚线，为什么是加法？”引发学生思辨，进一步明确虚线这个符号表示的特定含义，从而详细、准确地解释小棒图。

（案例撰写人：北京市朝阳区白家庄小学　季阔　吴梅）

案例ZG-5-2：《多角度观察、解释图式，发现规律》（《乘法分配律》，四年级）

本案例要解决的关键问题是“如何在数的运算教学中培养学生解释图式的能力”。

教学内容分析

学生对抽象数学运算定律的理解是建立在充分感知的基础上的，用抽象的乘法意义理解算式抽象的相等关系是比较难的。乘法分配律是在学生掌握了加法交换律、结合律及乘法交换律、结合律的基础上学习的。学生在应用乘法分配律的过程中易与乘法结合律混淆。借助数形结合，不仅能够帮助学生多角度理解定律，更是培养学生几何素养的好时机。

学情分析

两位数乘两位数的笔算，就是依据乘法分配律原理而构建的笔算步骤。基于以上分析，笔者围绕教学关键问题对学生进行了课前调研。

题目1：笔算下列各题。

13×26=　　24×15=

调研人数：15人。

调研结果：学生解题的正确率达到100%，可见两位数乘两位数笔算的算法，学生掌握得很好。

题目2：竖式中的4，在图中表示（　）部分。

调研人数：15人。

调研结果：

调研分析

学生用语言表达算理时没有问题，但在图中理解信息、准确表达方面还存在很大的困难。这是因为学生对算式的表象停留在情境图中，而没有与几何图形建立联系。二年级学生通过情境图学习乘法的意义，抽象出乘法算式。到了三年级他们学习了长方形、正方形的面积计算，知道求面积用乘法。但不能把抽象的乘法算式想象成用面积单位测量矩形的过程，没有在头脑中建立面积模型，可见学生解释图式的能力还需提升。如何提升学生在运算教学中解释图式的能力，突破难点，建立模型思想呢？

综合以上分析，把教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）在解释图式的过程中，学生会遇到哪些问题？

（2）如何解决这些问题以培养学生解释图式的能力？

教学目标

通过用口头语言、符号语言解释三个具有面积模型特点的情境图，引导学生经历观察、计算、交流、归纳等数学活动，从几何直观的角度发现、概括乘法分配律。在图形语言与抽象符号语言的转换中，培养学生解释图式的能力，发展几何直观核心素养。

基本设计思路

借助面积模型，总结乘法分配律，在数与形结合过程中加深对规律的理解，以此培养学生解释图式的能力。

片段回放

片段一：创设丰富的问题情境引导学生多角度地思考问题

(1)

师：一共有多少朵花？会列式吗？

师追问：不用计算，你能判断两个不同的算式结果相等吗？请你根据算式指着图解释一下。

生1：6×4+3×4就是红花一行有6朵，有这样的4行，就是4个6；黄花一行有3朵，有这样的4行，就是4个3，加起来就是一共有多少朵花；（6+3）×4就是一行合起来有9朵花，有4行，就是4个9。4个6加上4个3就是4个9，都是求这些花一共有几朵，所以结果肯定相同。

生2：我还可以竖着看图，4个为一份，红花有6个4，黄花有3个4，合起来就是9个4，右边的式子6+3=9也表示9个4，所以它们的结果是一样的。

师小结：（指图）你们有的横着观察，有的竖着观察，从中发现数量关系，用乘法意义理解这两个不同的算式，结果是一样的。

（2）25×18不用竖式计算，你能快速口算出右图一共有多少个小正方形吗？在图中圈出你的思路并列式。

生1：（指图）我把18行分成两部分，一部分是10行，另一部分是8行。10行是250个，8行是200个，一共是450个。列式是25×10+25×8=450。

师追问：你能用乘法意义把图中的数量关系解释清楚吗？

生1：（指图）这是18个25，这是10个25，这是8个25。

师：你是把18个25拆成了10个25加上8个25进行口算的，对吗？（指图）也就是先把18拆成了10+8，可以这样列式吗？25×（10+8）两个算式相等吗？

生1：相等。

生2：（指图）我把25个18拆成20个18，加上5个18进行口算，列式为18×20+18×5=450，（指图）也就是先把25拆成20+5，列式为（20+5）×18，这两个算式是相等的。（板书）

