小学数学教学关键问题研究：如何引导学生描述图形的运动和变化？

1.掌握描述图形的运动和变化是认识客观世界的重要途径

张奠宙先生曾经说过，小学数学中引入“图形的运动”有四个目的：第一，观察和认识现实世界里物体的平移、旋转、翻折等运动现象；第二，建立平面图形运动的几何框架；第三，了解图形在刚体运动的作用下大小、形状不变的性质；第四，会用平面图形的平移、旋转、轴对称做简单的应用。运动变化还是学生更好地认识图形的性质，展开空间推理的工具。例如，圆柱体可以看成由长方形绕其某一边旋转而成的。有了这样的视角，对于学生认识图形、发展空间观念具有深远的意义。

图形的运动既有运动方向上的，也有形式上的（平移、旋转、翻折、放大、缩小等）。图形形式上的运动是几何学习的重要组成部分；儿童经历这些活动会为他们理解全等、相似、对称和其他的几何关系提供最自然的方法。低年级的儿童对于具体物体的翻折、平移、旋转具有大量的经验。教师可以让学生通过做拼图游戏或者借助计算机完成拼图，这样的方式能够很自然地利用儿童的经验学习图形在形式上的运动，也会让学生领悟变换的思想。高年级的学生应该能够想象图形运动后会怎么样，能运用正式的术语和步骤判断图形的形式运动的结果。归结起来，小学生学习平面图形运动的意义，主要体现在三方面：一是将生活中的图形运动提升为数学概念；二是在数学上为平面几何的学习积累基本的数学活动经验；三是利用运动不变性研究图形的性质，为以后更深入地研究图形的运动奠定基础。

2.准确描述图形的运动和变化是学生发展的难点之一

看似简单的图形运动和变化从直观辨认来说相对容易，但是如果想准确描述图形的运动和变化，对于学生来说是有一定难度的。为准确了解学生情况，我们对学生进行了前测。

前测题目1：右图是一个笑脸拼图被打乱了，你能利用平移和旋转的知识将它还原吗？请写出具体的步骤。

前测题目2：下面的方法中，能够用一个长方形变为一个圆柱的有（　）。

A.平移　　B.旋转　　C.翻折　　D.围

前测结果及分析：

题目1主要考查学生描述图形平移和旋转运动的能力，学生需要通过语言描述变化情况来作答。下表是测试结果：

从上表我们可以看出，学生在准确描述图形的运动和变化方面还是存在一定困难的。访谈后发现这里面有部分学生空间观念弱，有部分学生虽知道怎样移动但不会用数学语言表达。同时我们还发现，平移的变化大部分学生能够描述出来，但需要旋转的时候有学生会漏掉，另外，部分学生直接在图上补画成笑脸模样，没有理解清楚题意。说明学生“描述图形的运动与变化”的能力需要加强。

题目2是一道多选题，意在考查学生是否具备从运动的角度认识图形的意识。前测结果如下：

解答正确率

各选项分布情况

从解答正确率来看，只有9.5%的学生能够选出围和旋转这两种方法得到圆柱体。从各选项分布情况来看，之所以错误率这么高，主要是学生没有想到可以通过旋转的方式得到圆柱体。缺少从图形运动的角度认识图形的意识。所以学生在学习图形运动和变化的过程中，需要积累这样的经验，为从动态的角度认识图形奠定基础。

3.教师对于图形运动和变化教学的认识不足

“图形的运动”主要包括图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转和图形的相似这四部分内容。学生学习这部分内容的价值主要有两方面：第一，现实生活中存在大量的图形变换现象，教学中希望提供给学生一种数学眼光，去认识和把握这些现象；第二，体会变换对刻画图形的价值，这提供了动态研究图形的新角度。

这类“形式活泼”的内容，常受到教师们的青睐。一方面，课堂气氛热热闹闹，不必担心“冷场”；另一方面，不必担心自己“教师占主体”的旧观念被发现，貌似是做课内容的上乘之选。可是有经验的教师们都知道，这部分内容的教学“上起来好玩，讲起来易错”，尤其是面对学生们提出的各种问题时，稍不留神，就很容易出现科学性错误，可谓“伤于无形”。

如在《轴对称》的教学过程中，许多老师都愿意出现天安门的图片，让学生感受对称现象。但是在教学中，许多教师在表达的时候，稍不注意就表达为“天安门是轴对称图形”。老师的意图是好的，但是表达的时候言语方式出现了不科学的现象。天安门是关于中轴面对称的立体建筑。而轴对称图形，只能是平面图形。这样的“口误”不止于轴对称图形的教学。再如，学习轴对称图形的时候，有的老师呈现了“镜子里的图形”这样的资源。其实这并不是轴对称图形，因为初始的图形和镜子里的图形不在同一个平面内。其中有一个女孩子照镜子，完全是在两个不同的平面上，和轴对称相去甚远。这些问题都源于教师对图形运动与变化本质的不理解。

基于以上思考，将如何在“图形的运动”教学中引导学生描述图形的运动和变化作为一个教学关键问题。

案例ZG-3-1：《实践感悟　提供空间》（《认识旋转》，二年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在‘图形的运动’教学中引导学生描述图形的运动和变化”。

教学内容分析

运动是世间万物的基本特征，是物质存在的基本形式。在现实生活中可以看到大量的运动现象，而在义务教育阶段的数学课程内容中，图形的运动有两种最基本的形式：一种是形状和大小不变，仅仅发生位置变化的图形运动（合同运动），这是学生在第一学段学习的内容；另一种是形状不变而大小变化的图形运动（相似运动），这是学生在第二学段学习的内容。学生在本单元所要学习的主要内容包括：直观认识轴对称图形，理解图形的平移，初步认识旋转，解决问题。

对于认识旋转这部分内容的要求较低，只要求学生从日常生活中的典型实例初步感受旋转运动的特点即可，并通过“做一做”玩陀螺的游戏体会点旋转的特点，但也只是直观感知。使学生逐步学会用数学的眼光观察现实生活中存在着大量的运动现象，感受数学与生活的联系；为今后学习抽象的图形的运用积累感性经验，发展几何直觉；为今后从图形运动的角度认识图形，理解度量作好铺垫；通过依据描述想象出图形的运动，逐步培养学生的空间想象能力。

学情分析

低年级的学生以具体形象思维为主，抽象逻辑思维在很大程度上仍然直接与感性经验相联系，具有很大成分的具体形象性。因此，空间想象能力和识别能力较差，但学生在日常生活中对平移和旋转的知识已经积累了一些感性经验。二年级学生在生活中见到很多平移和旋转的运动现象，在他们的头脑中已有比较感性的平移和旋转意识，受生活经验的限制，对很多现象的判断还有些模糊，更无法想象，不能透过现象用数学的眼光来抓住运动方式的本质。

基于此，我们将教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）如何引导学生想象物体旋转的运动轨迹？

（2）如何引导学生外化对物体旋转的运动轨迹的想象？

教学目标

借助日常生活中的旋转现象，初步理解旋转，积累图形运动的想象经验。借助肢体动作、语言外化想象结果的过程发展学生的空间想象能力。

基本设计思路

通过给推拉窗户、大风车、转椅、直升机、电梯等生活情境分类的活动，积累图形运动的想象经验，引导学生想象运动过程，并通过肢体动作、语言进行外化描述。

片段回放

片段一：借助肢体动作，外化想象

课件出示：大风车、转椅和摩天轮图片。

师：让我们再来看看这些物体是怎样运动的。你可以伸出小手和它一起动一动。转椅是怎样动的？它绕着什么在动？你能来指一指吗？大风车呢？它绕着什么在动？摩天轮又是怎样转动的呢？

师：拿出你的大风车吹一吹，仔细观察大风车是怎样运动的。你能用手来比画一下它是怎么运动的吗？

师：闭上眼睛想象一下，这些运动有什么共同的特点吗？

生：大风车、转椅和摩天轮运动的时候都是绕着中间转圈圈。

生：它们有的这样正着转（右手顺时针转），有的这样反着转（右手逆时针转），不管怎么转，它们都是绕着中间转啊转的。

师：大家的感觉都特别好。正像大家说的这样，虽然它们有的正着转，和钟表指针转动的方向一致，在数学里称为顺时针旋转；有的反着转，和钟表指针转动的方向相反，数学里称为逆时针旋转，但是它们都能绕着中间的一个点转，这样的运动形式就叫作旋转。