师：他们俩都把方格图分成两部分，然后通过口算求出一共有多少个小正方形。通过读图，我们从不同角度说明了两个算式相等，真了不起。

（3）计算下面图形的总面积。

师：你能用不同方法求出图形总面积吗？它们相等吗？

生：①60×（80+10）；②60×80+60×10。它们是相等的。

师：面积公式为什么是长×宽？想象一下，你能用乘法意义来解释一下吗，比如80×60？

生：用1平方厘米的小正方形铺满整个长方形。长是80厘米，每行就有80个小正方形，宽是60厘米，就有这样的60行，也就是在求60个80是多少，所以长方形的面积用长×宽。

师：通过回忆和想象，我们头脑中又浮现出方格图。

片段二：对比、提炼乘法分配律的直观图形特征，用想象的方式提升学生解释图式的能力

师：观察三幅图你有什么发现？

生：（指图）它们都是由两个长方形组合在一起变成了一个大的长方形。红色长方形的长与黄色长方形的宽拼成了大长方形的长，红色长方形的宽和黄色长方形的长是一样的，变成了大长方形的宽。两个长方形的面积之和，等于大长方形的面积。

……

师：看到乘法分配律字母式（a+b）×c=a×c+b×c，你能想象出什么？

生：把一个大的长方形分成了两个小长方形。（a+b）×c表示最大长方形的面积，a×c+b×c表示两个小长方形的面积的和。大长方形的面积等于两个小长方形的面积的和。

深度思考

本案例的核心任务是培养学生解释图式的能力，它被分解为两个关键问题，案例活动中较好地解决了这两个问题。

片段一中教师创造性地使用教材，借助实物图、方格图、面积图让学生多角度观察和理解，以乘法意义为认知基础，运用口头语言、符号语言解释，建立起各种图与式之间的关系，从而得到算式的相等关系，为发现乘法分配律做好准备。

片段二中教师引导学生对三种图进行整体观察、发现共同点，建立直观面积模型。借助面积模型，提炼相等算式的共同特征，总结乘法分配律，在数与形结合的过程中加深对规律的理解。

在解释图式的过程中，学生会遇到以下问题：

（1）在解释图式过程中，学生依赖于图形原来呈现的状态，对图形的分割缺乏想象，不能多角度地思考问题。

（2）解释公式推导过程不清晰，不能做到准确表达。

（3）抽象与具体不能完美结合，在头脑中没有建立起模型思想。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）引导学生从不同方向、不同角度获取图式信息、理解数量关系。

为了解决学生依赖于图形原来呈现的状态，对图形的分割缺乏想象这一问题，在读图过程中，教师引导学生从不同的角度思考问题。帮助学生提炼，在读图的时候可以横着看，还可以竖着看。在处理第二幅图的时候，让学生在图中圈画自己的口算思路，从不同角度思考、拆分，把数赋予形，解释方格图，理解乘法分配律。这样不仅能让学生多角度、多方向获取信息，理解数量关系，还能让学生在解决问题的过程中自觉地优化解题途径，提高解释图式的能力。

（2）从乘法意义角度，用口头语言、符号语言解释图式。

为了解决学生对公式推导过程理解不清晰的问题，教师采用问题引领的方式，引导学生从乘法意义的角度去解释图的意思。比如第三幅图学生利用面积公式列出的算式，是为了把面积模型与乘法意义对接。引导学生像刚才那两幅图，用几个几来解释面积模型图，使面积推导过程再现。以形助数帮助学生理解问题的本质，抓住解决问题的核心，提高解释图式的能力。

（3）对比、提炼图式特征，见式思形，解释图式。

为了引导学生从数形结合的角度理解乘法分配律，教师让学生通过观察对比三组情境，借助多媒体课件发现三组算式都是大长方形面积等于两个小长方形面积的和这一规律。得出乘法分配律后，采用想象的方式，让学生根据看到的算式去想象图。这样乘法分配律的模型在学生头脑中已初步建立，巧妙地区分了乘法结合律和乘法分配律，突破了难点。

让学生时刻处于从现实到抽象，再从抽象到具体的过程中，有利于学生解释图式能力的提升和模型思想的建构。

（案例撰写人：北京市朝阳区白家庄小学　张新卓　吴梅）