片段二：描述运动轨迹，外化想象

师：刚才我们一起认识了旋转，咱们课下还制作了小陀螺呢，你们想不想玩一玩？拿出小陀螺，观察一下小陀螺上有什么？

生1：棍。

师：这个棍是干什么用的？

原来所有的点都会围着它转，它就是旋转的中心。

生2：点。

师：现在看起来它是一个小小的点，你能想象一下，运动起来，它会变成什么样子吗？

学生进行想象，交流想象的结果。

师：下面两人为一组玩一玩，玩的时候注意观察陀螺上的每个点转出的到底是什么图形呢？

师：说一说你看到了什么？

生：这些点转起来会连成线。

师：小小的点，转起来变成了线，线还连成了图形，多有意思啊！这里面隐藏着一个重要的科学知识，有兴趣的同学可以课下研究一下。

深度思考

本案例中，教师从关键问题的内涵出发，从培养空间观念核心素养的高度分析具体教学内容。所解构出的两个小问题，紧扣课标要求，确实是本课培养学生空间观念的关键点。

片段一的教学中，教师先让学生“看一看”身边物体运动的方式，通过视觉积累图形运动的经验。然后教师让学生“比一比”，将具体的物体运动过程抽象为物体运动的轨迹，突出了图形运动的特点，随后教师引导学生“想一想”“说一说”，引导学生将头脑中积累下来的图形运动方式通过语言、肢体动作等进行外化。由具体到抽象、由隐性到显性的过程，助力学生空间想象力的发展。

片段二的教学中，教师出示小陀螺，让学生想象陀螺盘面上的点，如果绕中心点旋转起来会形成怎样的图形。学生需要借助旋转特点的理解，在头脑中想象由静止的点到动态运动轨迹形成的图形，然后通过描述、交流将想象的结果进行外化。随后教师让学生旋转陀螺，验证之前的想象。面对旋转后的结果，学生会经历一个自我调整的过程，真实的旋转结果与想象的旋转结果的差异将助力学生不断调整空间想象的方法，助力空间想象力的提升。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）多元感知，描述轨迹。

教学中教师可以借助“多元感知”的方法，借助“看一看”“比一比”的方式，调用学生的视觉、触觉、知觉等多种感官，感受物体的运动轨迹。然后引导学生通过“比一比”“说一说”“画一画”等方式描述物体运动的轨迹，将头脑中的想象进行外化。不同形式的模仿、描述，有助于发展空间想象力。

（2）“想做交替”，提供空间。

教师还可以采用“想做交替”的方法，为学生提供想象物体运动的轨迹的空间。“先想”的要求可以为学生提供发展空间想象力的时间和空间。在想象的基础上提出“再做”的要求，达成借助直观帮助学生积累想象经验的目的。“再想”的要求为学生提供反思的空间，通过反思不断调整自己的想象过程，积累想象经验，促进空间想象力的发展。

（案例撰写人：北京明远教育书院实验小学　丁婷　陶文迪）

案例ZG-3-2：《动手实践　积累经验》（《认识轴对称》，二年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在‘图形的运动’教学中引导学生描述图形的运动和变化”。

教学内容分析

“轴对称”这部分内容属于“图形与几何”中“图形的运动”这一领域。在义务教育阶段人教版教材中分成三次进行学习。第一次是在二年级下册，教材首先让学生观察静态图，并借助剪纸的动手操作活动，整体感知轴对称的运动方式，使学生初步认识了轴对称图形。第二次是在四年级下册，通过观察、操作等活动进一步认识轴对称图形及对称轴，能在方格纸上画图去定量刻画轴对称图形的特征及轴对称的这种运动方式。第三次是在八年级上册，通过观察、操作引导学生概括出轴对称图形和两个图形呈轴对称的概念，探索它们的基本性质，并从运动的角度研究如何作轴对称图形。

本次是第二次学习，主要是对平移和轴对称图形的再认识，要求学生能在方格纸上画出简单的轴对称图形的对称轴及补全简单的轴对称图形。在观察、操作活动中，帮助学生积累图形运动经验，描述或画出图形的运动和变化，促使学生在探索和理解“运动”的过程中，认识图形之间的关系，发展学生的空间观念。

学情分析

剪纸对于学生来说并不陌生，通过第一学段以及其他学科的学习，学生已经积累了一定的剪纸经验。为了更客观、科学地了解学情，笔者设计了下面的调研问卷，对全班30位同学进行了调研。

调研题目：

像上面这样把一张纸连续对折三次，剪出来的是图案（　）。

A.

B.

C.

D.

E.

F.

用你喜欢的方式写出你的思考过程？

调研结果：

分析结果发现：全班30人中有13人做对了，17人做错。（很多学生首先想到的方式就是找纸撕）

在做对的13人里面有10人在解决问题时借助了对称轴和对称点，有3人没有任何借助对称轴和对称点的外化痕迹，也就是说全班只有10%的人，在没有任何外化痕迹的情况下把题做对，这样的数据说明单一的空想已经不足以支撑学生解决复杂图形的轴对称变换的问题了，需要借助对称轴、对称点来辅助学生的空间想象。

在做错的17人里面中有5人在解决问题时借助了对称轴、对称点但依然做错了，原因在于这5人中有2人的对称轴找错了，还有2人的轴找对了但对称点错了，剩下的1人比较特殊，第一步对称轴在垂直方向时，展开时正确，但是第二步对称轴斜着的时候就出现错误，这说明对称轴处于倾斜位置时，学生画轴对称图形是比较困难的。

另外还有12人仅仅停留在缺乏方法的空想阶段。没有任何外化的痕迹，所以做错了。

通过对学情的分析笔者发现：

（1）大部分学生在低年级时积累的感性经验已经不足以支撑他们后续的学习和思考。支撑不足的主要原因是学生没有在轴对称运动过程的这种想象中借助对称轴和对称点，这说明学生的知识技能达到了指定水平，但思维认识、能力上还没有达到这一水平。

（2）学生真正的困难点、思维的提升点是在没有方格纸的情况下，在折纸的操作中（轴对称的运动中）能够主动关联上轴对称的特征来辅助自己对运动过程的想象。

基于此，我们将教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）如何引导学生想象轴对称图形的运动轨迹？

（2）如何引导学生外化轴对称图形运动轨迹的想象？

目标分析

经历剪不同图案的过程，借助想象设计和讨论剪纸方案，根据已有知识对自己折、画、剪的操作过程进行必要的反思和调整，不断发展空间想象力。

基本设计思路

首先通过创设为四年级设计展报的活动，引导学生关注板报的花边。接着教师引导学生讨论花边的制作方法。在剪花边的活动中，引导学生借助想象进行交流、讨论、反思等系列活动，助力学生空间想象力的发展。

片段回放

片段一：想象图案，描述过程

师：如果让你们真的用彩纸剪，这回你们准备怎么做？小组内互相说说，然后用你喜欢的方式设计这个图案。

生1：我准备利用刚才剪完后的模型，把它放在彩纸上，用铅笔沿着边画一圈，这样就把这个图形拓在彩纸上了。纸上的图形肯定和那个模型一模一样。这个图形自己左右两边也完全一样。有了这个图案，我再用剪子沿线一剪就可以了。

生2：我觉得直接在白纸上把两边画得一模一样太难了。所以我想先在方格纸上画，这样可以参照着格子，比如画翅膀，左边有3个格那么宽，右边同样的位置我也要画那么宽，画完的图形就肯定是对称的。然后我再把格子上的图拓在彩纸上，最后一剪就行啦。

生3：我觉得前两种方法有点麻烦。反正这个图形剪出来得是轴对称图形，左右两边或者上下两边得是一样的，所以我想直接把这个纸对折一下，然后在纸上画出图形的一半。因为纸是对折的，所以我们剪的时候是一半，剪完打开就会是一个完整的轴对称图形啦。

师：同学们都说出了自己的想法，听完之后你受到了哪些启发呢？说说你的想法。

学生进行讨论。

……

片段二：描述方法，辩中想象

师：能不能一次剪出两只左右相连的蝴蝶？

师：你是怎么制作的？请其他同学边听边想，看看这些方法有什么相同点和不同点？

生1：将纸对折，在纸上直接画出蝴蝶的形状，然后再剪下来展开就是两只蝴蝶了。

生2：将纸对折两次，画出蝴蝶的一半然后剪下来，展开后就是两只完整的蝴蝶了。

师：两种方法有什么相同或不同吗？

生：一种是对折一次，剪一只完整的蝴蝶，另一种是对折两次，剪半只蝴蝶。

师：为什么对折一次需要剪一只完整的蝴蝶，而对折两次却需要剪半只蝴蝶？

生：一只完整的蝴蝶以这条折痕为对称轴展开一次就形成了这个图案。半只蝴蝶以这条折痕为对称轴展开一次后再以这条折痕为对称轴展开一次就形成了这个图案，先后展开了两次。

师：两种方法你觉得哪种方法更简捷、高效？

生：对折两次的方法更简捷。

师：为什么有的同学也是这么画的剪出来却是断开的？

生：这个同学在剪的时候不是以相连的这条边为轴。

师：看来无论是对折几次，以谁为轴剪很关键！

师：你还能一次性剪更多吗？要是剪四只呢？这回不剪，只想象一下你打算对折几次？以哪边为轴剪？八只呢？

……

深度思考

本案例中，教师从关键问题的内涵出发，从培养空间观念核心素养的高度分析具体教学内容。所解构出的两个小问题，紧扣课标要求，确实是本课培养学生空间观念的关键点。教学中教师进行了如下设计。

片段一的教学中，教师抛出问题，引导学生思考剪花边的方法。学生在思考过程中，就调用已有图形运动的经验，想象采用不同方法时，图形边缘上各点运动的轨迹，以及各点运动后形成的最终结果。交流时，学生需要先通过语言外化出自己头脑中对图形运动轨迹的想象，然后其他同学根据思维外化的描述，展开想象，提出自己的见解，教师提出的要求为学生进行想象提供了时间和空间。

片段二的教学中，教师本着“辩”中发展的原则，设计了让学生制作水平方向和垂直方向多只蝴蝶的活动。学生在制作前，需要先充分想象折法、画的图案以及展开后形成图案之间的关系。在制作水平方向两只蝴蝶之后，教师让学生进行了第一次想象，要是剪四只呢？这回不剪学生只想象一下打算对折几次？以哪边为轴剪？八只呢？在制作垂直方向两只蝴蝶之后，教师让学生进行了第二次想象，这个图案是由半只蝴蝶以什么为轴经过怎样的展开而形成的？接着进行第三次想象，四只蝴蝶簇拥在一起，触角相连，如果学生还是对折后剪半只蝴蝶，要经过怎样的对折展开以后才是这个图案呢？通过三次的操作和讨论，引导学生运用轴对称的特点进行实践，在三次想象、思与辩的过程中，学生的空间想象力得到了充分锻炼。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）先想再验，助力想象。

教师可以采用“先想再验”的方法，引导学生想象。操作过程中，教师可以“想”“验”结合操作。“先想”可以调动学生的想象力，引导学生理性思考图形运动后的结果。“再验”可以通过动手操作检验学生想象的结果是否正确。“再想”可以引导学生将想象的结果与实际结果进行对比，在对比中不断矫正自己想象的方法和结果。学生在想象与矫正的循环中，不断积累想象的经验，助力空间想象力的发展。

（2）“辩”中发展，外化想象。

教师在“图形的运动”领域中面临的一个困难就是如何引导学生将隐性的想象过程外显出来，从而助力师生认知、调整想象过程，进一步加强对图形运动特征及结果的理解与认识。交流、思辨是非常好的外显方式。学生在交流、思辨的过程中需要理解他人的想象过程，借助想象分析运动结果，借助想象对他人的观点做出评价与反思。语言表述为想象打开了一扇门，让空间想象的过程能够“看得见、摸得着”。

（案例撰写人：北京明远教育书院实验小学　丁婷　陶文迪）